Pozo cuántico de silicio/SiGe: Tutorial sobre los seis valles Δ y la movilidad de los electrones.

1. Introducción

En los ejemplos anteriores de pozos cuánticos, utilizamos semiconductores III-V de banda prohibida directa para calcular los estados de conducción y valencia confinados y las transiciones ópticas. El silicio requiere un enfoque inicial bastante diferente. Los mínimos de su banda de conducción no se encuentran en el centro de la zona de Brillouin (Γ). En cambio, el silicio en su forma masiva tiene seis mínimos equivalentes en la banda de conducción, o «valles» Δ, dispuestos en pares opuestos a lo largo de los tres ejes del cristal cúbico. Sus diferentes masas efectivas adquieren una importancia particular cuando los portadores de carga se confinan a una capa delgada.

Aquí simularemos un pozo cuántico de silicio de 10 nm situado entre dos capas de SiGe de 20 nm. Examinaremos la dispersión de las subbandas electrónicas y luego continuaremos con el cálculo, yendo más allá de lo que se hace en los tutoriales de óptica: desde la dispersión por fonones acústicos hasta la relajación del transporte, la densidad de electrones, el nivel de Fermi y la movilidad. El énfasis estará en el transporte de electrones, no en la ganancia óptica directa; el silicio es un semiconductor de banda prohibida indirecta.

2. Abrir el ejemplo de la estructura en forma de valle delta de silicio.

En OghmaNano, seleccione Archivo → Nueva simulación. Haga doble clic en la categoría de demostraciones de GaAs en el explorador de plantillas (??). Esta colección también contiene los demás modelos de pozos cuánticos semiconductores. En la ventana siguiente, abra el modelo de pozo cuántico Delta-Valley de Si/SiGe con tensión (??). Comience con la configuración proporcionada sin modificarla, para que pueda comparar la primera ejecución con los gráficos que se muestran a continuación.

3. Inspección de la estructura de la capa de Si/SiGe.

Haga clic en «Editor de capas» en el panel de estructura del dispositivo para examinar el ejemplo (??). La dirección de confinamiento es a través de las tres capas (que se consideran el eje z); los electrones aún pueden moverse en paralelo al pozo en el plano x-y.

Las entradas correspondientes a los materiales ópticos que se visualizan en el editor no deben confundirse con una especificación completa de los desplazamientos de la banda electrónica o de la fracción molar de germanio. Estos parámetros dependen de la configuración de los parámetros del material. Por el momento, deje el ejemplo proporcionado tal como está.

Puede examinar los datos del material abriendo los parámetros eléctricos y seleccionando la pestaña Si (QW) (??). La biblioteca de materiales de silicio proporciona parámetros de semiconductores que varían según la temperatura. Para realizar un cálculo predictivo de Si/SiGe, es importante verificar las masas efectivas, los desplazamientos de banda, la composición de germanio y la configuración de la tensión, en lugar de basarse únicamente en un valor de la banda prohibida del silicio.

4. ¿Por qué el silicio necesita un modelo de seis valles?

Imaginen un electrón que se mueve en el plano del pozo cuántico. En un modelo parabólico isotrópico convencional, su energía depende únicamente de la magnitud de su vector de onda. El silicio es diferente: cada «valle» Δ se asemeja a un elipsoide con una masa longitudinal mayor a lo largo de su eje y una masa transversal menor, perpendicular a ese eje. Los valles forman los tres pares opuestos: ±x, ±y y ±z. Cada par se trata con la masa adecuada según su orientación con respecto a la dirección de crecimiento del pozo cuántico.

Para un valle determinado, el problema del confinamiento de la masa efectiva puede representarse esquemáticamente de la siguiente manera:

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

Aquí \(V_{\Delta}\) se muestra el potencial de confinamiento de la banda de conducción para el valle elegido, incluyendo el desplazamiento inducido por la tensión. Las masas efectivas pueden variar de una capa a otra. El aspecto importante es que la masa a lo largo del eje z controla el confinamiento, mientras que las dos masas en el plano controlan la pendiente y la curvatura de la dispersión de la subbanda.

