Transições Ópticas em Poços Quânticos: Ganho e Emissão Espontânea

Dos Estados Eletrónicos à Luz

No tutorial anterior sobre bandas de poço quântico parabólico, começámos com as soluções restritas da equação de Schrödinger e mostrámos como cada solução se transforma numa sub-banda eletrónica quando se considera o movimento paralelo às camadas do semicondutor. Calculámos também a energia do fotão necessária para conectar um estado eletrónico a um estado de lacuna.

Saber quais as transições possíveis é apenas o primeiro passo. Para calcular a luz absorvida ou emitida por um poço quântico, também devemos determinar a probabilidade de cada transição e o número de eletrões e lacunas disponíveis para participar no processo. É neste ponto que a regra de ouro de Fermi e os elementos de matriz óticos entram em jogo no cálculo.

Vamos construir o cálculo passo a passo: primeiro, consideraremos uma única transição, depois calcularemos a sua probabilidade, faremos a soma de todas as sub-bandas de eletrões e lacunas e, por fim, introduziremos o alargamento de Lorentzian para obter um espetro ótico suave.

Três Formas de Interação da Luz com um Semicondutor

Considere um eletrão num estado da banda de condução e um estado disponível na banda de valência. Existem três processos óticos intimamente relacionados:

• Absorção: um fotão incidente excita um eletrão, fazendo com que ele passe de um estado ocupado na banda de valência para um estado vazio na banda de condução.
• Emissão estimulada: um fotão incidente estimula um eletrão da banda de condução a preencher um estado vazio da banda de valência (uma lacuna), produzindo um fotão adicional.
• Emissão espontânea: um eletrão recombina-se com uma lacuna e emite um fotão, mesmo quando não há fotões incidentes.

Todos os três processos dependem da diferença de energia entre os estados eletrónicos iniciais e finais e da intensidade com que a luz interage com esses estados. A sua principal diferença reside na ocupação dos estados e na necessidade de um fotão já estar presente.

Comece com uma única transição eletrão-lacuna.

Vamos selecionar a sub-banda de eletrões \(n\) e a sub-banda de lacunas \(m\). Para um poço quântico parabólico simples, uma transição entre estados que possuem o mesmo vetor de onda no plano apresenta uma diferença de energia.

\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]

onde \(E_g\) é a largura da banda do material do poço, \(\varepsilon_{e,n}\) e \(\varepsilon_{h,m}\) são as energias de confinamento dos eletrões e lacunas, e \(\mu\) é a massa efetiva reduzida no plano:

\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]

Numa transição ótica direta, o vetor de onda do cristal no plano é aproximadamente conservado, uma vez que um fotão transporta uma quantidade relativamente pequena de momento. Assim, um eletrão e uma lacuna contribuem para uma transição vertical entre as duas curvas de sub-banda em ??.

Se a energia do fotão corresponder à diferença de energia entre os níveis, a transição é energeticamente possível:

\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]

No entanto, o facto de as energias corresponderem não nos diz com que frequência essa transição ocorre. Para isso, precisamos de calcular a interação entre o eletrão e o campo eletromagnético.

A Regra de Ouro de Fermi: Qual a probabilidade de ocorrer uma transição?

A regra de ouro de Fermi fornece a taxa de transição entre um estado quântico inicial \(i\) e um estado final \(f\) quando uma interação relativamente fraca os conecta:

\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]

Esta equação contém dois elementos particularmente importantes:

• O elemento da matriz, \(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\), mede a intensidade com que os estados inicial e final estão acoplados pelo campo ótico. O quadrado do seu módulo fornece o fator que controla a probabilidade de transição.
• A função delta, \(\delta(E_f-E_i)\), garante a conservação da energia. Quando os estados inicial e final incluem fotões, as energias desses fotões são consideradas em \(E_i\) e \(E_f\).

Uma forma útil de abordar este conceito é considerar que duas condições devem ser satisfeitas: a transição deve ter a energia correta e a luz deve ser capaz de estabelecer uma ligação entre os dois estados eletrónicos. A primeira condição é determinada pelo espaçamento entre as sub-bandas; a segunda, pelo elemento da matriz.

O que é um elemento de matriz ótica?

Quando a luz interage com um eletrão, o seu campo elétrico pode induzir transições entre os estados quânticos. Numa descrição comum, a interação relevante é proporcional ao produto escalar do operador do momento do eletrão com a polarização do campo ótico. O elemento da matriz de momento correspondente tem a seguinte forma:

\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]

onde \(\mathbf e\) representa a polarização da luz e \(\Psi_{c,n}\) e \(\Psi_{v,m}\) representam os estados eletrónicos associados às bandas de condução e de valência, respetivamente. Uma magnitude elevada indica que o campo ótico acopla fortemente os estados; um elemento de matriz nulo indica que esta transição é opticamente proibida no âmbito do modelo utilizado.

