Моделювання резонатора Фабрі–Перо за допомогою методу FDTD: навчальний посібник для одновимірних оптичних резонаторів.

1. Вступ

Резонатор Фабрі–Перо є однією з найважливіших резонансних структур в оптиці та фотоніці. У найпростішому вигляді це область, обмежена двома відбиваючими поверхнями, завдяки чому світло може відбиватися вперед і назад, утворюючи стаціонарні хвилі. Звична механічна аналогія – це вібруюча струна гітари, як показано на ??. Так само, як на фіксованій струні дозволені лише певні вібраційні режими, що відповідають конкретним довжинам хвиль і частотам (музичним нотам), у резонаторі Фабрі–Перо підтримуються лише певні оптичні режими.

Оптична версія цієї ідеї проілюстрована на ??. Світло багаторазово відбивається між двома межами, і ці численні відбиття взаємодіють між собою. Коли фаза повного циклу правильна, хвилі когерентно підсумовуються, і всередині резонатора формується резонансний режим. Цей простий принцип є основою для широкого спектру фотонних пристроїв, зокрема оптичних фільтрів, діелектричних дзеркал, інтерферометрів і лазерних резонаторів.

У резонаторі Фабрі–Перо дозволені лише оптичні моди, довжина хвилі яких відповідає розмірам резонатора. При нормальному падінні випромінювання це відбувається тоді, коли виконується умова резонансу.

\(2nL = m\lambda\)

де \(n\) – показник заломлення області резонатора, \(L\) – довжина резонатора, \(\lambda\) – довжина хвилі, а \(m\) – ціле число, що визначає номер мода. На рисунку показано три моди: основний мод (m = 1, світло-блакитний), друга гармоніка (m = 2, синій) і третя гармоніка (m = 3, темно-синій). Це означає, що резонатор підтримує дискретний набір стаціонарних хвиль, а не довільну сукупність довжин хвиль.

Еквівалентно, допустимі довжини хвиль можна записати у вигляді:

\(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\)

Отже, вищі порядки мод відповідають різним цілочисельним значенням \(m\), і кожне з них створює унікальну картину резонансного поля. Саме таку поведінку передбачає аналогія зі стоячою хвилею, і саме тому резонатори Фабрі–Перо широко використовуються як оптичні резонатори, елементи, що вибірково пропускають певні довжини хвиль, і резонатори лазерів.

У цьому навчальному посібнику ми використовуємо метод скінченних різниць у часовій області (FDTD) для моделювання простої одновимірної резонаторної системи Фабрі–Перо. Моделювання містить джерело, дві відбиваючі області, резонатор між ними та площини детектування, які фіксують оптичну відповідь (??). Запустивши цю модель, ви побачите, як широкосмуговий імпульс збуджує резонатор, як формуються стаціонарні хвилі та як передані та відбиті спектри розкривають резонансні режими пристрою.

2. Створення нової моделі.

Відкрийте вікно нової симуляції та виберіть категорію прикладів FDTD (??). Потім оберіть приклад резонатора Фабрі–Перо (??). Це завантажить основний інтерфейс, показаний на ??.

Після завантаження моделювання з’являється головне вікно, як показано на ??. Структура відображається у тривимірному вигляді на вкладці «Структура пристрою». У цьому вигляді відображаються всі ключові компоненти моделювання резонатора Фабрі–Перо.

Зліва зелені стрілки позначають джерело FDTD, куди подається оптичний імпульс. Тонка фіолетова лінія, що проходить через структуру, є сіткою FDTD. У цьому прикладі моделювання фактично відбувається в одній площині, тому сітка виглядає як єдина лінія, що проходить через порожнину.

Відразу праворуч від джерела розташована фіолетова площина, яка позначає вхідний детектор, що фіксує вхідне та відбите поля. У центрі структури знаходяться дві відбиваючі області, які утворюють резонатор Фабрі–Перо. Праворуч зелена площина є вихідним детектором, який вимірює світло, що пройшло крізь резонатор. Детектори не впливають на поширення хвилі; вони просто фіксують електромагнітне поле в процесі його зміни в часі.

За мить ми запустимо симуляцію та спостерігатимемо, як світло поширюється крізь структуру та взаємодіє з порожниною. Ви побачите, як хвиля частково відбивається, як частина її проникає в порожнину та накопичується між дзеркалами, і як цю поведінку фіксують два датчики, розташовані по обидва боки структури.

