Condiciones de contorno FDTD
1. Introducción
En simulaciones de dominio temporal por diferencias finitas (FDTD), las condiciones de contorno definen cómo se comportan los campos electromagnéticos en los límites exteriores del dominio computacional. En términos físicos, determinan qué ocurre cuando una onda alcanza el borde de la celda de simulación. Este es uno de los aspectos más importantes de un modelo FDTD porque el dominio numérico siempre es finito, mientras que el problema físico a menudo representa propagación en espacio abierto, estructuras repetidas o cavidades confinadas. Por lo tanto, el papel de la condición de contorno es imponer la continuación matemática correcta de los campos más allá de la malla truncada.
Si una frontera se elige mal, las ondas se reflejan de nuevo en la malla, interfieren con la solución física y pueden producir fuertes artefactos de onda estacionaria. En el peor de los casos, la energía queda atrapada dentro del volumen de simulación y la distribución de campo calculada deja de representar el dispositivo previsto. Esto es especialmente importante en estructuras fotónicas abiertas, problemas de dispersión, sistemas radiantes y cálculos de respuesta al impulso, donde las ondas salientes deben abandonar el dominio limpiamente. Por el contrario, en estructuras periódicas el comportamiento correcto no es la absorción sino la repetición, y en algunos problemas de prueba es deseable fijar explícitamente los campos en la frontera. Por lo tanto, la elección de la condición de contorno debe coincidir con la física del modelo.
Matemáticamente, las ecuaciones de rotacional de Maxwell se resuelven sobre una malla Yee finita. Para una región isotrópica sin fuentes pueden escribirse como
\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]
Las ecuaciones de actualización en el interior se derivan directamente de estas relaciones, pero en las celdas más externas el stencil se extiende más allá de la malla almacenada. La condición de contorno proporciona la información faltante necesaria para completar la actualización. En la práctica esto significa que cada cara exterior de la caja de simulación debe asignarse a una regla numérica que determine si los campos tangenciales se fijan, se absorben, se envuelven periódicamente o se atenúan mediante una capa absorbente adaptada.
En OghmaNano, las condiciones de contorno se configuran desde el botón Boundary Conditions en la cinta Optical (véase Figura ??). El editor correspondiente (véase Figura ??) permite asignar una condición diferente a cada cara exterior de la región FDTD. Los tipos de contorno disponibles son Dirichlet, Mur ABC, Periodic y PML.
Los seis contornos seleccionables corresponden a las seis caras de la caja de simulación cartesiana. En la configuración de visualización predeterminada utilizada por OghmaNano, \(y_0\) es la cara superior de la región de simulación, \(y_1\) es la cara inferior, \(x_0\) es la cara izquierda, \(x_1\) es la cara derecha, \(z_0\) es la cara más cercana al usuario y \(z_1\) es la cara más alejada del usuario. La asignación direccional se ilustra en Figura ??.
El editor de condiciones de contorno asigna una regla a cada una de estas seis caras de forma independiente. Esto permite construir dominios mixtos, por ejemplo con contornos periódicos en las direcciones laterales y contornos absorbentes en la dirección de propagación, o con PML en todas las caras para radiación hacia el espacio libre. Cuando se selecciona PML, se dispone de un parámetro adicional de profundidad para esa cara. Esta profundidad se da en celdas de malla y determina cuántas capas externas FDTD se reservan para el medio absorbente.
2. Editor de condiciones de contorno
El editor de condiciones de contorno proporciona un control independiente para las caras \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\) y \(z_{\max}\), correspondientes respectivamente a \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\) y \(z_1\) en la convención de direcciones mostrada en Figura ??. Para cada cara, la opción seleccionada determina cómo se actualizan los campos eléctricos y magnéticos tangenciales en el borde exterior de la malla.
3. Condición de contorno de Dirichlet
Una condición de contorno de Dirichlet fija el campo en la frontera a un valor prescrito. En el uso más común de FDTD este valor es cero, por lo que la frontera impone
\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{en la cara seleccionada,} \]
Por lo tanto, la frontera se comporta como una pared perfectamente reflectante para el campo eléctrico, y cualquier onda saliente se refleja de nuevo hacia la región de simulación.
3. Condición de contorno Mur ABC
Las condiciones de contorno absorbentes de Mur están diseñadas para reducir la reflexión aproximando el comportamiento de una onda que se desplaza hacia afuera en el borde del dominio computacional. La idea es satisfacer una ecuación de onda unidireccional normal a la frontera para que la energía que abandona la malla continúe propagándose hacia el exterior en lugar de reflejarse hacia atrás.
Para una onda unidimensional que viaja en la dirección \(+x\), la relación exacta de onda saliente es
\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]
La condición de contorno absorbente de primer orden de Mur se obtiene discretizando esta ecuación en la malla FDTD. En la frontera izquierda, una forma estándar es
\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]
con una expresión análoga en el lado opuesto. Aquí \(u_i^n\) denota el campo en el índice espacial \(i\) y el índice temporal \(n\), \(\Delta x\) es el espaciado de la malla y \(\Delta t\) es el paso temporal FDTD.
Las condiciones de contorno absorbentes de Mur son computacionalmente económicas y requieren muy poca memoria adicional, lo que las hace atractivas para simulaciones ligeras o cálculos exploratorios. Intentan aproximar una onda saliente para que la energía pueda abandonar el dominio de simulación en lugar de reflejarse en la frontera exterior.
Debido a que la condición de Mur es solo una aproximación, siempre permanece cierta reflexión. La precisión se deteriora para incidencia oblicua, pulsos de banda ancha y campos de dispersión multidimensionales complejos. Por lo tanto, las fronteras Mur son más apropiadas para problemas de propagación simples donde las ondas se aproximan a la frontera aproximadamente normales a la superficie y no se requiere una precisión muy alta.
