شرایط مرزی FDTD
1. مقدمه
در شبیهسازیهای finite-difference time-domain (FDTD)، شرایط مرزی تعیین میکنند که میدانهای الکترومغناطیسی در کرانهای بیرونی دامنه محاسباتی چگونه رفتار کنند. از نظر فیزیکی، آنها تعیین میکنند وقتی یک موج به لبه سلول شبیهسازی میرسد چه اتفاقی میافتد. این یکی از مهمترین جنبههای یک مدل FDTD است زیرا دامنه عددی همیشه متناهی است، در حالی که مسئله فیزیکی اغلب انتشار در فضای باز، ساختارهای تکرارشونده، یا حفرههای محبوس را نمایش میدهد. بنابراین نقش شرط مرزی این است که ادامه ریاضی درست میدانها را فراتر از شبکه بریدهشده اعمال کند.
اگر یک مرز بهخوبی انتخاب نشود، موجها به داخل شبکه بازتاب میشوند، با حل فیزیکی تداخل میکنند، و میتوانند مصنوعهای شدید موج ایستاده ایجاد کنند. در بدترین حالت، انرژی درون حجم شبیهسازی به دام میافتد و توزیع میدان محاسبهشده دیگر نماینده دستگاه مورد نظر نخواهد بود. این موضوع بهویژه در ساختارهای فوتونیکی باز، مسائل پراکندگی، سامانههای تابشی، و محاسبات پاسخ ضربهای مهم است، جایی که موجهای خروجی باید دامنه را بهصورت تمیز ترک کنند. برعکس، در ساختارهای تناوبی رفتار درست جذب نیست بلکه تکرار است، و در برخی مسائل آزمون مطلوب است که میدانها در مرز بهطور صریح تثبیت شوند. بنابراین انتخاب شرط مرزی باید با فیزیک مدل منطبق باشد.
از نظر ریاضی، معادلات curl ماکسول روی یک شبکه Yee متناهی حل میشوند. برای یک ناحیه همسانگرد بدون منبع، این معادلات را میتوان بهصورت زیر نوشت:
\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]
معادلات بهروزرسانی درونی مستقیماً از این روابط تبعیت میکنند، اما در بیرونیترین سلولها شابلون فراتر از شبکه ذخیرهشده امتداد مییابد. شرط مرزی اطلاعات مفقود مورد نیاز برای کامل کردن بهروزرسانی را فراهم میکند. در عمل این به این معناست که برای هر وجه بیرونی جعبه شبیهسازی باید یک قاعده عددی اختصاص داده شود که تعیین کند آیا میدانهای مماسی تثبیت میشوند، جذب میشوند، بهصورت تناوبی پیچیده میشوند، یا از طریق یک لایه جذبکننده تطبیقیافته تضعیف میشوند.
در OghmaNano، شرایط مرزی از طریق دکمه Boundary Conditions در ریبون Optical پیکربندی میشوند (نگاه کنید به Figure ??). ویرایشگر متناظر (نگاه کنید به Figure ??) اجازه میدهد یک شرط متفاوت به هر وجه بیرونی ناحیه FDTD اختصاص داده شود. انواع مرزی موجود عبارتاند از Dirichlet، Mur ABC، Periodic، و PML.
شش مرز قابل انتخاب متناظر با شش وجه جعبه شبیهسازی کارتزین هستند. در پیکربندی نمای پیشفرض مورد استفاده توسط OghmaNano، \(y_0\) وجه بالایی ناحیه شبیهسازی، \(y_1\) وجه پایینی، \(x_0\) وجه چپ، \(x_1\) وجه راست، \(z_0\) وجه نزدیکتر به کاربر، و \(z_1\) وجه دورتر از کاربر است. نگاشت جهتی در Figure ?? نشان داده شده است.