Para un pozo con orientación (001), el par ±z (a menudo denominado Δ2) tiene su masa longitudinal a lo largo de la dirección de confinamiento. Los cuatro valles ±x/±y (Δ4), en cambio, tienen la masa transversal a lo largo del eje z. Incluso sin tensión, sus energías de confinamiento no tienen por qué coincidir. La tensión puede separar aún más los bordes de sus valles, aproximadamente según la siguiente relación:

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

El primer término desplaza todas las orientaciones de los valles según la dilatación general, mientras que el segundo distingue la componente de deformación a lo largo del eje de cada valle. Esta separación de energía Δ2/Δ4 no es la misma que la pequeña división inducida por la interfaz entre los dos valles opuestos dentro de un par; esta última requeriría una física adicional de acoplamiento entre valles y no debería inferirse únicamente a partir de este gráfico. Consulte la página teoría del valle Δ del silicio para obtener más información.

5. Ejecute la simulación.

Vuelva a la pestaña «Archivo» y haga clic en «Ejecutar simulación». El modelo resuelve los estados de conducción confinados en un conjunto de vectores de onda en el plano antes de evaluar los resultados de la dispersión y el transporte de electrones. En ??, el terminal ha alcanzado la etapa de dispersión acústica. El porcentaje que se muestra mientras la simulación aún se está ejecutando es un indicador de progreso, no un resultado final de la dispersión.

Espere a que finalice la ejecución y, a continuación, utilice la pestaña «Salida» para abrir los gráficos. En este tutorial, primero analizaremos la dispersión de bandas, seguida de la tasa de dispersión dependiente del vector de onda y las cantidades de transporte dependientes de la densidad.

6. Análisis de la dispersión de la banda de conducción.

Abra la salida de la banda de conducción para obtener ??. En el punto donde el vector de onda en el plano es cero, cada rama comienza en una energía de confinamiento discreta. A medida que \(k_{\parallel}\) aumenta, las ramas se elevan, pero no todas a la misma velocidad. Algunas son considerablemente más planas porque su masa efectiva en el plano es mayor en la dirección que se muestra en el gráfico. Las ramas cercanas pueden acercarse o cruzarse cuando provienen de orientaciones de valle tratadas por separado; no se debe interpretar automáticamente cada proximidad como un entrecruzamiento multibanda.

En una región de masa uniforme, un valle individual con una orientación específica presenta una dispersión característica en el plano.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

Por esta razón, es útil analizar la dirección del vector de onda en el plano, en lugar de interpretar el conjunto de curvas de colores como copias de una única parábola isotrópica. La referencia de energía que se muestra en el gráfico es la misma que se utiliza en el ejemplo; las diferencias entre las energías de las subbandas suelen ser más reveladoras que su desplazamiento absoluto.

7. De la dispersión por fonones acústicos a la relajación del momento.

El diagrama de bandas nos indica qué estados electrónicos están disponibles. Por sí solo, no nos dice con qué facilidad los electrones pueden conducir a lo largo del pozo. Para calcular la movilidad, también debemos determinar con qué frecuencia los fonones dispersan un electrón fuera de su estado actual y, lo que es crucial, con qué eficacia esos eventos modifican su dirección de movimiento.

Abra los archivos de resultados de la dispersión en la pestaña «Resultados» (??). El ejemplo proporciona tanto las tasas de eventos de fonones ordinarias como las tasas de dispersión ponderadas por el transporte. Su diferencia no es meramente estética: una colisión con un ángulo muy pequeño modifica el estado de un electrón, pero puede tener poco efecto en la reducción de su momento total.

El punto de partida para una transición de fonones es la regla de oro de Fermi, que se puede representar esquemáticamente.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

donde el elemento de la matriz de interacción \(M_{fi}\) contiene el acoplamiento del potencial de deformación y la superposición de los estados electrónicos iniciales y finales confinados. El signo permite la absorción o emisión de fonones en el caso general. Para el cálculo acústico que se muestra aquí, se utiliza la aproximación térmica de fonones, que suele ser casi elástica. Se incluyen las polarizaciones acústicas longitudinales y transversales, así como el vector de onda del fonón fuera del plano, en el cálculo del estado confinado.

