Межові умови для методу FDTD

1. Вступ

У часових розрахунках методом скінченних різниць (FDTD) граничні умови визначають, як поводяться електромагнітні поля на зовнішніх межах обчислювальної області. У фізичному сенсі вони визначають, що відбувається, коли хвиля досягає краю обчислювальної комірки. Це один із найважливіших аспектів моделі FDTD, оскільки числова область завжди є скінченною, тоді як фізична задача часто представляє собою поширення у відкритому просторі, повторювані структури або замкнуті порожнини. Тому роль граничної умови полягає в тому, щоб забезпечити правильне математичне продовження полів за межі урізаної сітки.

Якщо межу обрано неналежним чином, хвилі відбиваються назад у сітку, що впливає на фізичне рішення та може призвести до появи виражених артефактів у вигляді стоячих хвиль. У найгіршому випадку енергія затримується всередині об’єму моделювання, і розрахований розподіл поля більше не відображає передбачувану поведінку пристрою. Це особливо важливо у відкритих фотонних структурах, задачах розсіювання, випромінювальних системах і при обчисленні імпульсної характеристики, де вихідні хвилі повинні чітко виходити за межі області. Навпаки, у періодичних структурах правильною є не абсорбція, а повторення, і в деяких тестових задачах бажано явно задавати значення полів на межі. Отже, вибір граничних умов має відповідати фізиці моделі.

З математичної точки зору, рівняння Максвелла, що описують ротор, розв’язуються на скінченній сітці Йі. Для ізотропної області, де немає джерел поля, їх можна записати так:

\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]

Рівняння для оновлення внутрішніх значень безпосередньо випливають із цих співвідношень, але на зовнішніх комірках шаблон виходить за межі збереженої сітки. Межова умова надає відсутню інформацію, необхідну для завершення оновлення. На практиці це означає, що кожній зовнішній грані обчислювальної області має бути присвоєно числовий алгоритм, який визначає, чи фіксовані, поглинаються, періодично повторюються або послаблюються дотичні поля за допомогою відповідного поглинального шару.

У програмі OghmaNano параметри граничних умов налаштовуються за допомогою кнопки «Граничні умови» на стрічці інструментів «Оптика» (див. рисунок ??). Відповідний редактор (див. рисунок ??) дозволяє призначити різні умови для кожної зовнішньої грані області FDTD. Доступні типи граничних умов: Діріхле, Mur ABC, періодичні та PML.

Шість можливих варіантів меж відповідають шести граням модельної області в декартовій системі координат. У стандартній конфігурації відображення, що використовується в OghmaNano, \(y_0\) – це верхня грань модельної області, \(y_1\) – нижня грань, \(x_0\) – ліва грань, \(x_1\) – права грань, \(z_0\) – грань, найближча до користувача, а \(z_1\) – грань, найвіддаленіша від користувача. Схематичне зображення відповідності напрямків наведено в рисунок ??.

Редактор граничних умов призначає кожній із цих шести граней окреме правило. Це дає змогу створювати змішані області, наприклад, з періодичними границями в бічних напрямках і поглинальними границями в напрямку поширення, або з використанням PML на всіх гранях для випромінювання у вільний простір. У разі вибору PML для певної грані стає доступним додатковий параметр глибини. Ця глибина задається в комірках сітки та визначає, скільки зовнішніх шарів FDTD резервується для поглинального середовища.

2. Редактор граничних умов

Редактор граничних умов передбачає окремі елементи керування для граней \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\) і \(z_{\max}\), які відповідно відповідають \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\) і \(z_1\) у напрямку, показаному на рисунок ??. Для кожної грані обрана опція визначає, як оновлюються дотичні електричні та магнітні поля на зовнішній межі сітки.

3. Дирихле́івський граничний стан.

Умова Діріхле на границі задає значення поля на границі, встановлюючи його рівним певному значенню. У найпоширенішому випадку використання методу FDTD це значення дорівнює нулю, тому на границі забезпечується...

\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{on the selected face,} \]

Отже, ця межа діє як ідеально відбиваюча стінка для електричного поля, і будь-яка хвиля, що поширюється, відбивається назад у межі моделювання.