ویرایشگر شرایط مرزی به هر یک از این شش وجه بهصورت مستقل یک قاعده اختصاص میدهد. این کار امکان ساخت دامنههای ترکیبی را فراهم میکند، برای مثال با مرزهای تناوبی در جهتهای جانبی و مرزهای جذبکننده در جهت انتشار، یا با PML روی همه وجهها برای تابش به فضای آزاد. هنگامی که PML انتخاب میشود، یک پارامتر عمق اضافی برای آن وجه در دسترس است. این عمق بر حسب سلولهای شبکه داده میشود و تعیین میکند چند لایه بیرونی FDTD برای محیط جذبکننده رزرو شوند.
2. ویرایشگر شرایط مرزی
ویرایشگر شرایط مرزی یک کنترل جداگانه برای وجههای \(y_{\min}\)، \(y_{\max}\)، \(x_{\min}\)، \(x_{\max}\)، \(z_{\min}\)، و \(z_{\max}\) فراهم میکند، که بهترتیب متناظر با \(y_0\)، \(y_1\)، \(x_0\)، \(x_1\)، \(z_0\)، و \(z_1\) در قرارداد جهت نشاندادهشده در Figure ?? هستند. برای هر وجه، گزینه انتخابشده تعیین میکند که میدانهای الکتریکی و مغناطیسی مماسی در لبه بیرونی شبکه چگونه بهروزرسانی شوند.
3. شرط مرزی Dirichlet
یک شرط مرزی Dirichlet میدان را روی مرز به یک مقدار تجویزشده تثبیت میکند. در رایجترین کاربرد FDTD این مقدار صفر است، بنابراین مرز اعمال میکند که
\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{روی وجه انتخابشده،} \]
بنابراین مرز برای میدان الکتریکی مانند یک دیوار کاملاً بازتابنده رفتار میکند، و هر موج خروجی به ناحیه شبیهسازی بازتاب میشود.
3. شرط مرزی Mur ABC
شرایط مرزی جذبکننده Mur برای کاهش بازتاب با تقریب رفتار یک موج در حال حرکت به خارج در لبه دامنه محاسباتی طراحی شدهاند. ایده این است که یک معادله موج یکطرفه عمود بر مرز ارضا شود تا انرژیای که از شبکه خارج میشود بهجای بازتاب به عقب، به انتشار به سمت بیرون ادامه دهد.
برای یک موج یکبعدی که در جهت \(+x\) حرکت میکند، رابطه دقیق موج خروجی برابر است با
\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]
شرط مرزی جذبکننده مرتبه اول Mur با گسستهسازی این معادله روی شبکه FDTD به دست میآید. روی مرز چپ، یک فرم استاندارد به صورت زیر است:
\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]
با یک عبارت متناظر در سمت مقابل. در اینجا \(u_i^n\) میدان در اندیس مکانی \(i\) و اندیس زمانی \(n\) را نشان میدهد، \(\Delta x\) فاصله شبکه، و \(\Delta t\) گام زمانی FDTD است.
شرایط مرزی جذبکننده Mur از نظر محاسباتی ارزان هستند و به حافظه اضافی بسیار کمی نیاز دارند، که آنها را برای شبیهسازیهای سبک یا محاسبات اکتشافی جذاب میکند. آنها تلاش میکنند یک موج خروجی را تقریب بزنند تا انرژی بتواند دامنه شبیهسازی را ترک کند نه اینکه از مرز بیرونی بازتاب شود.
چون شرط Mur فقط یک تقریب است، همیشه مقداری بازتاب باقی میماند. دقت آن برای برخورد مایل، پالسهای پهنباند، و میدانهای پراکندگی پیچیده چندبعدی افت میکند. بنابراین مرزهای Mur بیشتر برای مسائل انتشار ساده مناسباند که در آنها موجها تقریباً عمود بر سطح به مرز نزدیک میشوند و دقت بسیار بالا مورد نیاز نیست.