Na aproximação simples da banda parabólica, podemos separar as funções de Bloch de escala atômica, que variam rapidamente, das funções de onda do poço quântico, cuja variação é mais lenta. O acoplamento ótico contém, então, dois fatores:

\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]

O primeiro fator, \(\mathbf p_{cv}\), descreve o acoplamento ótico entre as bandas semicondutoras subjacentes. O segundo fator é o grau de sobreposição das funções de onda, que indica o quão bem as funções de onda dos eletrões e das lacunas se sobrepõem na região do poço quântico.

Por exemplo, dois estados concentrados na mesma região do poço podem apresentar uma sobreposição significativa. Se um campo elétrico atrai o eletrão para uma das interfaces e o buraco para a outra, a sobreposição pode diminuir consideravelmente. É importante notar que a grandeza relevante é a integral das funções de onda, e não simplesmente a sobreposição dos seus gráficos de densidade de probabilidade separados: os sinais e as fases das funções de onda podem levar ao cancelamento de contribuições.

Isto também explica por que a polarização da luz pode ser relevante. Por exemplo, a luz polarizada TE e TM analisa diferentes componentes do elemento da matriz do momento, e modelos multibanda mais avançados são necessários quando a mistura de bandas e as regras de seleção de polarização são importantes. Estes efeitos podem ser explorados no Tutorial de oito bandas de zinco-blenda para GaAs/AlGaAs e no Tutorial de oito bandas de wurtzita para GaN/AlGaN.

O facto de uma transição ser permitida não significa que ela irá ocorrer.

Mesmo uma transição com a energia correta e um grande elemento de matriz não pode ocorrer, a menos que o seu estado inicial esteja ocupado e o seu estado final esteja disponível. Seja \(f_c\) a probabilidade de que o estado relevante da banda de condução contenha um eletrão e \(f_v\) a probabilidade de que o estado relevante da banda de valência contenha um eletrão. A probabilidade de que o estado de valência contenha uma lacuna é, portanto, \(1-f_v\).

As populações de eletrões disponíveis resultam em diferentes fatores de absorção e emissão:

\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]

A absorção requer um estado preenchido na banda de valência e um estado vazio na banda de condução. A emissão requer exatamente o oposto: um eletrão na banda de condução e uma lacuna na banda de valência. Estes fatores de ocupação determinarão se uma determinada transição contribui para a absorção líquida ou para o ganho ótico líquido.

De uma Transição para um Espectro Ótico

Um poço quântico real possui mais de uma sub-banda de eletrões e lacunas, e os eletrões podem ocupar diferentes vetores de onda no plano ao longo de cada parábola. Para calcular um espectro, devemos adicionar a contribuição de cada combinação relevante de sub-banda de eletrões \(n\), sub-banda de lacunas \(m\) e vetor de onda no plano \(k_{\parallel}\).

De forma esquemática, o cálculo da absorção espectral apresenta a seguinte estrutura:

\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]

A soma é calculada para cada par de subbandas; a integral considera todos os estados no plano. O elemento da matriz pondera cada transição pela sua força ótica, os fatores de ocupação indicam se os portadores necessários estão presentes e a função delta seleciona as transições com a energia fotónica correta. A relação de proporcionalidade exclui os fatores comuns de normalização eletromagnética.

Para uma sub-banda parabólica bidimensional, o número de estados disponíveis por unidade de energia apresenta uma forma particularmente simples: a sua densidade conjunta de estados é constante acima do limiar de transição no modelo ideal. Consequentemente, um par de sub-bandas começa a contribuir quando a energia do fotão atinge a sua energia mínima de transição permitida. Outros pares de sub-bandas introduzem novos limiares no espectro.

Em que momento a absorção se transforma em ganho óptico?

Um feixe incidente pode ser tanto absorvido quanto estimular a emissão. O ganho ótico é o equilíbrio entre estes dois processos concorrentes, e não simplesmente a taxa total de recombinação eletrão-lacuna. Subtraindo a absorção da emissão estimulada, obtém-se uma simplificação particularmente útil:

\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]

O ganho espectral do material tem, portanto, a mesma soma sobre as transições que o cálculo da absorção, mas utiliza a diferença de população:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Se \(f_v\) for maior que \(f_c\), a absorção predomina e a contribuição para o ganho é negativa. Se \(f_c\) for maior que \(f_v\), a emissão estimulada predomina: este é o fenómeno da inversão de população, e a transição contribui para um ganho positivo.

Num cálculo completo, o fator de proporcionalidade inclui grandezas como a frequência ótica, o índice de refração, as constantes eletromagnéticas e a espessura utilizada para normalizar os estados do poço quântico. O ganho no material ativo também deve ser distinguido do ganho modal de um laser, que depende do grau de sobreposição entre o modo ótico e a região do poço quântico.

