Dispersão de Fröhlich: interações de fónons óticos polares em semicondutores.

O espalhamento de Fröhlich descreve a interação entre eletrões e lacunas com fónones óticos longitudinais (FOL) em semicondutores polares, como GaAs, InP, GaN, ZnO e perovskites de haletos metálicos. A origem física desta interação é ilustrada em ??. Num cristal polar, os átomos vizinhos possuem cargas parciais opostas. Quando a rede cristalina vibra num modo ótico, os iões positivos e negativos movem-se em relação uns aos outros, produzindo uma polarização elétrica oscilante. Para um fónon ótico longitudinal, isto gera um campo elétrico macroscópico que interage com os portadores de carga que se movem através do cristal.

Um eletrão que se desloca através deste campo pode sofrer dispersão, passando de um estado inicial com vetor de onda \(\mathbf{k}\) para um estado final \(\mathbf{k}'\), absorvendo ou emitindo um fonão LO com energia \(\hbar\omega_{LO}\). Estas transições estão ilustradas no diagrama da banda de condução em ??. O acoplamento eletrostático entre os portadores de carga livres e o campo de polarização da rede cristalina é conhecido como interação de Fröhlich. É um mecanismo importante que limita a mobilidade dos portadores de carga em semicondutores polares, especialmente à temperatura ambiente e acima dela. Pode ser o fator dominante na dispersão de eletrões em materiais III–V de alta pureza e oferece um caminho eficiente para que os portadores de carga «quentes» transfiram energia para a rede cristalina.

Compreender o espalhamento de Fröhlich é, portanto, fundamental ao calcular a mobilidade dos portadores de carga, modelar o arrefecimento dos portadores excitados pela luz e determinar os tempos de relaxamento energético utilizados nos modelos de transporte baseados no equilíbrio energético. A dependência da interação em relação à energia pode ser observada em ??, que apresenta as taxas de absorção, emissão e espalhamento total calculadas para eletrões em GaAs. Nas secções seguintes, analisaremos em maior detalhe a absorção e a emissão de fónons LO, antes de derivar o elemento da matriz de Fröhlich e o integral tridimensional completo \(k\) utilizado para calcular a taxa de espalhamento.

Em que consiste a interação de Fröhlich?

Num semicondutor polar, o deslocamento relativo dos iões positivos e negativos durante uma vibração ótica longitudinal (LO) produz um campo elétrico oscilante, \(\mathbf{E}_{LO}\), conforme ilustrado em ??. Um portador de carga interage com este campo através do potencial eletrostático \(\phi_{LO}\), resultando numa energia de interação de \(-e\phi_{LO}\) para um eletrão. Uma vez que a interação tem origem na força de Coulomb, é de longo alcance e é mais intensa em pequenos vetores de onda de fonões \(q\).

A intensidade da interação de Fröhlich depende do grau de resposta do cristal a um campo elétrico. Existem duas contribuições para essa resposta: os eletrões, que respondem muito rapidamente, e os iões, muito mais pesados, que respondem de forma mais lenta. Isso dá origem a duas constantes dielétricas: a constante dielétrica de alta frequência \(\varepsilon_\infty\), que descreve apenas a resposta eletrónica, e a constante dielétrica estática \(\varepsilon_s\), que inclui a contribuição adicional do movimento iónico.

Num semicondutor polar, o deslocamento dos iões durante a vibração de um fonão LO gera um campo elétrico que interage com os portadores de carga livres. A intensidade dessa interação é determinada pela diferença entre o blindamento dielétrico eletrónico e o blindamento dielétrico total, expressa como:

\[ \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s}. \]

Quanto maior for essa quantidade, mais forte será o acoplamento polar. Num semicondutor não polar, como o silício, não existe um campo elétrico de longo alcance correspondente associado às vibrações óticas da rede cristalina. Assim, a contribuição iónica para a resposta dielétrica está ausente neste modelo, resultando em \(\varepsilon_s=\varepsilon_\infty\) e numa interação de Fröhlich que tende para zero. Este termo dielétrico aparece diretamente no elemento da matriz de dispersão, que será derivado a seguir.