برای شبیهسازیهای نوری demanding، ساختارهای تابشی، یا حالتهایی که در آنها موجها از چندین زاویه به مرز برخورد میکنند، باید بهجای آن از لایههای کاملاً تطبیقیافته (PML) استفاده شود. مرزهای PML یک ناحیه جذبکننده معرفی میکنند که موجهای خروجی را بسیار مؤثرتر و با بازتابی بهمراتب کمتر از شرایط Mur حذف میکند.
4. شرط مرزی تناوبی
یک شرط مرزی تناوبی یک وجه ناحیه شبیهسازی را با وجه مقابل یکی میگیرد بهطوری که میدانی که از یک سمت خارج میشود از سمت دیگر دوباره وارد شود. این برای حالتی مناسب است که ساختار فیزیکی بهطور نامتناهی در فضا تکرار میشود و سلول محاسباتی نماینده یک سلول واحد از آن هندسه تکرارشونده است.
در سادهترین فرم، تناوبیت اعمال میکند که
\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]
و بهطور مشابه در جهتهای \(y\) یا \(z\) وقتی آن مرزها بهعنوان تناوبی علامتگذاری شده باشند. از نظر عددی، مقادیر میدان مورد نیاز دقیقاً فراتر از یک سمت دامنه از سمت مقابل گرفته میشوند. بنابراین وجههای مقابل باید بهصورت یک جفت تطبیقیافته در نظر گرفته شوند. از نظر فیزیکی، این به این معناست که پاسخ متناظر نه با یک جسم منفرد، بلکه با یک شبکه نامتناهی از نسخههای سلول شبیهسازیشده است.
مرزهای تناوبی معمولاً برای ساختارهایی استفاده میشوند که در فضا تکرار میشوند، مانند توریهای پراش، بلورهای فوتونی، سلولهای واحد متامتریال، و هندسههای موجبر تناوبی. با مدلسازی فقط یک سلول واحد، هزینه محاسباتی میتواند بهشدت کاهش یابد در حالی که هنوز رفتار کل ساختار تکرارشونده نمایش داده میشود، مشروط بر اینکه منبع و هندسه با تناوب فرضشده سازگار باشند.
با مرزهای تناوبی، میدانهایی که از یک سمت دامنه شبیهسازی خارج میشوند از سمت مقابل دوباره وارد میشوند. بنابراین انرژی جذب نمیشود بلکه درون سلول محاسباتی بازگردش میکند. در نتیجه، مرزهای تناوبی نباید برای نمایش فضای باز استفاده شوند. اگر مرزهای تناوبی روی همه وجههای ناحیه شبیهسازی اعمال شوند، هیچ انرژیای نمیتواند دامنه را ترک کند و ممکن است کل انرژی الکترومغناطیسی با گذشت زمان انباشته شود. بنابراین در بسیاری از شبیهسازیهای عملی FDTD، مرزهای تناوبی در جهتهای عرضی اعمال میشوند در حالی که مرزهای جذبکنندهای مانند PML در جهت انتشار استفاده میشوند.
در کلیترین حالت، میدانهای تناوبی ممکن است شامل یک شیفت فاز بین سلولهای مجاور باشند. این حالت با شرط Bloch توصیف میشود:
\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]
با یک رابطه مشابه برای میدان مغناطیسی. شرط مرزی تناوبی استانداردی که در اینجا پیادهسازی شده است متناظر با حالت ویژه \(k_x=0\) است، به این معنا که میدانها بهصورت یکسان در دو وجه مقابل دامنه شبیهسازی تکرار میشوند.
5. شرط مرزی PML
لایه کاملاً تطبیقیافته (PML) شرط مرزی جذبکننده استاندارد با کارایی بالا است که در شبیهسازیهای مدرن FDTD استفاده میشود. هدف آن حذف موجهای الکترومغناطیسی خروجی با حداقل بازتاب در یک بازه فرکانسی وسیع و برای گستره بزرگی از زوایا است. بهجای اعمال یک فرمول مرزی تکگام در لبه بیرونی، PML یک محیط جذبکننده مصنوعی پیرامون ناحیه فیزیکی شبیهسازی معرفی میکند. موجهایی که وارد این لایه میشوند بدون مشاهده یک عدمتطابق امپدانس تیز در مرز مشترک، تضعیف را تجربه میکنند.
