Simulação da Cavidade de Fabry–Pérot (FDTD): Tutorial sobre Ressonador Óptico 1D

1. Introdução

Uma cavidade de Fabry–Pérot é uma das estruturas ressonantes mais importantes em óptica e fotónica. Na sua forma mais simples, é uma região delimitada por duas superfícies refletoras, de modo que a luz possa refletir-se repetidamente e formar ressonâncias de onda estacionária. Uma analogia mecânica comum é uma corda de guitarra vibrante, como se vê em ??. Tal como apenas certos padrões de vibração são permitidos numa corda fixa, correspondendo a comprimentos de onda e frequências específicas (notas musicais), apenas certos modos óticos são suportados no interior de uma cavidade de Fabry–Pérot.

A versão ótica desta ideia é ilustrada em ??. A luz reflete-se repetidamente entre duas interfaces, e estas múltiplas reflexões interferem umas com as outras. Quando a fase do percurso completo é correta, as ondas somam-se de forma coerente e um modo de ressonância é estabelecido no interior da cavidade. Este princípio simples é a base de uma vasta gama de dispositivos fotónicos, incluindo filtros óticos, espelhos dielétricos, interferómetros e cavidades laser.

Num ressonador de Fabry–Pérot, apenas os modos óticos cujo comprimento de onda se ajusta à cavidade são permitidos. Em incidência normal, isto ocorre quando a condição de ressonância é

\(2nL = m\lambda\)

onde \(n\) é o índice de refração da região da cavidade, \(L\) é o comprimento da cavidade, \(\lambda\) é o comprimento de onda e \(m\) é um número inteiro que representa o modo. Na figura, são mostrados três modos: o modo fundamental (m = 1, azul claro), a segunda harmónica (m = 2, azul) e a terceira harmónica (m = 3, azul escuro). Isto significa que a cavidade suporta um conjunto discreto de soluções de ondas estacionárias, em vez de um contínuo arbitrário de comprimentos de onda.

De forma equivalente, os comprimentos de onda permitidos podem ser expressos como:

\(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\)

Os modos de ordem superior correspondem, portanto, a diferentes valores inteiros de \(m\), cada um dos quais produz um padrão de campo de ressonância diferente. Este é exatamente o comportamento previsto pela analogia da onda estacionária e é a razão pela qual as cavidades de Fabry–Pérot são amplamente utilizadas como ressonadores óticos, elementos seletivos de comprimento de onda e cavidades de laser.

Neste tutorial, utilizamos o método de Domínio Temporal de Diferenças Finitas (FDTD) para simular uma cavidade simples de Fabry–Pérot unidimensional. A simulação inclui uma fonte, duas regiões refletoras, uma cavidade entre elas e planos de deteção que registam a resposta ótica (??). Ao executar este modelo, poderá observar como um pulso de banda larga excita a cavidade, como se formam as ondas estacionárias e como os espectros transmitidos e refletidos revelam os modos de ressonância do dispositivo.

2. Criar uma nova simulação

Abra a janela da nova simulação e selecione a categoria de exemplos FDTD (??). Em seguida, escolha o exemplo da cavidade de Fabry–Pérot (??). Isso carregará a interface principal mostrada em ??.

Após carregar a simulação, a janela principal é exibida conforme mostrado em ??. A estrutura é apresentada na visualização 3D, dentro da guia «Estrutura do dispositivo». Esta visualização mostra todos os componentes principais da simulação da cavidade de Fabry–Pérot.

À esquerda, as setas verdes representam a fonte FDTD, onde o pulso ótico é injetado. A fina linha roxa que percorre a estrutura é a grade FDTD. Neste exemplo, a simulação é, na prática, unidimensional, pelo que a grade aparece como uma única linha que atravessa a cavidade.

Logo à direita da fonte, o plano roxo representa o detetor de entrada, que regista os campos incidentes e refletidos. No centro da estrutura encontram-se as duas regiões refletoras que formam a cavidade de Fabry–Pérot. No lado direito, o plano verde é o detetor de saída, que mede a luz transmitida após passar pela cavidade. Os detetores não afetam a propagação da onda; simplesmente registam o campo eletromagnético à medida que este evolui ao longo do tempo.

Em breve, iniciaremos a simulação e observaremos como a luz se propaga através da estrutura e interage com a cavidade. Vocês poderão ver como a onda é parcialmente refletida, como parte dela entra na cavidade e se intensifica entre os espelhos, e como esse comportamento é registrado pelos dois detetores localizados em lados opostos da estrutura.