É comum e prático expressar a intensidade do acoplamento como um único número adimensional, a constante de acoplamento de Fröhlich.

\[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_{LO}}}\left(\frac{1}{\varepsilon_\infty}-\frac{1}{\varepsilon_s}\right), \]

onde \(m^*\) é a massa efetiva do portador de carga. Para eletrões em GaAs \(\alpha\approx 0.07\) (acoplamento fraco); para materiais mais iónicos, como GaN, ZnO e as perovskites de halogéneo, \(\alpha\) tem um valor da ordem de 0,4–2. Quando \(\alpha\) é pequeno, a interação pode ser tratada como uma perturbação e dá origem às taxas de dispersão apresentadas abaixo. Quando \(\alpha\) se aproxima ou excede a unidade, o portador de carga arrasta consigo uma nuvem de polarização significativa e é melhor descrito como um polarão, com uma massa e energia renormalizadas; as taxas de perturbação apresentadas nesta página devem, portanto, ser utilizadas com cautela.

Absorção e emissão no diagrama de bandas.

O espalhamento de Fröhlich é uma transição inelástica na qual um eletrão troca energia e momento com um fonão LO. Como ilustrado em ??, um eletrão que se encontra inicialmente no estado \(\mathbf{k}\), com energia \(E(\mathbf{k})\), pode sofrer um de dois processos:

Absorção de fonões: o eletrão ganha energia \(\hbar\omega_{LO}\) da rede cristalina, passando para um estado de energia mais elevada \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}\), onde \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO}\).

Emissão de fónons: o eletrão transfere energia \(\hbar\omega_{LO}\) para a rede cristalina, passando para um estado de menor energia \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\mathbf{q}\), onde \(E(\mathbf{k}')=E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO}\).

Ambos os processos conservam a energia e o momento cristalino. Uma vez que os fonões LO são aproximadamente não dispersivos perto do centro da zona de Brillouin, a sua energia \(\hbar\omega_{LO}\) pode ser considerada constante, aproximadamente 36 meV no GaAs e 92 meV no GaN. Isto impõe uma restrição importante à emissão: um eletrão deve ter pelo menos \(\hbar\omega_{LO}\) de energia cinética acima do mínimo da banda antes de poder emitir um fonão LO. Os eletrões abaixo deste limiar só podem sofrer absorção de fonões. Uma vez atingido o limiar, o canal de emissão abre-se, permitindo que os eletrões «quentes» percam energia para a rede em quantidades discretas de \(\hbar\omega_{LO}\). Este comportamento é claramente visível em ??, que mostra as taxas de absorção, emissão e dispersão total calculadas para eletrões no GaAs.

A probabilidade de cada processo também depende do número de fonões LO presentes na rede cristalina. No equilíbrio térmico, a ocupação média dos fonões é descrita pela distribuição de Bose-Einstein.

\[ N_{LO} = \frac{1}{\exp\!\left(\hbar\omega_{LO}/k_B T_L\right)-1}, \]

onde \(T_L\) é a temperatura da rede cristalina. A probabilidade de absorção é proporcional a \(N_{LO}\), uma vez que um fonão já deve estar presente para que o eletrão o absorva. A emissão, por outro lado, é proporcional a \(N_{LO}+1\). O termo adicional \(+1\) representa a emissão espontânea de fonões, que continua a ser possível mesmo a zero graus, desde que o eletrão tenha energia suficiente.

Para o GaAs a 300 K, \(N_{LO}\approx 0.33\), o fator de ocupação da emissão é aproximadamente quatro vezes maior do que o fator de absorção. As taxas de espalhamento reais também dependem dos estados eletrónicos finais disponíveis, como ilustrado em ??. À medida que a temperatura da rede cristalina aumenta, a população de fónons aumenta, intensificando a interação e contribuindo para a redução da mobilidade dos portadores, um fenómeno comum em semicondutores polares.

O elemento da matriz de acoplamento de Fröhlich.

Analisaremos agora a interação do ponto de vista da mecânica quântica. O acoplamento entre um eletrão e um fonão ótico longitudinal é descrito pelo elemento da matriz de Fröhlich, que, para um semicondutor polar homogêneo, é dado por:

\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]

Aqui, \(V\) representa o volume de normalização do cristal e \(q\) representa o vetor de onda do fonão. Considerando que os estados eletrónicos são ondas planas, a interação liga um estado inicial \(|\mathbf{k}\rangle\) a um estado final \(|\mathbf{k}'\rangle\), sujeito à conservação do momento do cristal. No caso da absorção e emissão de fonões, respetivamente, o vetor de onda final é \(\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}\).

Considerando os fatores de ocupação dos fónons e assumindo que a sobreposição entre as partes periódicas das funções de Bloch inicial e final é aproximadamente igual a um, os elementos da matriz de transição ao quadrado passam a ser:

\[ |M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 = |M(q)|^2 N_{LO}, \]

\[ |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 = |M(q)|^2 (N_{LO}+1). \]

O termo de absorção depende do número de fonões LO disponíveis, enquanto a emissão inclui uma contribuição espontânea adicional. Estes elementos de matriz são utilizados na regra de ouro de Fermi para calcular a probabilidade de uma transição entre estados eletrónicos.