3. Запуск моделювання.

Після того, як ви збережете модель і оглянете її структуру, натисніть кнопку «Запуск» (▶), щоб розпочати обчислення. Під час виконання моделювання ви можете відстежувати його прогрес на вкладці «Термінал», як показано на ??. Тут відображається інформація, така як крок часу, діапазон довжин хвиль і використовуваний бекенд. На початку обчислення ви побачите рядок Searching for OpenCL devices. Це апаратні прискорювачі, які можна використовувати для прискорення моделювання. Якщо буде знайдено відповідний пристрій OpenCL, як у прикладі, показаному на малюнку, OghmaNano автоматично використовуватиме його та запускатиме моделювання на графічному процесорі (GPU), а не на центральному процесорі (CPU).

Після завершення моделювання перейдіть на вкладку «Результати», показану на ??. Тут ви знайдете дані, згенеровані під час виконання моделювання. Основними результатами для цього навчального посібника є detector_0 і detector_1, які містять сигнали, зареєстровані двома детекторами. Ви також можете відкрити device, щоб переглянути тривимірну геометрію, і каталог snapshots/, щоб побачити, як електромагнітні поля змінюються з часом. Ви повинні помітити, що це моделювання виконується дуже швидко. Оскільки це одномірна задача, типовий час виконання становить лише кілька секунд. Якщо моделювання триває значно довше, зверніться до примітки вище щодо збереження моделювання на швидкому локальному диску.

5. Перегляд миттєвих зображень електричного поля.

Відкрийте папку вихідних даних snapshots/ (у вкладці «Вихідні дані») та двічі клацніть, щоб запустити переглядач знімків. Це дозволить вам переглядати результати моделювання в залежності від часу. Натисніть кнопку «+» один раз, щоб додати набір даних, а потім виберіть Ey. У цій моделі поле збуджується у напрямку осі Y, тому саме ця складова дає найбільш пряме уявлення про поширення хвилі. Потім ви можете використовувати повзунок, щоб переглядати різні моменти часу та спостерігати за тим, як змінюється поле. Три типові знімки показано на ??–??.

На початкових етапах (ліва панель) можна побачити, як початковий широкосмуговий імпульс проникає в структуру. Поле все ще локалізоване в просторі, і його передня частина має чіткі межі, що відповідає введеному збудженню. З плином часу (центральна панель) імпульс взаємодіє з резонаторною областю. Форма хвилі стає більш структурованою та поширюється в просторі, що свідчить про те, що кілька частотних компонентів поширюються з різними фазами. Це є ознакою часткового відбиття та інтерференції всередині структури.

У подальші моменти часу (на правій панелі) поле вже не нагадує єдиний рухомий імпульс. Натомість воно проявляється як суперпозиція хвиль із різними просторовими частотами. Така поведінка виникає тому, що резонатор вибірково підсилює певні довжини хвиль, тоді як інші відбиваються або пропускаються. У результаті утворюється складна інтерференційна картина, а не проста стояча хвиля. Варто зазначити, що оскільки моделювання здійснюється за допомогою широкосмугового імпульсу та спостерігається в часовій області, резонатор не проявляється одразу у вигляді чіткого режиму стоячої хвилі. Натомість, те, що ви спостерігаєте, – це перехідний процес, що веде до резонану, де численні відбиття та інтерференція поступово формують частотні компоненти, які відповідають умові резонатора.

6. Перегляд даних, отриманих від детекторів.

Повернувшись до вкладки «Вихід» (див. ??), ви побачите дві папки детекторів: Detector0 і Detector1, які відображаються у вигляді невеликих піктограм CCD-сенсора. Детектор Detector0 розташований на стороні джерела в порожнині, а детектор Detector1 – на протилежній стороні після проходження світла через структуру. Якщо двічі клацнути на Detector0, ви побачите вміст, показаний на ??. У цій папці є два файли: lam_E.csv і power.csv. Наразі відкрийте power.csv, який показує потужність, що проходить через детектор, у залежності від часу. Результат показано на ??. Це потужність, зафіксована детектором на стороні входу.

Тепер ви можете повторити ту саму процедуру для детектора 1. Відкриття файлу power.csv у цій папці дає результат, показаний на ??. У цьому випадку переданий сигнал з’являється після невеликої затримки, яка відповідає часу, необхідному для проходження імпульсу через резонатор. Порівняно з вхідним сигналом, переданий імпульс є помітно більш плавним і рівномірним. Це відображає той факт, що резонатор переважно передає вужчий діапазон частотних компонент, тоді як інші відбиваються. Як наслідок, вихідний сигнал є, по суті, відфільтрованою версією початкового широкосмугового імпульсу.