E quanto à emissão espontânea?

A emissão espontânea utiliza as mesmas energias de transição eletrónica e os mesmos elementos de matriz ótica, mas não representa a mesma quantidade que o ganho líquido. Para perceber a diferença, imagine que um determinado modo fotónico já contém \(N\) fotões. A taxa de emissão quântica nesse modo contém um fator de \(N+1\):

\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]

A parte estimulada cresce à medida que aumenta o número de fotões já presentes. O valor adicional \(1\) significa que a emissão ainda pode ocorrer quando o número inicial de fotões é zero. Em contraste, a absorção requer a chegada de um fotão e é proporcional a \(N\).

Para calcular a emissão espontânea, somamos as probabilidades de transição sobre os estados eletrónicos disponíveis e os modos de fotões nos quais a luz pode ser emitida. De forma esquemática, o espectro de emissão espontânea é:

\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

Aqui, \(D_{\mathrm{ph}}\) representa os modos de fotões disponíveis e \(M_{nm}\) é o elemento da matriz de interação eletrão-fotão, devidamente normalizado, para a emissão espontânea. Esta notação explicita que a densidade de modos fotónicos e a normalização ótica devem ser incluídas ao calcular uma taxa absoluta de emissão de fotões.

Observe o fator de ocupação: a emissão espontânea utiliza \(f_c(1-f_v)\), e não a diferença de população \(f_c-f_v\) utilizada para obter ganho líquido. Assim, uma estrutura de poço quântico pode apresentar emissão espontânea mesmo quando a sua resposta ótica líquida é de absorção. Não devemos obter emissão espontânea simplesmente definindo valores de ganho negativos como zero.

Por que precisamos do alargamento de Lorentzian?

Até o momento, a regra de ouro de Fermi utilizou uma função delta para representar a conservação exata da energia. No entanto, num semicondutor real, as transições óticas não se manifestam como linhas infinitamente nítidas. O espalhamento e o tempo de coerência finito de uma transição eletrónica conferem-lhe uma largura espectral finita.

Uma forma comum de representar isto é substituir a função delta por uma função de Lorentz normalizada:

\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]

Aqui, \(\Delta E\) representa a diferença entre a energia da transição eletrónica e a energia do fotão, e \(\gamma\) é a semi-largura de Lorentz no ponto de máximo (HWHM). A sua largura total no ponto de máximo é \(2\gamma\). Uma vez que a função de Lorentz é normalizada em relação à energia, o alargamento redistribui o peso espectral de uma transição, em vez de alterar arbitrariamente a sua contribuição integrada.

Em cada transição, substituímos, portanto, \(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\) por \(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\). Por exemplo, o espectro de ganho alargado passa a ser:

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

A mesma substituição é feita no cálculo da emissão espontânea, mas o seu fator de ocupação permanece em \(f_c(1-f_v)\). Um parâmetro de alargamento maior produz características espectrais mais suaves e mais amplas; um valor menor preserva limites de transição mais nítidos. O alargamento de Lorentzian é um modelo útil para o alargamento homogéneo, em vez de uma descrição universal de todos os mecanismos físicos de alargamento.

Fazendo os cálculos e obtendo o resultado final.

Podemos agora resumir como é construído o espectro ótico de um poço quântico a partir dos estados eletrónicos:

1. Determine os estados confinados. Resolva a equação de Schrödinger para as energias e funções de onda do eletrão e do buraco de lacuna em toda a região do poço quântico.
2. Construa as subbandas. Inclua o movimento paralelo às camadas para obter as energias de transição eletrónica em diferentes vetores de onda no plano.
3. Calcule o acoplamento ótico. Avalie os elementos de matriz adequados, incluindo a sobreposição das funções de onda dos eletrões e lacunas e, quando necessário, a polarização da luz.
4. Inclua as populações de portadores de carga. Utilize as funções de ocupação dos estados eletrónicos e da banda de valência para distinguir a absorção, a emissão estimulada e a emissão espontânea.
5. Some as contribuições de todas as transições. Adicione as contribuições das sub-bandas de eletrões e lacunas, bem como dos estados disponíveis no plano.
6. Amplie o espectro. Substitua as transições ideais em forma de função delta por uma forma de linha adequada, como uma função de Lorentz.

Estes são os princípios que relacionam os solucionadores eletrónicos de poços quânticos da OghmaNano com os cálculos de ganho ótico e emissão espontânea. O modelo parabólico simples torna a física mais fácil de compreender; a teoria multibanda k·p amplia os estados eletrónicos e os elementos da matriz ótica quando o acoplamento entre bandas e a dependência da polarização se tornam importantes.