3. Executar a simulação.

Depois de guardar a simulação e de analisar a estrutura, clique no botão Executar (▶) para iniciar o cálculo. Durante a execução da simulação, pode acompanhar o seu progresso na aba Terminal, mostrada em ??. Esta exibe informações como o intervalo de tempo, a gama de comprimentos de onda e o sistema utilizado. No início da execução, verá uma linha com o texto Searching for OpenCL devices. Estes são dispositivos de aceleração de hardware que podem ser usados para acelerar a simulação. Se for encontrado um dispositivo OpenCL adequado, como no exemplo mostrado na figura, o OghmaNano irá utilizá-lo automaticamente e executar a simulação na GPU em vez da CPU.

Quando a simulação estiver concluída, mude para o separador «Resultados», que pode ser visto em ??. Aqui encontrará os dados gerados durante a execução. Os principais resultados para este tutorial são detector_0 e detector_1, que contêm os sinais registados pelos dois detetores. Também pode abrir device para visualizar a geometria 3D e o diretório snapshots/ para ver como os campos eletromagnéticos evoluem ao longo do tempo. Deverá notar que esta simulação é executada muito rapidamente. Como se trata de um problema unidimensional, os tempos de execução típicos são de apenas alguns segundos. Se a simulação demorar significativamente mais tempo, consulte a nota acima sobre como guardar a simulação num disco local rápido.

5. Visualização de imagens instantâneas do campo elétrico.

Abra a pasta de saída snapshots/ (a partir do separador «Saída») e clique duas vezes para abrir o visualizador de imagens. Isso permite visualizar os resultados da simulação em função do tempo. Clique uma vez no botão «+» para adicionar um conjunto de dados e, em seguida, selecione Ey. Nesta simulação, o campo é excitado na direção y, pelo que este componente oferece a visualização mais direta da propagação da onda. Em seguida, pode usar a barra de deslocamento para avançar no tempo e observar como o campo evolui. Três imagens representativas são apresentadas em ??–??.

Nos momentos iniciais (painel da esquerda), pode-se observar o pulso de banda larga inicial a entrar na estrutura. O campo ainda está espacialmente localizado, com uma frente de onda nítida correspondente à excitação injetada. À medida que o tempo avança (painel do meio), o pulso interage com a região da cavidade. A forma de onda torna-se mais estruturada e estendida no espaço, indicando que múltiplos componentes de frequência estão a propagar-se com diferentes fases. Este é um sinal de reflexão parcial e interferência dentro da estrutura.

Em momentos posteriores (painel da direita), o campo deixa de se assemelhar a um único pulso em propagação. Em vez disso, apresenta-se como uma sobreposição de ondas com diferentes frequências espaciais. Este comportamento surge porque a cavidade amplifica seletivamente certos comprimentos de onda, enquanto outros são refletidos ou transmitidos. O resultado é um padrão de interferência complexo, em vez de uma simples onda estacionária. É importante notar que, como a simulação é iniciada com um pulso de banda larga e observada no domínio do tempo, a ressonância da cavidade não aparece imediatamente como um modo de onda estacionária bem definido. Em vez disso, o que se observa é a evolução transitória em direção à ressonância, onde múltiplas reflexões e interferências constroem gradualmente os componentes de frequência que satisfazem a condição da cavidade.

6. Visualização dos resultados do detetor

Voltando à guia «Saída» (veja ??), verá duas pastas de detetor, «Detetor0» e «Detetor1», que aparecem como pequenos ícones de sensores CCD. O «Detetor0» está localizado no lado da fonte da cavidade, enquanto o «Detetor1» está no lado oposto, após a luz ter atravessado a estrutura. Se clicar duas vezes em «Detetor0», verá o conteúdo apresentado em ??. Neste diretório, existem dois ficheiros, lam_E.csv e power.csv. Por agora, abra power.csv, que mostra a potência que atravessa o detetor em função do tempo. O resultado é apresentado em ??. Este é o valor da potência registado no detetor do lado da entrada.

Agora, pode repetir o mesmo processo para o Detector1. Ao abrir o ficheiro power.csv nessa pasta, obtém-se o resultado apresentado em ??. Neste caso, o sinal transmitido aparece após um pequeno atraso, correspondente ao tempo que o pulso leva a atravessar a cavidade. Comparado com o sinal da entrada, o pulso transmitido é visivelmente mais suave e regular. Isto reflete o facto de a cavidade transmitir preferencialmente uma gama mais estreita de componentes de frequência, enquanto as restantes são refletidas. Como resultado, o sinal de saída é, na prática, uma versão filtrada do pulso original de banda larga.