Тепер ми можемо перейти від аналізу сигналів у часовій області до аналізу їх частотних характеристик. Сигнали, які були показані раніше, можна піддати перетворенню Фур’є, щоб отримати спектральний склад світла, що проходить через кожен детектор. Дані у частотній області можна знайти у файлі lam_E.csv, який міститься як у папці Detector0, так і у папці Detector1.

Вхідний спектр: Вхідний спектр показано на ??. Це спектр, зафіксований детектором на стороні джерела в резонаторі. Домінуючою характеристикою є виражений пік, розташований приблизно на 400 нм, що відповідає основному спектральному складу введеного імпульсу. Оскільки цей детектор розташовано перед резонатором, зафіксований спектр переважно представляє собою падаюче поле, хоча він також може містити невеликий внесок від світла, відбитого від структури. Подалі від основного піку сигнал стає слабким, і незначні зміни в цих областях не слід переоцінювати.

Вихідний спектр: відповідний вихідний спектр показано на ??. Як і у випадку вхідного спектру, основною характеристикою є виражений пік поблизу 400 нм, що відображає первинне збудження системи. Однак, на стороні цього піка, що відповідає більшій довжині хвилі, можна помітити додаткову деталь: менший виступ приблизно на 500 нм. Ця деталь виникає внаслідок реакції резонатора Фабрі–Перо, який переважно пропускає певні довжини хвиль. Оскільки джерело не розташоване точно в центрі цього резонансу, деталь, пов’язана з резонатором, проявляється лише як слабший вторинний внесок, а не як домінуючий пік.

Відношення вхідного сигналу до вихідного: на представлених вище спектрах домінує спектральний профіль джерела, що ускладнює чітке визначення впливу резонатора. Щоб зробити вплив резонатора більш помітним, необхідно максимально зменшити вплив спектра джерела. Ми робимо це, поділивши вихідний сигнал на вхідний, фактично нормалізуючи поле, що проходить, відносно вхідного поля. Оскільки потужність пропорційна \(|E|^2\), це дає приблизну функцію передачі структури: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). Результат показано на ??.

Ця процедура не усуває повністю вплив джерела, але значно зменшує його. Як наслідок, характеристики, пов’язані з порожниною, стають набагато помітнішими. Зокрема, резонанс навколо 500 нм, який у вихідному спектрі проявляється лише як слабкий пік, тепер чітко підсилюється в нормалізованому результаті. Варто зазначити, що якщо вхідний сигнал дуже малий, відношення може стати великим і містити багато шуму. Ці характеристики не є фізичними резонансами, а виникають внаслідок ділення на невелике число. Для отримання більш чіткого спектра пропускання можна використовувати окрему еталонну симуляцію без порожнини для нормалізації, але це не обов’язково для спостереження основного ефекту в даному випадку.

7. Проведення експериментів із різними розмірами порожнини.

Щоб дослідити, як поведінка інтерферометра Фабрі–Перо залежить від його структури, клацніть правою кнопкою миші на одній із дзеркал резонатора та виберіть «Редагувати об’єкт», як показано на ??. Це відкриває редактор об’єктів, де можна керувати геометрією резонатора, як показано на ??. У цій моделі резонатор утворено двома тонкими дзеркалами, кожне з яких має товщину 10 нм, і між ними є зазор у 250 нм. Замість того, щоб визначати два незалежні об’єкти, OghmaNano використовує функцію копіювання: визначається один об’єкт, а потім він повторюється вздовж обраного напрямку. У цьому випадку дзеркало дублюється вздовж осі z. Це контролюється полем «Кількість об’єктів», яке встановлено на 2 у напрямку z. Параметр «Крок» визначає відстань між послідовними копіями об’єкта. Тут крок у напрямку z встановлено на 260 нм. Це значення включає як зазор резонатора, так і товщину першого дзеркала. Оскільки кожне дзеркало має товщину 10 нм, фізичний зазор між двома дзеркалами становить \(260 - 10 = 250\) нм, що визначає довжину резонатора. Така конструкція дозволяє послідовно керувати обома дзеркалами, редагуючи один об’єкт.

