Condições de contorno FDTD

1. Introdução

Em simulações de domínio do tempo por diferenças finitas (FDTD), as condições de contorno definem como os campos eletromagnéticos se comportam nos limites externos do domínio computacional. Em termos físicos, elas determinam o que acontece quando uma onda alcança a borda da célula de simulação. Este é um dos aspectos mais importantes de um modelo FDTD porque o domínio numérico é sempre finito, enquanto o problema físico frequentemente representa propagação em espaço aberto, estruturas repetidas ou cavidades confinadas. O papel da condição de contorno é, portanto, impor a continuação matemática correta dos campos além da malha truncada.

Se um contorno for escolhido de forma inadequada, as ondas refletem de volta para a malha, interferem na solução física e podem produzir fortes artefatos de onda estacionária. No pior caso, a energia fica presa dentro do volume de simulação e a distribuição de campo calculada deixa de representar o dispositivo pretendido. Isso é especialmente importante em estruturas fotônicas abertas, problemas de espalhamento, sistemas radiantes e cálculos de resposta ao impulso, nos quais ondas de saída devem deixar o domínio de forma limpa. Por outro lado, em estruturas periódicas o comportamento correto não é absorção, mas repetição, e em alguns problemas de teste é desejável fixar explicitamente os campos no contorno. A escolha da condição de contorno deve, portanto, corresponder à física do modelo.

Matematicamente, as equações de rotacional de Maxwell são resolvidas em uma grade Yee finita. Para uma região isotrópica sem fonte, elas podem ser escritas como

\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]

As equações de atualização no interior seguem diretamente dessas relações, mas nas células mais externas o stencil se estende além da malha armazenada. A condição de contorno fornece a informação ausente necessária para completar a atualização. Na prática, isso significa que cada face externa da caixa de simulação deve receber uma regra numérica que determine se os campos tangenciais são fixados, absorvidos, encapsulados periodicamente ou atenuados por uma camada absorvente casada.

No OghmaNano, as condições de contorno são configuradas a partir do botão Boundary Conditions na faixa Optical (veja Figure ??). O editor correspondente (veja Figure ??) permite atribuir uma condição diferente a cada face externa da região FDTD. Os tipos de contorno disponíveis são Dirichlet, Mur ABC, Periodic e PML.

Os seis contornos selecionáveis correspondem às seis faces da caixa de simulação cartesiana. Na configuração de visualização padrão usada pelo OghmaNano, \(y_0\) é a face superior da região de simulação, \(y_1\) é a face inferior, \(x_0\) é a face esquerda, \(x_1\) é a face direita, \(z_0\) é a face mais próxima do usuário e \(z_1\) é a face mais distante do usuário. O mapeamento direcional é ilustrado em Figure ??.

O editor de condições de contorno atribui uma regra a cada uma dessas seis faces de forma independente. Isso torna possível construir domínios mistos, por exemplo com contornos periódicos nas direções laterais e contornos absorventes na direção de propagação, ou com PML em todas as faces para radiação em espaço livre. Quando PML é selecionado, um parâmetro adicional de profundidade fica disponível para essa face. Essa profundidade é dada em células da malha e determina quantas camadas FDTD externas são reservadas para o meio absorvente.

2. Editor de condições de contorno

O editor de condições de contorno fornece um controle separado para as faces \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\) e \(z_{\max}\), correspondendo respectivamente a \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\) e \(z_1\) na convenção direcional mostrada em Figure ??. Para cada face, a opção selecionada determina como os campos elétricos e magnéticos tangenciais são atualizados na borda externa da grade.

3. Condição de contorno de Dirichlet

Uma condição de contorno de Dirichlet fixa o campo no contorno em um valor prescrito. No uso FDTD mais comum, esse valor é zero, de modo que o contorno impõe

\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{na face selecionada,} \]

O contorno, portanto, se comporta como uma parede perfeitamente refletora para o campo elétrico, e qualquer onda de saída é refletida de volta para a região de simulação.

3. Condição de contorno Mur ABC

As condições de contorno absorventes de Mur são projetadas para reduzir a reflexão aproximando o comportamento de uma onda que se propaga para fora na borda do domínio computacional. A ideia é satisfazer uma equação de onda unidirecional normal ao contorno, de modo que a energia que deixa a grade continue a se propagar para fora, em vez de refletir de volta.

Para uma onda unidimensional viajando na direção \(+x\), a relação exata de onda de saída é

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]

A condição de contorno absorvente de primeira ordem de Mur é obtida discretizando essa equação na malha FDTD. No contorno esquerdo, uma forma padrão é

\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]

com uma expressão análoga no lado oposto. Aqui \(u_i^n\) denota o campo no índice espacial \(i\) e no índice temporal \(n\), \(\Delta x\) é o espaçamento da malha e \(\Delta t\) é o passo de tempo FDTD.

As condições de contorno absorventes de Mur são computacionalmente baratas e exigem muito pouca memória adicional, o que as torna atraentes para simulações leves ou cálculos exploratórios. Elas tentam aproximar uma onda de saída para que a energia possa deixar o domínio de simulação em vez de refletir no contorno externo.

Como a condição de Mur é apenas uma aproximação, sempre permanece alguma reflexão. A precisão se deteriora para incidência oblíqua, pulsos de banda larga e campos complexos de espalhamento multidimensional. Portanto, contornos Mur são mais apropriados para problemas simples de propagação nos quais as ondas se aproximam do contorno aproximadamente normais à superfície e não é necessária precisão muito alta.

