Funções de base, funções de envelope e hamiltonianos multibanda.

Para transformar um Hamiltoniano de banda em um problema de poço quântico, são necessários dois elementos: a aproximação da função de envoltório, que permite que uma matriz de banda descreva uma estrutura que varia no espaço, e uma base consistente na qual a matriz pode ser expressa. Esta página reúne ambos os elementos e regista as ordens exatas da base que o OghmaNano utiliza, para que as páginas específicas do modelo possam referir-se a uma única definição.

1. Três tipos de função

É útil distinguir três conceitos que são facilmente confundidos. A função de Bloch \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) é o estado próprio exato do cristal. A função periódica da célula \(u_{n0}\) no centro da zona é uma das funções de base fixas — do tipo «s» para a banda de condução e do tipo «p» (\(X,Y,Z\)) para a banda de valência. A função de envoltória \(F_n(z)\) é uma amplitude que varia lentamente e que multiplica cada função de base, transmitindo o efeito do confinamento. Numa heterostrutura, o estado completo é a soma das funções de base.

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

e é o conjunto de envoltórias \(\{F_n(z)\}\) que o algoritmo calcula.

2. A aproximação da função do envelope.

A aproximação da função do envelope baseia-se em duas premissas: que as mesmas funções de base do centro da zona \(u_{n0}\) podem ser utilizadas em cada camada e que os parâmetros do material (banda proibida, massas, parâmetros de Kane e Luttinger) variam com a posição numa escala muito maior do que a constante da rede. A matriz k·p do material torna-se, então, um operador diferencial que atua sobre as funções do envelope, com coeficientes que dependem da posição. A substituição essencial é que o vetor de onda na direção do crescimento torna-se um operador diferencial.

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

enquanto os vetores de onda no plano \(k_x, k_y\) continuam a ser bons números quânticos, porque a estrutura é invariante em relação a translações no plano. Cada \(k_z\) no Hamiltoniano é substituído por este operador, e cada \(k_z^2\) pela segunda derivada simétrica da página anterior. Produtos como \(k_x k_z\) tornam-se \(k_x(-i\,d/dz)\), sendo simetrizados de forma que o operador permaneça hermitiano quando o coeficiente varia. O resultado é uma equação diferencial matricial para as funções de envoltória, discretizada conforme descrito na página método das diferenças finitas.

3. Ler uma matriz Hamiltoniana em blocos.

Um Hamiltoniano multibanda é mais facilmente interpretado como um pequeno número de blocos, antes de se analisar os seus elementos individuais. A divisão mais grosseira separa os estados semelhantes aos de condução dos estados semelhantes aos de valência.

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

onde \(H_{cc}\) descreve os estados de condução semelhantes a «s», \(H_{vv}\) os estados de valência semelhantes a «p» e \(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\) o acoplamento de momento de Kane entre eles. O bloco de condução é essencialmente um operador de massa efetiva (não parabólico); o bloco de valência contém a física dos buracos pesados, buracos leves e buracos com energia dividida; e o bloco de acoplamento é o que torna o modelo «multibanda» no sentido estrito, associando a não parabolicidade da condução à estrutura de valência. Os termos de deformação e de interação spin-órbita são adicionados aos blocos apropriados.

4. Sequências de ordenação básicas utilizadas pela OghmaNano

O valor numérico de um elemento da matriz hamiltoniana depende da ordem em que os estados da base são listados. A OghmaNano utiliza uma base orbital cartesiana fixa para os modelos de zinco-blenda e wurtzita, e a base do momento angular total para o modelo de Luttinger-Kohn. As ordens são as seguintes:

• Estrutura de zinco-blenda com 8 bandas e estrutura de wurtzita com 8 bandas: \(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Estrutura de zincoblenda com 10 bandas: as oito mencionadas anteriormente, seguidas por dois estados de nitrogénio localizados \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\).
• Modelo de Luttinger–Kohn com 6 bandas: \(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\).
• Vale em forma de delta de silício: uma única banda (escalar) por vale, calculada uma única vez para cada uma das seis orientações do vale.

Ao utilizar os orbitais cartesianos \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) em vez das combinações de momento angular total \(|J,m_j\rangle\), mantém-se a natureza real e a simplicidade dos acoplamentos de momento e de deformação, ao custo de deixar o acoplamento spin-órbita como um termo explícito fora da diagonal. O modelo de Luttinger-Kohn, por outro lado, utiliza a base \(|J,m_j\rangle\), na qual o acoplamento spin-órbita é diagonal, mas os termos cinéticos assumem a forma clássica \(P,Q,R,S\). Ambas as opções são fisicamente equivalentes; cada uma é conveniente para um modelo diferente, e ambas estão documentadas nas respetivas páginas.