To change the cavity length, modify the z-step from 260 nm to 360 nm in the object editor. This increases the mirror-to-mirror spacing from 250 nm to 350 nm. After applying this change, the structure should appear as shown in ??, where the cavity region is visibly larger. The resonant wavelengths of a Fabry–Pérot cavity are determined by the round-trip phase condition, \[ 2 n L = m \lambda, \] where \(n\) is the refractive index inside the cavity, \(L\) is the cavity length, and \(m\) is an integer mode number. Rearranging this gives \[ \lambda = \frac{2 n L}{m}. \]

В початковій структурі, де \(L = 250\) нм і \(n \approx 1\), основний режим (\(m=1\)) виникає при \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \]. Після збільшення довжини резонатора до \(L = 350\) нм, відповідна довжина хвилі стає \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Це очікуване зміщення домінуючої резонансної частоти резонатора.

Тепер запустіть симуляцію ще раз і проаналізуйте спектр, отриманий від детектора 1. Результат показано на ??. Ви повинні помітити, що основна характеристика, пов’язана з резонатором, змістилася з приблизно 500 нм до значення, ближчого до 700 нм, що відповідає простій моделі, наведеній вище.

Окрім основного резонансу, ви також помітите наявність інших, слабших мод. Вони відповідають рішенням вищих порядків умови Фабрі–Перо (\(m = 2, 3, \dots\)). Наприклад, коли \(m=2\), довжина хвилі становить приблизно \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), що дає змогу отримати моду з коротшою довжиною хвилі. Оскільки збудження відбувається в широкому діапазоні, можна слабко збудити кілька значень \(m\), що призведе до появи кількох піків у спектрі. Однак їхня інтенсивність залежить від того, наскільки добре вони збігаються зі спектральним вмістом джерела та наскільки ефективно вони взаємодіють через дзеркала.

9. Розширення до двовимірного формату.

Наразі ми розглянули одномірний резонатор Фабрі–Перо, у якому поля змінюються лише вздовж напрямку поширення. Однією з переваг методу скінченних різниць у часовій області (FDTD) є те, що його можна природним чином розширити на вищі розмірності. У цьому розділі ми розширюємо моделювання до двох вимірів і спостерігаємо, як змінюється поведінка поля.

Щоб зробити це, відкрийте вкладку «Оптика» (??) і запустіть редактор оптичної сітки. У редакторі сітки (??) активуйте розмірність «x», щоб симуляція враховувала зміни як у розмірності «x», так і в розмірності «z». Після застосування цієї зміни закрийте редактор і повторно запустіть симуляцію.

Варто зазначити, що додавання додаткової просторової розмірності значно збільшує обчислювальні витрати. Час обчислення може збільшитися до десяти разів, оскільки кількість точок сітки та частота оновлення полів швидко зростає зі збільшенням розмірності. Це загальна особливість методу FDTD: підвищення фізичної реалістичності досягається ціною збільшення обчислювальних зусиль.

Після завершення моделювання відкрийте папку snapshots/. Приклад результатів наведено в ??–??. За допомогою повзунка ви можете переглядати різні моменти часу та спостерігати, як хвиля поширюється від джерела, розтікається вбік і взаємодіє з порожниною, перш ніж досягти детектора.

На відміну від випадку з однією розмірністю, хвильовий фронт більше не є плоским. Натомість він поширюється вбік, утворюючи викривлені хвильові фронти та складні інтерференційні картини. Це означає, що світло може поширюватися всередині резонатора різними шляхами, а не лише прямо між двома дзеркалами. Як наслідок, ефективна оптична довжина шляху більше не є просто геометричною довжиною резонатора.

В одновимірному випадку умова резонансу виглядає так:

\(2nL = m\lambda\)

Однак, у двовимірному просторі хвиля може поширюватися під кутом. Якщо промінь рухається під кутом \(\theta\) до нормалі, то довжина шляху стає

\(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\)

і умова резонансу змінюється на

\(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\)

Оскільки \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 нм замість значення, яке передбачає проста одномірна модель.??).

Це підкреслює важливий висновок: хоча одномірні моделювання відображають основні фізичні принципи інтерферометра Фабрі–Перо, багатовимірні моделювання враховують додаткові ефекти, такі як кутова поширення, дифракція та просторова структура мод. Ці ефекти мають вирішальне значення для розуміння реальних оптичних систем, де світло рідко поширюється виключно в одному напрямку.