Podemos agora passar dos sinais no domínio do tempo para a resposta no domínio da frequência. Os sinais apresentados anteriormente podem ser transformados por meio da transformada de Fourier, obtendo-se assim o conteúdo espectral da luz que passa por cada detetor. Os dados no domínio da frequência podem ser encontrados no ficheiro lam_E.csv, tanto no Detector0 como no Detector1.

Espectro de entrada: O espectro do lado da entrada é apresentado em ??. Este é o espectro registado no detetor, no lado da fonte da cavidade. A característica predominante é um pico forte centrado perto de 400 nm, correspondente ao principal conteúdo espectral do pulso injetado. Como este detetor está posicionado antes da cavidade, o espectro registado é, principalmente, o campo incidente, embora também possa conter uma pequena contribuição da luz refletida pela estrutura. Longe do pico principal, o sinal torna-se fraco, e as pequenas características nessas regiões não devem ser excessivamente interpretadas.

Espectro de saída: o espectro correspondente do lado da saída é apresentado em ??. Tal como no espectro de entrada, a característica dominante é um pico forte próximo de 400 nm, refletindo a excitação primária do sistema. No entanto, é visível uma característica adicional no lado de maior comprimento de onda deste pico: um pequeno pico secundário em torno de 500 nm. Esta característica resulta da resposta da cavidade de Fabry–Pérot, que transmite preferencialmente certos comprimentos de onda. Como a fonte não está centrada nesta ressonância, a característica relacionada com a cavidade aparece apenas como uma contribuição secundária mais fraca, em vez de um pico dominante.

Relação entrada/saída: os espectros apresentados acima são predominantemente influenciados pelo perfil espectral da fonte, o que dificulta a visualização clara do efeito da cavidade. Para tornar a resposta da cavidade mais visível, é necessário remover, na medida do possível, a influência do espectro da fonte. Fazemos isso dividindo o sinal de saída pelo sinal de entrada, normalizando efetivamente o campo transmitido pelo campo incidente. Uma vez que a potência é proporcional a \(|E|^2\), isso fornece uma função de transmissão aproximada da estrutura: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). O resultado é apresentado em ??.

Este procedimento não elimina completamente a contribuição da fonte, mas reduz significativamente a sua influência. Como resultado, as características associadas à cavidade tornam-se muito mais evidentes. Em particular, a ressonância em torno de 500 nm, que aparece apenas como um pequeno pico no espectro de saída original, é agora claramente amplificada no resultado normalizado. Deve notar-se que, quando o sinal de entrada é muito pequeno, a relação pode tornar-se grande e apresentar ruído. Estas características não são ressonâncias físicas, mas resultam da divisão por um número pequeno. Para obter um espectro de transmissão mais claro, pode ser utilizada uma simulação de referência separada, sem a cavidade, para a normalização, mas isso não é necessário para observar o efeito principal aqui.

7. Experimentar com as dimensões da cavidade.

Para analisar como o comportamento de Fabry-Pérot depende da sua estrutura, clique com o botão direito do rato num dos espelhos da cavidade e selecione Editar objeto, conforme mostrado em ??. Isto abre o editor de objetos, onde a geometria da cavidade pode ser controlada, conforme mostrado em ??. Nesta simulação, a cavidade é formada por dois espelhos finos, cada um com 10 nm de espessura, separados por um espaço de 250 nm. Em vez de definir dois objetos independentes, o OghmaNano utiliza uma funcionalidade de replicação: define-se um único objeto e, em seguida, este é repetido ao longo de uma direção escolhida. Neste caso, o espelho é duplicado ao longo do eixo z. Isto é controlado pelo campo Número de objetos, que está definido para 2 na direção z. O parâmetro de passo define então o espaçamento entre as cópias sucessivas do objeto. Aqui, o passo na direção z está definido para 260 nm. Este valor inclui tanto o espaçamento da cavidade como a espessura do primeiro espelho. Uma vez que cada espelho tem 10 nm de espessura, o espaço físico entre os dois espelhos é de \(260 - 10 = 250\) nm, o que define o comprimento da cavidade. Esta construção permite que ambos os espelhos sejam controlados de forma consistente através da edição de um único objeto.