3. Гранична умова Мюра для ABC.

Метод поглинаючих граничних умов використовується для зменшення відбиття шляхом наближення поведінки хвилі, яка поширюється назовні, на межі обчислювальної області. Ідея полягає в тому, щоб задовольнити одноетапне хвильове рівняння, перпендикулярне до границі, щоб енергія, яка виходить за межі обчислювальної сітки, продовжувала поширюватися назовні, а не відбиватися назад.

Для одновимірної хвилі, яка поширюється в напрямку \(+x\), точна формула для опису розповсюджуваної хвилі має вигляд:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]

Перший порядок поглинальної граничної умови Мюра отримують шляхом дискретизації цього рівняння на сітці FDTD. На лівій межі використовується стандартна форма.

\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]

на протилежній стороні спостерігається аналогічний вигляд. Тут \(u_i^n\) позначає поле в просторовій координаті \(i\) і часовій координаті \(n\), \(\Delta x\) – крок сітки, а \(\Delta t\) – часовий крок методу FDTD.

Метод «поглинаючих меж» є обчислювально недорогим і потребує дуже мало додаткової пам’яті, що робить його привабливим для спрощених моделювань або попередніх розрахунків. Він намагається апроксимувати вихідну хвилю таким чином, щоб енергія могла виходити за межі області моделювання, а не відбиватися від зовнішньої межі.

Оскільки умова Мура є лише наближенням, певна частина відбиття завжди залишається. Точність погіршується у випадку косого падіння, широкосмугових імпульсів і складних багатовимірних полів розсіювання. Тому граничні умови Мура найбільше підходять для простих задач поширення, де хвилі наближаються до границі приблизно перпендикулярно до поверхні, і не потрібна надзвичайно висока точність.

Для складних оптичних моделювань, випромінювальних структур або випадків, коли хвилі досягають межі під різними кутами, слід використовувати ідеально узгоджені шари (ІУШ) замість умов Мура. Межі ІУШ створюють область поглинання, яка значно ефективніше поглинає хвилі, що розповсюджуються, і при цьому значно зменшує їх відбиття, порівняно з умовами Мура.

4. Періодичні граничні умови

Періодична гранична умова визначає одну з граней області моделювання як ідентичну протилежній грані, так що поле, яке виходить з однієї сторони, знову входить через іншу. Це доцільно, коли фізична структура нескінченно повторюється в просторі, і обчислювальна комірка представляє собою єдину елементарну комірку цієї повторюваної геометрії.

У найпростішому вигляді, періодичність передбачає.

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]

аналогічно, у напрямках \(y\) або \(z\), коли ці межі позначено як періодичні. Обчислювально, значення поля, необхідні безпосередньо за межами однієї сторони області, беруться з протилежної сторони. Отже, протилежні сторони слід розглядати як узгоджену пару. Фізично це означає, що розв’язок відповідає не окремому об’єкту, а нескінченній решітці копій змодельованої комірки.

Періодичні граничні умови зазвичай використовуються для структур, які повторюються в просторі, таких як дифракційні ґратки, фотонні кристали, елементарні комірки метаматеріалів і періодичні геометричні форми хвилеводів. Моделюючи лише одну елементарну комірку, можна значно зменшити обчислювальні витрати, зберігаючи при цьому можливість відобразити поведінку всієї повторюваної структури, за умови, що джерело та геометрія відповідають припущеному періоду.

У випадку з періодичними межами, поля, що виходять за одну межу області моделювання, знову потрапляють в неї з протилежної сторони. Таким чином, енергія не поглинається, а циркулює всередині обчислювальної комірки. Відповідно, періодичні межі не слід використовувати для відображення відкритого простору. Якщо періодичні межі застосовуються до всіх граней області моделювання, жодна енергія не може покинути цю область, і загальна електромагнітна енергія може накопичуватися з часом. У багатьох практичних FDTD-моделюваннях періодичні межі, отже, застосовуються в поперечних напрямках, а поглинаючі межі, такі як PML, використовуються в напрямку поширення.