Para simulações ópticas exigentes, estruturas radiantes ou casos em que as ondas atingem o contorno a partir de múltiplos ângulos, camadas perfeitamente casadas (PML) devem ser usadas em seu lugar. Contornos PML introduzem uma região absorvente que remove ondas de saída de forma muito mais eficaz e com reflexão significativamente menor do que condições de Mur.

4. Condição de contorno periódica

Uma condição de contorno periódica identifica uma face da região de simulação com a face oposta, de modo que o campo que sai de um lado reentra pelo outro. Isso é apropriado quando a estrutura física se repete indefinidamente no espaço e a célula computacional representa uma única célula unitária dessa geometria repetitiva.

Em sua forma mais simples, a periodicidade impõe

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]

e de forma semelhante nas direções \(y\) ou \(z\) quando esses contornos são marcados como periódicos. Numericamente, os valores de campo necessários logo além de um lado do domínio são obtidos do lado oposto. As faces opostas devem, portanto, ser tratadas como um par casado. Fisicamente, isso significa que a solução não corresponde a um objeto isolado, mas a uma rede infinita de cópias da célula simulada.

Contornos periódicos são comumente usados para estruturas que se repetem no espaço, como redes de difração, cristais fotônicos, células unitárias de metamateriais e geometrias periódicas de guias de onda. Ao modelar apenas uma única célula unitária, o custo computacional pode ser muito reduzido, ainda representando o comportamento da estrutura repetida completa, desde que a fonte e a geometria sejam consistentes com a periodicidade assumida.

Com contornos periódicos, os campos que deixam um lado do domínio de simulação reentram pelo lado oposto. A energia, portanto, não é absorvida, mas recirculada pela célula computacional. Consequentemente, contornos periódicos não devem ser usados para representar espaço aberto. Se contornos periódicos forem aplicados em todas as faces da região de simulação, nenhuma energia poderá deixar o domínio e a energia eletromagnética total poderá se acumular com o tempo. Em muitas simulações FDTD práticas, portanto, contornos periódicos são aplicados nas direções transversais enquanto contornos absorventes, como PML, são usados na direção de propagação.

No caso mais geral, campos periódicos podem incluir uma mudança de fase entre células adjacentes. Isso é descrito pela condição de Bloch

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]

com uma relação análoga para o campo magnético. O contorno periódico padrão implementado aqui corresponde ao caso especial \(k_x=0\), significando que os campos se repetem de forma idêntica entre faces opostas do domínio de simulação.

5. Condição de contorno PML

A camada perfeitamente casada (PML) é o contorno absorvente de alto desempenho padrão usado em simulações FDTD modernas. Seu objetivo é remover ondas eletromagnéticas de saída com reflexão mínima em uma ampla faixa de frequências e para um amplo conjunto de ângulos. Em vez de impor uma fórmula de contorno de uma única etapa na borda externa, a PML introduz um meio absorvente artificial que circunda a região física de simulação. Ondas que entram nessa camada sofrem atenuação sem encontrar um desajuste brusco de impedância na interface.

A ideia definidora é que a PML é casada com o meio interno no plano de entrada, de modo que uma onda incidente não encontra uma descontinuidade que por si só geraria reflexão. Uma vez dentro da camada, os campos são amortecidos exponencialmente. Em forma contínua, isso pode ser interpretado por meio de um estiramento de coordenadas complexo, por exemplo

\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]

com fatores de estiramento correspondentes nas outras direções. Aqui \(\sigma_x\) é um perfil artificial de condutividade e \(\kappa_x\) é um fator de escala usado em formulações PML de coordenadas esticadas. O efeito é que os campos propagantes são atenuados à medida que atravessam a camada, enquanto permanecem aproximadamente livres de reflexão na interface com o domínio físico.

No OghmaNano, selecionar PML para uma determinada face ativa essa camada absorvente nesse lado da região de simulação. O parâmetro associado PML depth define o número de células da malha alocadas para a camada. Uma PML mais espessa geralmente fornece atenuação mais forte porque o campo tem mais distância para decair. Se a PML for muito fina, alguma energia pode alcançar a truncação externa e refletir. Se for suficientemente espessa, o campo de saída é amortecido até um valor desprezível antes de alcançar a borda externa.

Uma forma conveniente de entender a dependência com a espessura é notar que um componente de campo dentro de um meio absorvente decai aproximadamente como

\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]

onde \(d\) é a distância percorrida dentro da PML e \(\alpha\) é um coeficiente efetivo de atenuação definido pelo gradiente de condutividade. Aumentar o número de células PML, portanto, reduz a amplitude residual que alcança a truncação externa. Em termos práticos, a profundidade da PML deve ser grande o suficiente para que reflexões a partir do fundo da camada sejam desprezíveis em comparação com o sinal físico de interesse.

A PML normalmente é a condição de contorno preferida para simulações fotônicas e eletromagnéticas abertas, incluindo radiação de guia de onda, espalhamento por objetos isolados, emissão tipo antena e propagação de pulsos transitórios. Ela é muito mais robusta do que condições de contorno absorventes simples quando os campos atingem o contorno obliquamente ou contêm conteúdo espectral amplo. Por essa razão, a PML é a escolha padrão em muitos modelos FDTD nos quais se espera que as ondas deixem a caixa computacional.

Mesmo com PML, boas práticas de modelagem continuam sendo importantes. A camada absorvente não deve ser colocada muito próxima de uma região de campo fortemente evanescente ou altamente ressonante, porque campos próximos não propagantes podem interagir com o material absorvente e alterar a solução. Em geral, a estrutura física deve ser separada da PML por espaço livre suficiente para que a frente de onda de saída se forme de maneira limpa. Usada dessa forma, a PML fornece a aproximação mais próxima em FDTD de um domínio externo aberto e não refletor.