FDTD 경계 조건

1. 소개

유한차분 시간영역(FDTD) 시뮬레이션에서 경계 조건은 계산 도메인의 바깥 경계에서 전자기장이 어떻게 거동하는지를 정의합니다. 물리적으로 말하면, 이것은 파가 시뮬레이션 셀의 가장자리에 도달했을 때 무엇이 일어나는지를 결정합니다. 이는 FDTD 모델에서 가장 중요한 측면 중 하나인데, 수치 도메인은 항상 유한하지만 물리 문제는 종종 개방 공간에서의 전파, 반복 구조 또는 제한된 공동을 나타내기 때문입니다. 따라서 경계 조건의 역할은 잘린 메시 너머에서 장의 올바른 수학적 연속을 부과하는 것입니다.

경계가 잘못 선택되면 파가 메시 내부로 반사되어 물리 해와 간섭하고 강한 정상파 인공 산물을 만들 수 있습니다. 최악의 경우 에너지가 시뮬레이션 부피 안에 갇히게 되어 계산된 장 분포가 더 이상 의도한 장치를 나타내지 않게 됩니다. 이것은 개방형 포토닉 구조, 산란 문제, 복사 시스템, 임펄스 응답 계산에서 특히 중요하며, 이러한 경우 외향파는 도메인을 깨끗하게 빠져나가야 합니다. 반대로 주기 구조에서는 올바른 거동이 흡수가 아니라 반복이며, 일부 시험 문제에서는 경계에서 장을 명시적으로 고정하는 것이 바람직합니다. 따라서 경계 조건의 선택은 모델의 물리와 일치해야 합니다.

수학적으로 Maxwell의 curl 방정식은 유한한 Yee 격자 위에서 풀립니다. 소스가 없는 등방성 영역에서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다

\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]

내부 갱신 방정식은 이 관계들로부터 직접 따라오지만, 가장 바깥 셀에서는 스텐실이 저장된 메시 너머까지 도달합니다. 경계 조건은 갱신을 완성하는 데 필요한 누락된 정보를 제공합니다. 실제로 이는 시뮬레이션 상자의 각 외부 면에 대해 접선 장이 고정될지, 흡수될지, 주기적으로 감길지, 또는 정합된 흡수층을 통해 감쇠될지를 결정하는 수치 규칙을 할당해야 함을 의미합니다.

OghmaNano에서는 Optical 리본의 Boundary Conditions 버튼에서 경계 조건을 구성합니다 (그림 ?? 참조). 해당 편집기(그림 ?? 참조)를 사용하면 FDTD 영역의 각 외부 면에 서로 다른 조건을 할당할 수 있습니다. 사용 가능한 경계 유형은 Dirichlet, Mur ABC, Periodic, PML입니다.

선택 가능한 여섯 개의 경계는 Cartesian 시뮬레이션 상자의 여섯 면에 대응합니다. OghmaNano가 사용하는 기본 보기 구성에서 \(y_0\)는 시뮬레이션 영역의 위쪽 면, \(y_1\)은 아래쪽 면, \(x_0\)는 왼쪽 면, \(x_1\)은 오른쪽 면, \(z_0\)는 사용자에게 가장 가까운 면, \(z_1\)은 가장 먼 면입니다. 이 방향 매핑은 그림 ??에 나와 있습니다.

경계 조건 편집기는 이 여섯 면 각각에 대해 하나의 규칙을 독립적으로 할당합니다. 이를 통해 예를 들어 측방 방향에는 주기 경계를, 전파 방향에는 흡수 경계를 두거나, 자유 공간으로의 복사를 위해 모든 면에 PML을 두는 것과 같은 혼합 도메인을 구성할 수 있습니다. PML이 선택되면 해당 면에 대해 추가 깊이 파라미터를 사용할 수 있습니다. 이 깊이는 메시 셀 단위로 주어지며, 흡수 매질에 예약되는 외부 FDTD 층의 수를 결정합니다.

2. 경계 조건 편집기

경계 조건 편집기는 \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\), \(z_{\max}\) 면에 대해 각각 별도의 제어를 제공하며, 이는 그림 ??에 나타난 방향 규약에서 각각 \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\), \(z_1\)에 대응합니다. 각 면에 대해 선택된 옵션은 격자의 바깥 가장자리에서 접선 전기장과 자기장이 어떻게 갱신되는지를 결정합니다.