У найзагальнішому випадку періодичні поля можуть містити фазову різницю між сусідніми комірками. Це описується умовою Блоха.

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]

аналогічний зв’язок існує і для магнітного поля. Стандартна періодична гранична умова, яка реалізована тут, відповідає особливому випадку \(k_x=0\), що означає, що поля ідентично повторюються на протилежних гранях області моделювання.

5. Гранична умова для PML.

Ідеально узгоджений шар (ІУШ) є стандартним високопродуктивним поглинаючим шаром, який використовується в сучасних FDTD-симуляціях. Його призначення полягає в поглинанні електромагнітних хвиль, що поширюються, з мінімальним відбиттям у широкому діапазоні частот і для широкого кута розповсюдження. Замість того, щоб застосовувати єдину формулу для граничних умов на зовнішній межі, ІУШ вводить штучне поглинаюче середовище, яке оточує фізичну область симуляції. Хвилі, що потрапляють у цей шар, зазнають ослаблення, не стикаючись із різкою зміною імпедансу на межі.

Основна ідея полягає в тому, що PML узгоджується з внутрішнім середовищем на вхідній площині, тому вхідна хвиля не стикається з розривом, який сам по собі спричинив би відбиття. Після потрапляння всередину шару поля експоненційно згасають. У неперервній формі це можна інтерпретувати як комплексне розтягування координат, наприклад.

\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]

при цьому відповідні коефіцієнти розтягу застосовуються в інших напрямках. Тут \(\sigma_x\) – це штучний профіль провідності, а \(\kappa_x\) – коефіцієнт масштабування, який використовується в методах PML із розтягнутими координатами. В результаті поля, що поширюються, послаблюються під час проходження через шар, при цьому на межі з фізичною областю зберігається приблизна відсутність відбиття.

У OghmaNano, вибір PML для певної межі активує цей поглинаючий шар на відповідній стороні області моделювання. Параметр, що визначає глибину PML, встановлює кількість комірок сітки, відведених для цього шару. Загалом, товстіший шар PML забезпечує сильніше загасання, оскільки поле має більшу відстань для розсіювання. Якщо шар PML занадто тонкий, певна частина енергії може досягти зовнішньої межі та відбитися. Якщо шар достатньо товстий, вихідне поле загасає до незначних значень ще до того, як досягне зовнішньої межі.

Зручний спосіб зрозуміти залежність від товщини полягає в тому, щоб зазначити, що складова поля всередині поглинаючого середовища зменшується приблизно пропорційно до

\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]

де \(d\) – відстань, на яку сигнал поширюється в межах шару PML, а \(\alpha\) – ефективний коефіцієнт ослаблення, який визначається градієнтом провідності. Отже, збільшення кількості комірок шару PML зменшує залишкову амплітуду, що досягає зовнішньої межі. З практичної точки зору, глибина шару PML має бути достатньо великою, щоб відбиття від задньої стінки шару були незначними порівняно з фізичним сигналом, який нас цікавить.

Метод PML зазвичай є кращим вибором для встановлення граничних умов у відкритих фотонних та електромагнітних моделюваннях, зокрема для моделювання випромінювання в хвилеводах, розсіювання від окремих об’єктів, випромінювання, подібного до антенного, і поширення імпульсів у перехідних процесах. Він значно надійніший, ніж прості поглинальні граничні умови, коли поля досягають границі під кутом або містять широкий спектр частот. З цієї причини метод PML є стандартним вибором у багатьох FDTD-моделях, де очікується, що хвилі виходитимуть за межі обчислювальної області.

Навіть при використанні PML, дотримання правильних принципів моделювання залишається важливим. Поглинаючий шар не слід розміщувати занадто близько до області з сильно згасаючим або високорезонансним полем, оскільки нерозповсюджувані поля поблизу можуть взаємодіяти з поглинаючим матеріалом і змінювати рішення. Загалом, фізичну структуру слід відокремлювати від PML достатньою кількістю вільного простору, щоб вихідна хвильова поверхня могла чітко сформуватися. При такому використанні, PML забезпечує найбільш точне наближення у методі FDTD до відкритої, невідбивної зовнішньої області.