Da regra de ouro de Fermi a uma integral no espaço k tridimensional.

Uma vez determinado o elemento da matriz de acoplamento de Fröhlich, podemos agora calcular a taxa com que um eletrão se dispersa de um estado inicial \(|\mathbf{k}\rangle\) para um estado final \(|\mathbf{k}'\rangle\). Como ilustrado em ??, isto pode ocorrer através da absorção ou emissão de fónons LO, com o eletrão ganhando ou perdendo energia \(\hbar\omega_{LO}\).

Utilizando a regra de ouro de Fermi, a taxa total de espalhamento é obtida somando todos os vetores de onda de fonões permitidos \(\mathbf{q}\) e ambos os processos de espalhamento:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau(\mathbf{k})} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta\big( E(\mathbf{k}-\mathbf{q})-E(\mathbf{k})+\hbar\omega_{LO} \big) \Big]. \end{aligned} \]

Aqui, \(\delta\) é a função delta de Dirac, que garante a conservação da energia. Os elementos da matriz de absorção e emissão, \(|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2=|M(q)|^2N_{LO}\) e \(|M_{\mathrm{em}}(q)|^2=|M(q)|^2(N_{LO}+1)\), foram apresentados na secção anterior. Assumimos que os estados eletrónicos finais estão desocupados, pelo que o bloqueio de Pauli pode ser desconsiderado.

Para um cristal com dimensões suficientemente grandes, os vetores de onda de fonões permitidos estão muito próximos uns dos outros, e a soma pode ser substituída por uma integral sobre a zona de Brillouin:

\[ \sum_{\mathbf{q}} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3q. \]

O fator \(V\) anula a dependência de \(1/V\) do elemento da matriz de Fröhlich ao quadrado, resultando numa taxa de dispersão que é independente do volume de normalização do cristal. Ao substituir a expressão de \(M_{\mathrm{abs}}(q)\), a taxa de absorção passa a ser:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\big( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \big). \end{aligned} \]

Para calcular esta integral, utilizamos coordenadas esféricas, com o eixo polar alinhado ao vetor de onda inicial do eletrão \(\mathbf{k}\). Ao integrar em relação ao ângulo azimutal, obtemos:

\[ d^3q = 2\pi q^2\,dq\,d(\cos\theta), \]

onde \(\theta\) é o ângulo entre os vetores de onda do eletrão e do fonão, \(\mathbf{k}\) e \(\mathbf{q}\). Note que a contribuição de \(q^2\) proveniente do elemento de volume anula a dependência de \(1/q^2\) do elemento da matriz de Fröhlich. Isso simplifica consideravelmente a integração restante.

Partindo do princípio de que a banda de condução é parabólica e isotrópica, \(E(\mathbf{k})=\hbar^2k^2/2m^*\), o argumento da função delta de absorção pode ser expandido da seguinte forma:

\[ \begin{aligned} &E(\mathbf{k}+\mathbf{q})-E(\mathbf{k})-\hbar\omega_{LO} \\[4pt] &\qquad = \frac{\hbar^2}{2m^*} \left( 2kq\cos\theta+q^2 \right) -\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} \]

A integração em torno de \(\cos\theta\) elimina a função delta e contribui com um fator \(m^*/(\hbar^2kq)\), desde que a solução satisfaça \(-1\leq\cos\theta\leq1\). Esta condição restringe o intervalo de vetores de onda de fonões permitidos, de acordo com a conservação da energia e do momento do cristal.

No que diz respeito à absorção de fonões, os limites permitidos são:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k'-k,\\ q_{\max} &= k'+k,\\ k' &= \sqrt{k^2+\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

No caso da emissão de fónons, que exige \(E\geq\hbar\omega_{LO}\), os limites correspondentes são:

\[ \begin{aligned} q_{\min} &= k-k',\\ q_{\max} &= k+k',\\ k' &= \sqrt{k^2-\frac{2m^*\omega_{LO}}{\hbar}}. \end{aligned} \]

A integração radial restante é simples:

\[ \int_{q_{\min}}^{q_{\max}} \frac{dq}{q} = \ln\left(\frac{q_{\max}}{q_{\min}}\right). \]