3. Dirichlet 경계 조건

Dirichlet 경계 조건은 경계 위의 장을 지정된 값으로 고정합니다. 가장 일반적인 FDTD 사용에서는 이 값이 0이므로, 경계는 다음을 강제합니다

\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{on the selected face,} \]

따라서 이 경계는 전기장에 대해 완전 반사 벽처럼 동작하며, 외향파는 시뮬레이션 영역 내부로 다시 반사됩니다.

3. Mur ABC 경계 조건

Mur 흡수 경계 조건은 계산 도메인의 가장자리에서 외향 진행파의 거동을 근사함으로써 반사를 줄이도록 설계되었습니다. 핵심 아이디어는 경계에 수직한 방향의 일방향 파동 방정식을 만족시켜, 격자를 떠나는 에너지가 다시 반사되지 않고 계속 바깥쪽으로 전파되도록 하는 것입니다.

\(+x\) 방향으로 진행하는 1차원 파에 대해, 정확한 외향파 관계식은 다음과 같습니다

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]

Mur의 1차 흡수 경계 조건은 이 방정식을 FDTD 메시 위에서 이산화하여 얻어집니다. 왼쪽 경계에서의 표준 형식은 다음과 같습니다

\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]

반대쪽 경계에서도 유사한 식이 적용됩니다. 여기서 \(u_i^n\)는 공간 인덱스 \(i\), 시간 인덱스 \(n\)에서의 장을 나타내고, \(\Delta x\)는 메시 간격, \(\Delta t\)는 FDTD 시간 스텝입니다.

Mur 흡수 경계 조건은 계산 비용이 낮고 추가 메모리를 거의 필요로 하지 않으므로, 가벼운 시뮬레이션이나 탐색적 계산에 매력적입니다. 이 조건은 외향파를 근사하려 하므로 에너지가 바깥 경계에서 반사되지 않고 시뮬레이션 도메인을 떠날 수 있습니다.

Mur 조건은 근사일 뿐이므로 항상 어느 정도 반사가 남습니다. 정확도는 경사 입사, 광대역 펄스, 복잡한 다차원 산란장에 대해 더 나빠집니다. 따라서 Mur 경계는 파가 대체로 표면에 수직으로 경계에 도달하고 매우 높은 정확도가 요구되지 않는 단순 전파 문제에 가장 적합합니다.

까다로운 광학 시뮬레이션, 복사 구조 또는 파가 여러 각도에서 경계에 도달하는 경우에는 대신 완전 정합층(PML)을 사용해야 합니다. PML 경계는 외향파를 훨씬 더 효과적으로 제거하고, Mur 조건보다 훨씬 낮은 반사로 흡수 영역을 제공합니다.

4. 주기 경계 조건

주기 경계 조건은 시뮬레이션 영역의 한 면을 반대편 면과 동일시하여, 한쪽으로 나간 장이 다른 쪽으로 다시 들어오도록 합니다. 이는 물리 구조가 공간에서 무한히 반복되고 계산 셀이 그러한 반복 기하 구조의 단위 셀 하나를 나타낼 때 적합합니다.

가장 단순한 형태에서 주기성은 다음을 부과합니다

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]

\(y\) 또는 \(z\) 방향 경계가 주기로 표시된 경우에도 유사합니다. 수치적으로는 도메인 한쪽 바깥에 필요한 장 값을 반대편에서 가져옵니다. 따라서 서로 마주 보는 면은 일치하는 쌍으로 처리되어야 합니다. 물리적으로 이것은 해가 고립된 물체가 아니라 시뮬레이션 셀의 복사본이 무한히 반복된 격자에 대응함을 의미합니다.

주기 경계는 회절 격자, photonic crystal, metamaterial unit cell, 주기적인 waveguide 기하 구조처럼 공간적으로 반복되는 구조에 흔히 사용됩니다. 단일 unit cell만 모델링함으로써, 소스와 기하 구조가 가정된 주기성과 일치하는 한 전체 반복 구조의 거동을 표현하면서 계산 비용을 크게 줄일 수 있습니다.

주기 경계에서는 시뮬레이션 도메인의 한쪽을 떠난 장이 반대편으로 다시 들어옵니다. 따라서 에너지는 흡수되지 않고 계산 셀 내부를 재순환합니다. 결과적으로 주기 경계는 개방 공간을 나타내는 데 사용해서는 안 됩니다. 시뮬레이션 영역의 모든 면에 주기 경계가 적용되면 어떤 에너지도 도메인을 떠날 수 없으며, 총 전자기 에너지가 시간에 따라 축적될 수 있습니다. 따라서 많은 실제 FDTD 시뮬레이션에서는 횡방향에 주기 경계를 적용하고, 전파 방향에는 PML 같은 흡수 경계를 사용합니다.