ایده تعریفکننده این است که PML در صفحه ورود با محیط داخلی تطبیق یافته است، بنابراین یک موج ورودی با یک ناپیوستگی مواجه نمیشود که خود باعث ایجاد بازتاب شود. وقتی میدانها وارد لایه میشوند، بهصورت نمایی میرا میشوند. در فرم پیوسته، این را میتوان از طریق یک کشیدگی مختصات مختلط تفسیر کرد، برای مثال
\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]
با عوامل کشیدگی متناظر در جهتهای دیگر. در اینجا \(\sigma_x\) یک پروفایل رسانندگی مصنوعی و \(\kappa_x\) یک ضریب مقیاس است که در فرمولبندیهای PML با مختصات کشیدهشده استفاده میشود. اثر این است که میدانهای منتشرشونده هنگام عبور از لایه تضعیف میشوند در حالی که در مرز مشترک با دامنه فیزیکی تقریباً بدون بازتاب باقی میمانند.
در OghmaNano، انتخاب PML برای یک وجه معین این لایه جذبکننده را در آن سمت ناحیه شبیهسازی فعال میکند. پارامتر متناظر PML depth تعداد سلولهای شبکه اختصاصیافته به لایه را تعیین میکند. یک PML ضخیمتر عموماً تضعیف قویتری فراهم میکند زیرا میدان فاصله بیشتری برای افت دارد. اگر PML بیش از حد نازک باشد، مقداری انرژی میتواند به برش بیرونی برسد و بازتاب شود. اگر بهاندازه کافی ضخیم باشد، میدان خروجی پیش از رسیدن به لبه بیرونی تا مقدار ناچیزی میرا میشود.
یک راه مناسب برای درک وابستگی به ضخامت این است که توجه شود یک مؤلفه میدان درون یک محیط جذبکننده تقریباً به صورت زیر افت میکند:
\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]
که در آن \(d\) فاصله طیشده درون PML و \(\alpha\) یک ضریب تضعیف مؤثر است که توسط درجهبندی رسانندگی تعیین میشود. بنابراین افزایش تعداد سلولهای PML دامنه باقیماندهای را که به برش بیرونی میرسد کاهش میدهد. از نظر عملی، عمق PML باید بهاندازهای بزرگ باشد که بازتابهای پشت لایه در مقایسه با سیگنال فیزیکی مورد نظر ناچیز باشند.
PML معمولاً شرط مرزی ترجیحی برای شبیهسازیهای فوتونیکی و الکترومغناطیسی باز است، از جمله تابش موجبر، پراکندگی از اجسام منفرد، گسیل شبهآنتنی، و انتشار پالس گذرا. این روش در مقایسه با شرایط مرزی جذبکننده ساده، وقتی میدانها بهصورت مایل به مرز برخورد میکنند یا محتوای طیفی پهن دارند، بسیار مقاومتر است. به همین دلیل، PML انتخاب پیشفرض در بسیاری از مدلهای FDTD است که در آنها انتظار میرود موجها جعبه محاسباتی را ترک کنند.
حتی با وجود PML، رعایت اصول مدلسازی خوب همچنان مهم است. لایه جذبکننده نباید بیش از حد به یک ناحیه میدان شدیداً واپاشییابنده یا بسیار تشدیدی نزدیک قرار داده شود، زیرا میدانهای نزدیکِ غیرمنتشرشونده میتوانند با ماده جذبکننده برهمکنش کنند و پاسخ را تغییر دهند. بهطور کلی، ساختار فیزیکی باید بهاندازه کافی از PML با فضای آزاد جدا شود تا جبهه موج خروجی بتواند بهصورت تمیز شکل بگیرد. هنگامی که به این صورت استفاده شود، PML نزدیکترین تقریب در FDTD به یک دامنه بیرونی باز و بدون بازتاب را فراهم میکند.