Ao reunir os termos e aplicar a fórmula \(\hbar k=\sqrt{2m^*E}\), onde \(E\) representa a energia cinética dos portadores medida em relação ao mínimo da banda, obtemos as expressões padrão em forma fechada para as taxas de espalhamento de Fröhlich. No caso da absorção,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} ={}& C(E)N_{LO} \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}+\sqrt{E} }{ \sqrt{E+\hbar\omega_{LO}}-\sqrt{E} } \right|, \end{aligned} } \]

no que diz respeito às emissões,

\[ \boxed{ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)} ={}& C(E)(N_{LO}+1) \\ &\times \ln\left| \frac{ \sqrt{E}+\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} }{ \sqrt{E}-\sqrt{E-\hbar\omega_{LO}} } \right|, \qquad E\geq\hbar\omega_{LO}. \end{aligned} } \]

A taxa de emissão é nula abaixo do limiar de energia do fonão LO. Nestas expressões, o fator comum é:

\[ C(E)= \frac{e^2\omega_{LO}}{4\pi\varepsilon_0\hbar} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \sqrt{\frac{m^*}{2E}}. \]

A taxa total de espalhamento de Fröhlich é simplesmente a soma das duas contribuições:

\[ \boxed{ \frac{1}{\tau(E)} = \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(E)} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{em}}(E)}. } \]

O fator de escala comum também pode ser expresso utilizando a constante de acoplamento adimensional de Fröhlich \(\alpha\), resultando em \(C(E)=\alpha\omega_{LO}\sqrt{\hbar\omega_{LO}/E}\). É importante destacar dois limites. Conforme \(E\rightarrow0\), a taxa de absorção aproxima-se do valor finito \(2\alpha\omega_{LO}N_{LO}\). No limiar de emissão, \(E=\hbar\omega_{LO}\), a contribuição da emissão começa em zero e aumenta rapidamente com o aumento da energia dos portadores.

Este comportamento pode ser observado diretamente em ??, que apresenta as taxas de absorção, emissão e espalhamento total calculadas para eletrões em GaAs a 300 K. Para eletrões com alta energia, as taxas resultantes são, geralmente, da ordem de \(10^{12}\)–\(10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}\), com tempos de emissão de fónons LO que atingem aproximadamente 0,1–0,2 ps. Estes processos de emissão rápidos fornecem um mecanismo importante através do qual os portadores de energia transferem energia para a rede cristalina.

Desde o espalhamento de portadores até a mobilidade.

O espalhamento dos portadores de carga desempenha um papel importante na determinação da mobilidade elétrica de um semicondutor. Quando um campo elétrico é aplicado, os eletrões e as lacunas aceleram sob a força do campo. No entanto, o seu movimento é continuamente interrompido por interações com fonões, impurezas, defeitos e outros portadores. Estes processos de espalhamento impedem que os portadores acelerem indefinidamente e determinam a sua velocidade média de deriva.

No modelo de transporte mais simples, a relação entre a mobilidade dos portadores de carga e a dispersão é descrita pela expressão de Drude.

\[ \boxed{ \mu = \frac{e\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*} } \]

onde \(e\) é a carga elementar, \(m^*\) é a massa efetiva dos portadores de carga e \(\tau_{\mathrm{tr}}\) é o tempo de relaxamento do momento. Fisicamente, \(\tau_{\mathrm{tr}}\) descreve a rapidez com que a dispersão elimina o movimento direcionado dos portadores de carga produzidos por um campo elétrico aplicado. Um tempo de relaxamento mais longo geralmente leva a uma mobilidade mais alta, enquanto um relaxamento de momento mais forte a reduz.

Da taxa de espalhamento à dissipação do momento.

Existe uma distinção importante entre a taxa total de espalhamento calculada na secção anterior e a taxa com que o espalhamento reduz o momento dos portadores de carga. A taxa total de espalhamento, \(1/\tau(\mathbf{k})\), contabiliza todas as transições a partir de um estado eletrónico inicial, independentemente do grau de alteração na direção do movimento dos portadores de carga.