To change the cavity length, modify the z-step from 260 nm to 360 nm in the object editor. This increases the mirror-to-mirror spacing from 250 nm to 350 nm. After applying this change, the structure should appear as shown in ??, where the cavity region is visibly larger. The resonant wavelengths of a Fabry–Pérot cavity are determined by the round-trip phase condition, \[ 2 n L = m \lambda, \] where \(n\) is the refractive index inside the cavity, \(L\) is the cavity length, and \(m\) is an integer mode number. Rearranging this gives \[ \lambda = \frac{2 n L}{m}. \]

Na estrutura original, com \(L = 250\) nm e \(n \approx 1\), o modo fundamental (\(m=1\)) ocorre em \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \]. Após aumentar o comprimento da cavidade para \(L = 350\) nm, o comprimento de onda correspondente passa a ser \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Este é o deslocamento esperado na ressonância dominante da cavidade.

Execute novamente a simulação e analise o espectro de saída do Detector1. O resultado é apresentado em ??. Deverá observar que a principal característica relacionada à cavidade deslocou-se de cerca de 500 nm para valores mais próximos de 700 nm, em concordância com o modelo simples apresentado anteriormente.

Além da ressonância principal, também notará a presença de outros modos, mais fracos. Estes correspondem a soluções de ordem superior da condição de Fabry–Pérot (\(m = 2, 3, \dots\)). Por exemplo, quando \(m=2\), o comprimento de onda é aproximadamente \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), o que resulta num modo de comprimento de onda mais curto. Como a excitação é de banda larga, vários valores de \(m\) podem ser excitados de forma fraca, o que leva a vários picos no espectro. No entanto, a sua intensidade depende do grau de sobreposição com o conteúdo espectral da fonte e da eficiência com que se propagam através dos espelhos.

9. Expansão para 2D.

Até agora, consideramos uma cavidade de Fabry–Pérot unidimensional, na qual os campos variam apenas ao longo da direção de propagação. Uma das vantagens do método de Domínio Temporal de Diferenças Finitas (FDTD) é que ele pode ser facilmente estendido para dimensões superiores. Nesta secção, estendemos a simulação para duas dimensões e observamos como o comportamento do campo se altera.

Para fazer isso, abra a faixa de opções «Optical» (??) e inicie o editor de malha ótica. No editor de malha (??), ative a dimensão x para que a simulação calcule as variações em x e z. Após aplicar esta alteração, feche o editor e execute novamente a simulação.

É importante salientar que a adição de uma dimensão espacial extra aumenta significativamente o custo computacional. O tempo de execução pode aumentar até uma ordem de magnitude (normalmente até 10 vezes mais), porque o número de pontos da grelha e as atualizações do campo aumentam rapidamente com a dimensionalidade. Esta é uma característica geral do método FDTD: o aumento do realismo físico implica um maior esforço computacional.

Após a conclusão da simulação, abra a pasta snapshots/. Os resultados de exemplo são apresentados em ??–??. Utilizando a barra deslizante, pode avançar no tempo e observar como a onda se propaga a partir da fonte, espalha-se lateralmente e interage com a cavidade antes de atingir o detetor.

Ao contrário do caso unidimensional, a frente de onda deixa de ser plana. Em vez disso, ela se propaga lateralmente, produzindo frentes de onda curvas e padrões de interferência complexos. Isso significa que a luz pode percorrer a cavidade por múltiplos caminhos, e não apenas diretamente entre os dois espelhos. Consequentemente, o comprimento efetivo do percurso ótico deixa de ser simplesmente o comprimento geométrico da cavidade.

Em uma dimensão, a condição de ressonância é:

\(2nL = m\lambda\)

No entanto, em duas dimensões, a onda pode propagar-se em um ângulo. Se um raio se propaga em um ângulo \(\theta\) em relação à normal, o comprimento do percurso torna-se

\(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\)

e a condição de ressonância é modificada para

\(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\)

Porque \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 nm em vez do valor previsto pelo modelo 1D mais simples.??).

Isto evidencia um resultado importante: embora as simulações unidimensionais capturem os princípios básicos da física de Fabry–Pérot, as simulações multidimensionais introduzem efeitos adicionais, como a propagação angular, a difração e a estrutura do modo espacial. Estes efeitos são essenciais para a compreensão de sistemas óticos reais, nos quais a luz raramente se propaga exclusivamente numa única dimensão.