La tasa de transporte introduce un factor de ponderación angular adicional. En el caso del modelo simplificado que se utiliza aquí, basado en la dirección del momento, su función puede resumirse de la siguiente manera:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

En esta medida de transporte, la dispersión hacia adelante (con un valor pequeño de \(\theta_{if}\)) se reduce, mientras que la dispersión hacia atrás contribuye de forma más significativa. Esta es la razón por la que el tiempo de vida total de la dispersión de fonones y el tiempo de vida de transporte no tienen por qué ser idénticos. El ejemplo del gráfico de la tasa de transporte se muestra en ??: la tasa representada generalmente aumenta con el vector de onda en el rango mostrado. Su forma precisa depende de las subbandas, los estados finales permitidos, los parámetros del material y la superposición de fonones.

La salida seleccionada corresponde a la familia de valles orientada en el eje x y a una subbanda; por sí sola, no representa la movilidad completa del gas de electrones de los seis valles. Tampoco se debe interpretar una tasa nula o ausente en el punto exacto \(k=0\) en una salida muestreada como prueba de que los electrones en ese punto nunca se dispersan.

8. Del nivel de Fermi a la movilidad.

La movilidad no se evalúa en un único vector de onda seleccionado de forma arbitraria. Los electrones ocupan un rango de estados disponibles, y la porción ocupada varía según la densidad de portadores de carga en la lámina. Por lo tanto, la simulación determina un nivel de Fermi adecuado para la densidad bidimensional solicitada y calcula el promedio de la respuesta de transporte en las bandas pobladas y en las diferentes orientaciones del valle.

La distribución de Fermi-Dirac de un estado electrónico de energía \(E\) es:

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

La suma de los estados ocupados en función de los vectores de onda en el plano y de las subbandas relevantes proporciona una densidad superficial \(n_{2D}\) en m\(^{-2}\). Aumentar \(n_{2D}\) suele requerir elevar el nivel de Fermi de los electrones; esta progresión se observa directamente en el primer gráfico que se muestra a continuación.

Bajo el enfoque del tiempo de relajación del transporte, la conductividad a lo largo del eje seleccionado en el plano puede expresarse en función de las velocidades de banda y los tiempos de vida del transporte:

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

Aquí, \(v_{n,v,x}\) representa la velocidad del grupo de electrones a lo largo del eje x para la subbanda \(n\) de la familia de valles \(v\). Se consideran las multiplicidades de valle adecuadas al sumar las orientaciones físicamente equivalentes. El factor \(-\partial f/\partial E\) otorga mayor importancia a los estados que pueden responder a un campo aplicado pequeño, en lugar de asignar el mismo peso a todos los estados ocupados.

La movilidad calculada disminuye de aproximadamente 0,57 a 0,49 m2 V−1 s−1 en el rango de densidad que se muestra en ??. Al mismo tiempo, la tasa de dispersión efectiva del transporte aumenta, como se ilustra en ??. Esto es coherente con la dependencia de la ocupación con respecto a la densidad, lo que da más importancia a los estados electrónicos con una relajación del momento más fuerte en esta configuración particular. La vida útil efectiva correspondiente es una cantidad ponderada por el transporte, y su inverso no debe confundirse con la tasa de fonones de un solo estado, que se representa por separado.

Este ejemplo ilustra la movilidad predicha por el modelo de dispersión configurado; no debe interpretarse automáticamente como una movilidad experimental completa de Si/SiGe que incluya todos los posibles tipos de desorden, interfaces, impurezas y mecanismos fonónicos.

9. Pruébalo tú mismo.

Una vez que pueda reproducir los resultados proporcionados, realice un cambio a la vez y vuelva a ejecutar el cálculo. Los siguientes experimentos ayudan a relacionar los datos de entrada del modelo con los principios físicos subyacentes:

El resultado clave es que la movilidad del silicio está relacionada con una cadena de cálculos: orientación y deformación del valle → subbandas confinadas → transiciones de fonones disponibles → tiempos de vida del transporte → conductividad del estado ocupado → movilidad. Esta es la principal diferencia entre este ejemplo y los tutoriales sobre pozos cuánticos ópticos.