가장 일반적인 경우 주기장은 인접 셀 사이에 위상 이동을 포함할 수 있습니다. 이는 Bloch 조건으로 기술됩니다

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]

자기장에 대해서도 유사한 관계가 적용됩니다. 여기서 구현된 표준 주기 경계는 특수한 경우 \(k_x=0\)에 해당하며, 이는 시뮬레이션 도메인의 마주 보는 면에서 장이 동일하게 반복됨을 의미합니다.

5. PML 경계 조건

완전 정합층(PML)은 현대 FDTD 시뮬레이션에서 표준적으로 사용되는 고성능 흡수 경계입니다. 그 목적은 넓은 주파수 범위와 넓은 입사각 분포에 대해 외향 전자기파를 최소한의 반사로 제거하는 것입니다. 바깥 가장자리에 한 단계 경계 공식을 부과하는 대신, PML은 물리적 시뮬레이션 영역을 둘러싸는 인공 흡수 매질을 도입합니다. 이 층에 प्रवेश하는 파는 계면에서 날카로운 임피던스 불연속을 보지 않고 감쇠를 경험합니다.

정의적인 아이디어는 PML이 입구 평면에서 내부 매질과 정합된다는 것입니다. 따라서 입사파는 자체적으로 반사를 생성할 불연속을 만나지 않습니다. 일단 층 안으로 들어가면 장은 지수적으로 감쇠됩니다. 연속체 형태에서는 이를 복소 좌표 스트레칭으로 해석할 수 있으며, 예를 들어 다음과 같습니다

\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]

다른 방향에서도 대응하는 스트레칭 인자가 적용됩니다. 여기서 \(\sigma_x\)는 인공 전도도 프로파일이고 \(\kappa_x\)는 stretched-coordinate PML 형식에서 사용되는 스케일링 인자입니다. 그 결과 전파장은 PML 층을 통과하면서 감쇠되지만, 물리 도메인과의 계면에서는 거의 반사가 없는 상태를 유지합니다.

OghmaNano에서 특정 면에 대해 PML을 선택하면 시뮬레이션 영역의 해당 면에 이 흡수층이 활성화됩니다. 관련된 PML depth 파라미터는 층에 할당되는 메시 셀 수를 설정합니다. 일반적으로 더 두꺼운 PML은 장이 감쇠할 수 있는 거리가 더 길기 때문에 더 강한 감쇠를 제공합니다. PML이 너무 얇으면 일부 에너지가 바깥쪽 절단 경계에 도달해 반사될 수 있습니다. 충분히 두꺼우면 외향 장은 바깥 가장자리에 도달하기 전에 무시할 수 있을 정도로 감쇠됩니다.

두께 의존성을 이해하는 편리한 방법은 흡수 매질 내부의 장 성분이 대략 다음과 같이 감쇠한다는 점입니다

\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]

여기서 \(d\)는 PML 안으로 진행한 거리이고 \(\alpha\)는 전도도 그래이딩에 의해 결정되는 유효 감쇠 계수입니다. 따라서 PML 셀 수를 늘리면 외부 절단 경계에 도달하는 잔류 진폭이 감소합니다. 실제로는, PML 깊이는 층의 뒤쪽에서 반사되는 성분이 관심 있는 물리 신호에 비해 무시될 정도가 되도록 충분히 커야 합니다.

PML은 waveguide 복사, 고립 물체에 의한 산란, 안테나형 방출, 과도 펄스 전파를 포함한 개방형 포토닉 및 전자기 시뮬레이션에서 보통 선호되는 경계 조건입니다. 장이 경계에 사선으로 도달하거나 넓은 스펙트럼 성분을 포함할 때, 단순 흡수 경계 조건보다 훨씬 더 강건합니다. 이런 이유로 파가 계산 상자를 떠날 것으로 예상되는 많은 FDTD 모델에서 PML이 기본 선택입니다.

PML을 사용하더라도 좋은 모델링 관행은 여전히 중요합니다. 흡수층은 강한 에반센트 장 또는 높은 공진장 영역에 너무 가깝게 두어서는 안 됩니다. 비전파 근접장이 흡수 매질과 상호작용하여 해를 바꿀 수 있기 때문입니다. 일반적으로 물리 구조는 외향 파면이 깨끗하게 형성될 수 있도록 PML과 충분한 자유 공간으로 분리되어야 합니다. 이러한 방식으로 사용할 때, PML은 FDTD에서 개방적이고 무반사인 외부 도메인에 가장 가까운 근사를 제공합니다.