Poços Quânticos de Silício e os Seis Vales da Banda de Condução

Por que o silício é diferente do GaAs?

Em tutorial sobre bandas parabólicasdescrevemos uma barreira quântica utilizando um mínimo da banda de condução e uma única massa efetiva. Este é um ponto de partida útil para um material com banda proibida direta, como o GaAs, cujo estado de condução mais baixo está no centro da zona de Brillouin (o ponto Gamma). O silício requer uma abordagem adicional: os seus estados de condução mais baixos encontram-se em longe de Gamma.

Em vez de possuir apenas um mínimo na banda de condução, o silício apresenta seis mínimos equivalentes, convencionalmente designados como «vales Delta» (Δ). Como ilustrado em ??, estes vales estão dispostos ao longo das direções positivas e negativas dos três eixos cúbicos: +x, −x, +y, −y, +z e −z. Cada vale é uma região da estrutura de bandas na qual os eletrões podem ocupar estados próximos de um mínimo local de energia.

Num cristal de silício puro, sem tensões, a simetria faz com que todos os seis mínimos de energia tenham o mesmo valor. No entanto, quando o silício é transformado num poço quântico, a sua espessura finita faz com que uma direção específica se destaque. Alguns desses mínimos de energia reagem de forma diferente à restrição, mesmo que, no material original, pertencessem ao mesmo grupo de energia.

O que representa, na realidade, um vale?

Um «vale» não é uma cavidade física dentro do silício. É um mínimo num gráfico da energia dos eletrões em função do vetor de onda do cristal. Se analisarmos a estrutura de bandas perto de um desses mínimos, a sua energia volta a apresentar uma forma aproximadamente parabólica. No entanto, ao contrário da única parábola isotrópica utilizada no nosso modelo introdutório, a curvatura de um «vale» no silício depende da direção em que nos movemos no espaço recíproco.

Podemos imaginar a superfície de energia constante em torno de cada mínimo como um elipsoide alongado, representado esquematicamente na figura acima. A direção mais longa deste elipsoide define o eixo do vale. A massa efetiva correspondente é chamada de massa longitudinal, enquanto as massas nas duas direções perpendiculares são chamadas de massas transversais.

É importante distinguir a posição de um vale no espaço recíproco da trajetória de um eletrão no espaço real. Um vale em +z não significa que os eletrões só podem se mover para cima através de um dispositivo; significa que o mínimo que está sendo descrito está localizado ao longo da direção +z da estrutura de bandas do cristal. O movimento dos eletrões em torno desse mínimo ainda possui três componentes direcionais, com diferentes massas efetivas.

Massa efetiva longitudinal e transversal

Próximo de um determinado ponto de mínimo no vale, a energia do eletrão pode ser representada utilizando uma aproximação parabólica anisotrópica. Para um vale cujo eixo está ao longo do eixo z, podemos escrever:

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

Aqui, \(\mathbf{q}\) mede o vetor de onda em relação ao centro do vale em questão, e não em relação a Gamma. O símbolo \(E_{c,\Delta}\) representa a energia no ponto de mínimo do vale. O silício possui duas massas características:

• Massa longitudinal, \(m_l\): a massa efetiva ao longo do eixo do vale, aproximadamente \(0.916m_0\).
• Massa transversal, \(m_t\): a massa efetiva em qualquer direção perpendicular, aproximadamente \(0.190m_0\).

A massa longitudinal é significativamente mais pesada do que a massa transversal. Consequentemente, a energia aumenta a taxas diferentes, dependendo da direção do movimento. A mesma expressão se aplica a um vale orientado no eixo x ou y, após atribuir a massa longitudinal ao eixo correspondente.

É esta distinção que torna os poços quânticos de silício interessantes: a massa efetiva relevante para o confinamento depende do vale específico que estamos a analisar.

O que acontece quando criamos um poço quântico de silício?

Consideremos uma camada de silício confinada entre barreiras adequadas, como uma heterostrutura Si/SiGe. Definiremos a direção de crescimento da camada fina como o eixo z, com as camadas semicondutoras estendendo-se ao longo do plano x–y. Tal como na nossa introdução anterior poço quântico, o movimento através da camada torna-se quantizado, enquanto o movimento paralelo à camada permanece livre. No entanto, agora, os seis vales não têm todos a mesma massa na direção de confinamento.

Os dois vales cujos eixos estão alinhados ao longo dos eixos +z e -z possuem uma massa longitudinal considerável. \(m_l\) na direção do confinamento. As outras quatro depressões, orientadas ao longo dos eixos ±x e ±y, apresentam uma massa transversal menor. \(m_t\) nessa direção. Para o crescimento orientado em [001], esses dois grupos são designados como:

• Δ₂: os dois vales alinhados com a direção do crescimento (+z e −z).
• Δ₄: as quatro depressões cujos eixos estão paralelos à camada (±x e ±y).

Por que essa diferença é importante? Recordemos o resultado para a menor energia de um poço quântico infinito:

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

Aqui \(m_z\) qual é a massa efetiva em toda a região do poço? \(L\) é a largura do poço. A equação indica que uma massa de confinamento maior resulta numa energia de confinamento menor.Considerando que todos os outros fatores são iguais, os estados Δ₂ apresentam, portanto, energias de confinamento mais baixas do que os estados Δ₄ num poço quântico [001]. O confinamento, por si só, pode separar os mínimos das sub-bandas, mesmo antes de introduzirmos a tensão.

Note que não estamos a afirmar que um vale é totalmente confinado ou totalmente livre. Todos os seis vales apresentam algum grau de confinamento ao longo do eixo z; simplesmente, este confinamento manifesta-se com diferentes massas efetivas. As suas dispersões de energia paralelas às camadas também são diferentes, uma vez que cada vale possui a sua própria distribuição de massas longitudinais e transversais.