Considere um eletrão em movimento com um vetor de onda inicial \(\mathbf{k}\). Após um evento de dispersão, o seu vetor de onda altera-se para \(\mathbf{k}'\), formando um ângulo \(\theta_s\) com a sua direção original. Para uma banda parabólica isotrópica e um evento de dispersão elástica, o eletrão mantém a mesma velocidade, mas apenas uma componente da sua velocidade final permanece paralela à sua direção original. Essa componente é:

\[ v_{\parallel}' = v\cos\theta_s. \]

A fração da velocidade original, que era direcionada, e que se perde durante o evento de dispersão é, portanto,

\[ \frac{v-v_{\parallel}'}{v} = \boxed{1-\cos\theta_s}. \]

Este simples argumento geométrico explica por que razão a dispersão em diferentes ângulos não contribui igualmente para o relaxamento do momento. Por exemplo:

• Espalhamento para a frente (\(\theta_s=0^\circ\)): o fator de ponderação é zero, uma vez que o eletrão continua a mover-se na sua direção original.
• Distribuindo em \(90^\circ\): o fator de ponderação é um, uma vez que nenhuma das componentes originais da velocidade vetorial permanece.
• Espalhamento retrodifuso (\(\theta_s=180^\circ\)): o fator de ponderação é dois, uma vez que o eletrão inverte a direção do seu movimento.

Podemos usar esta dependência angular para construir uma taxa de espalhamento de transporte aproximada. Para bandas isotrópicas, uma aproximação de ponderação angular frequentemente utilizada é:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf{k})} \simeq \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{\mathbf{q}} (1-\cos\theta_s) \Big[ &|M_{\mathrm{abs}}(q)|^2 \delta(E'-E-\hbar\omega_{LO}) \\ +{}& |M_{\mathrm{em}}(q)|^2 \delta(E'-E+\hbar\omega_{LO}) \Big]. \end{aligned} \]

Aqui, \(\theta_s\) é o ângulo entre as velocidades iniciais e finais da onda portadora. Para uma banda parabólica isotrópica, estas velocidades são paralelas aos respetivos vetores de onda. Os elementos da matriz \(M_{\mathrm{abs}}\) e \(M_{\mathrm{em}}\) são os que foram obtidos na secção anterior.

No caso do espalhamento inelástico, em que a velocidade do portador também se altera, a simples ponderação angular é uma aproximação. Um fator de projeção mais geral para um único evento é \(1-(v'/v)\cos\theta_s\) para uma banda isotrópica. Um tratamento rigoroso do transporte inelástico exige a resolução da equação de transporte de Boltzmann linearizada, que considera o acoplamento entre os estados iniciais e finais do portador.

Esta distinção é particularmente relevante para o espalhamento de Fröhlich. Uma vez que a interação favorece pequenos vetores de onda de fonões \(q\), muitas transições envolvem alterações relativamente pequenas na direção dos portadores de carga. Consequentemente, a taxa total de espalhamento pode ser consideravelmente diferente da taxa na qual o movimento direcionado dos portadores de carga diminui.

Cálculo da mobilidade a partir da estrutura de bandas.

A expressão de Drude oferece um ponto de partida útil, mas os semicondutores reais não apresentam necessariamente uma única massa efetiva ou um tempo de relaxamento constante. Tanto a taxa de espalhamento quanto a velocidade dos portadores podem variar ao longo da estrutura de bandas eletrônicas.

Para ter em conta este aspeto, a mobilidade pode ser calculada através da média das contribuições dos estados eletrónicos envolvidos no transporte. No âmbito da aproximação do tempo de relaxamento, o tensor de mobilidade eletrónica é:

\[ \boxed{ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})} } \]

Aqui, \(n\) representa a densidade eletrónica, \(f\) representa a distribuição de Fermi-Dirac e a soma é calculada sobre as bandas eletrónicas relevantes e os estados de spin ou de vale representados explicitamente. A velocidade de grupo de cada estado é obtida a partir da dispersão da banda.

\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]

A derivada da distribuição de Fermi-Dirac determina quais os estados eletrónicos que contribuem para a resposta elétrica. A integral combina, então, as suas velocidades e os tempos de relaxamento do transporte para obter a mobilidade total.

Esta abordagem é particularmente útil para estruturas de bandas numéricas, como as calculadas com a teoria \(k\cdot p\), uma vez que as velocidades dependentes da energia podem ser obtidas diretamente da dispersão calculada, em vez de se assumir uma massa efetiva constante. Além disso, permite incluir diferentes mecanismos de espalhamento através das suas contribuições para o tempo de relaxamento do transporte. Cálculos relacionados com a mobilidade baseados na estrutura de bandas são demonstrados no tutorial Si/SiGe Δ-valley electron-mobility e no tutorial Si/SiGe six-band Luttinger–Kohn hole-mobility. Estes exemplos com silício utilizam mecanismos de espalhamento não polares em vez do espalhamento de Fröhlich, mas ilustram a mesma progressão, desde a estrutura de bandas eletrónicas e as taxas de espalhamento até à mobilidade dos portadores de carga.