De que forma a deformação altera os níveis de energia no vale?

Existe outra forma importante de controlar estes vales. Quando uma fina camada de silício é depositada sobre um material com uma constante de rede cristalina diferente, a sua rede cristalina pode ser esticada ou comprimida. Este fenómeno é designado por tensão. Como a tensão altera o ambiente cristalino, desloca os mínimos da banda de condução. Este deslocamento não precisa de ser o mesmo para todos os vales.

No modelo do vale Δ em silício, o deslocamento de energia é expresso da seguinte forma:

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

Embora a notação pareça complexa, esta equação contém apenas dois efeitos físicos. O tensor de deformação \(\varepsilon\) descreve como o cristal se deforma, e o seu traço é a soma das três componentes de deformação normal:

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\), o potencial de deformação dilatacional: multiplica a deformação total relacionada ao volume e desloca os seis vales na mesma direção e na mesma quantidade.
• \(\Xi_u\), o potencial de deformação uniaxial: multiplica a deformação ao longo do eixo de cada vale, permitindo que diferentes orientações dos vales se desloquem em diferentes graus.

No segundo termo, o índice \(i\) identifica o eixo do vale: um vale orientado no eixo x utiliza \(\varepsilon_{xx}\), um vale orientado no eixo y utiliza \(\varepsilon_{yy}\) e um vale orientado no eixo z utiliza \(\varepsilon_{zz}\). Os vales positivos (+) e negativos (-) no mesmo eixo recebem o mesmo deslocamento neste modelo.

Por que razão observamos o desdobramento de Δ₂ e Δ₄?

O exemplo mais comum é uma camada de silício [001] sujeita a tensão biaxial. A tensão é a mesma em ambas as direções paralelas às camadas, portanto \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\). A tensão perpendicular a elas, \(\varepsilon_{zz}\), é geralmente diferente, porque o cristal relaxa elasticamente nessa direção.

A nossa equação de deformação produz, portanto, um deslocamento para as duas regiões Δ₂ e outro para as quatro regiões Δ₄:

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

Subtraindo estas duas expressões, torna-se evidente a razão para a divisão: a componente comum de dilatação anula-se, restando

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

No caso comum de deformação uniaxial de tração no plano em silício, a deformação perpendicular é de compressão. Com o valor positivo convencional de \(\Xi_u\), os mínimos Δ₂ deslocam-se para baixo em relação aos mínimos Δ₄, como ilustrado em ??. Isso altera a forma como os eletrões são distribuídos entre os mínimos disponíveis.

Atualmente, podemos observar que um poço quântico de silício é afetado por dois mecanismos distintos: a energia de confinamento dependente da orientação, já mencionada, e o deslocamento dependente da orientação causado pela tensão. Ambos contribuem para as posições finais das sub-bandas Δ₂ e Δ₄.

Como é que o OghmaNano calcula os poços quânticos de silício?

A descrição das seis regiões de energia pode, à primeira vista, parecer um problema complexo que envolve várias bandas de energia, mas cada região pode ser tratada utilizando o mesmo conceito de massa efetiva escalar que foi introduzido na nossa página sobre banda parabólica. A principal diferença é que cada região de energia tem uma massa direcional diferente e, possivelmente, uma extremidade de banda diferente, afetada pela tensão.

Para um determinado vale, o OghmaNano resolve a equação unidimensional da função de envoltória em toda a região do poço quântico:

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

A massa efetiva \(m_z(z)\) é selecionada de acordo com a orientação do vale e o material semicondutor local, enquanto \(V_{\Delta}(z)\) inclui o perfil relevante da banda de condução e o deslocamento devido à tensão. Em seguida, adiciona-se o movimento no plano, utilizando as massas apropriadas nas direções x e y:

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

Numa estrutura [001], os vales +z e −z têm a mesma atribuição de massa nesta aproximação de vales independentes, e, da mesma forma, os pares ±x e ±y podem ser agrupados por orientação. O cálculo produz, portanto, as energias de confinamento e as dispersões no plano associadas aos seis vales de silício, sem exigir um único Hamiltoniano acoplado de grande dimensão. Um exemplo completo de Si/SiGe que utiliza este modelo é apresentado em tutorial sobre poço quântico Δ-vale de silício.

Existe, no entanto, uma limitação importante. Neste modelo, as duas regiões opostas no mesmo eixo são tratadas como estados independentes equivalentes. Qualquer divisão adicional causada por interfaces com precisão atômica que conectam as regiões +z e −z não é descrita pela simples equação de massa e deformação apresentada acima. Isso exige um tratamento explícito do acoplamento entre as regiões.

Quais são as vantagens de dividir um vale?

Ao deslocar os grupos Δ₂ e Δ₄ em relação um ao outro, altera-se quais os estados eletrónicos que estão ocupados numa determinada temperatura e densidade de portadores. Uma vez que os grupos de valência têm diferentes massas de transporte, alterar as suas populações relativas pode modificar o transporte paralelo às camadas do semicondutor. Este é um dos conceitos físicos importantes que sustentam as estruturas de silício deformado e as heterojunções Si/SiGe.

O silício também serve de exemplo para uma lição mais abrangente no que diz respeito à modelagem de poços quânticos: conhecer a espessura e o deslocamento da banda de uma camada nem sempre é suficiente. Também é necessário saber onde ocorrem os mínimos da banda no espaço recíproco, como a massa efetiva varia em função da direção e como a estrutura cristalina se modifica sob tensão.