Para simulaciones ópticas exigentes, estructuras radiantes o casos donde las ondas inciden en la frontera desde múltiples ángulos, deben utilizarse capas perfectamente adaptadas (PML) en su lugar. Las fronteras PML introducen una región absorbente que elimina las ondas salientes de forma mucho más eficaz y con una reflexión significativamente menor que las condiciones Mur.
4. Condición de contorno periódica
Una condición de contorno periódica identifica una cara de la región de simulación con la cara opuesta de modo que el campo que sale por un lado vuelve a entrar por el otro. Esto es apropiado cuando la estructura física se repite indefinidamente en el espacio y la celda computacional representa una única celda unitaria de esa geometría repetitiva.
En su forma más simple, la periodicidad impone
\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]
y de forma similar en las direcciones \(y\) o \(z\) cuando esas fronteras se marcan como periódicas. Numéricamente, los valores de campo requeridos justo más allá de un lado del dominio se toman del lado opuesto. Por lo tanto, las caras opuestas deben tratarse como un par acoplado. Físicamente, esto significa que la solución no corresponde a un objeto aislado, sino a una red infinita de copias de la celda simulada.
Las fronteras periódicas se utilizan comúnmente para estructuras que se repiten en el espacio, como redes de difracción, cristales fotónicos, celdas unitarias de metamateriales y geometrías periódicas de guías de onda. Al modelar solo una única celda unitaria, el coste computacional puede reducirse considerablemente mientras se sigue representando el comportamiento de toda la estructura repetida, siempre que la fuente y la geometría sean coherentes con la periodicidad asumida.
Con fronteras periódicas, los campos que abandonan un lado del dominio de simulación vuelven a entrar por el lado opuesto. Por lo tanto, la energía no se absorbe sino que recircula a través de la celda computacional. En consecuencia, las fronteras periódicas no deben utilizarse para representar espacio abierto. Si se aplican fronteras periódicas en todas las caras de la región de simulación, ninguna energía puede abandonar el dominio y la energía electromagnética total puede acumularse con el tiempo. En muchas simulaciones FDTD prácticas, por lo tanto, se aplican fronteras periódicas en las direcciones transversales mientras que se utilizan fronteras absorbentes como PML en la dirección de propagación.
En el caso más general, los campos periódicos pueden incluir un desplazamiento de fase entre celdas adyacentes. Esto se describe mediante la condición de Bloch
\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]
con una relación análoga para el campo magnético. La condición de contorno periódica estándar implementada aquí corresponde al caso especial \(k_x=0\), lo que significa que los campos se repiten de forma idéntica a través de caras opuestas del dominio de simulación.
5. Condición de contorno PML
La capa perfectamente adaptada (PML) es la frontera absorbente de alto rendimiento estándar utilizada en simulaciones FDTD modernas. Su propósito es eliminar ondas electromagnéticas salientes con mínima reflexión en un amplio rango de frecuencias y para una gran variedad de ángulos. En lugar de imponer una fórmula de contorno de un solo paso en el borde exterior, PML introduce un medio absorbente artificial que rodea la región física de simulación. Las ondas que entran en esta capa experimentan atenuación sin encontrar un desajuste brusco de impedancia en la interfaz.
La idea definitoria es que la PML está adaptada al medio interior en el plano de entrada, de modo que una onda entrante no encuentra una discontinuidad que genere reflexión. Una vez dentro de la capa, los campos se amortiguan exponencialmente. En forma continua, esto puede interpretarse mediante un estiramiento de coordenadas complejo, por ejemplo
\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]
con factores de estiramiento correspondientes en las otras direcciones. Aquí \(\sigma_x\) es un perfil de conductividad artificial y \(\kappa_x\) es un factor de escala utilizado en formulaciones PML de coordenadas estiradas. El efecto es que los campos propagantes se atenúan al atravesar la capa mientras permanecen aproximadamente libres de reflexión en la interfaz con el dominio físico.
En OghmaNano, seleccionar PML para una cara determinada activa esta capa absorbente en ese lado de la región de simulación. El parámetro asociado PML depth establece el número de celdas de malla asignadas a la capa. Una PML más gruesa generalmente proporciona una atenuación más fuerte porque el campo tiene más distancia sobre la cual decaer. Si la PML es demasiado delgada, parte de la energía puede alcanzar la truncación exterior y reflejarse. Si es suficientemente gruesa, el campo saliente se amortigua hasta un valor despreciable antes de alcanzar el borde exterior.
Una forma conveniente de comprender la dependencia con el grosor es observar que un componente de campo dentro de un medio absorbente decae aproximadamente como
\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]
donde \(d\) es la distancia recorrida dentro de la PML y \(\alpha\) es un coeficiente de atenuación efectivo determinado por el gradiente de conductividad. Por lo tanto, aumentar el número de celdas PML reduce la amplitud residual que alcanza la truncación exterior. En términos prácticos, la profundidad de la PML debe ser lo suficientemente grande para que las reflexiones desde la parte posterior de la capa sean despreciables en comparación con la señal física de interés.
PML suele ser la condición de contorno preferida para simulaciones fotónicas y electromagnéticas abiertas, incluidas radiación de guías de onda, dispersión de objetos aislados, emisión tipo antena y propagación de pulsos transitorios. Es mucho más robusta que las condiciones de contorno absorbentes simples cuando los campos inciden en la frontera de forma oblicua o contienen contenido espectral amplio. Por esta razón, PML es la opción predeterminada en muchos modelos FDTD donde se espera que las ondas abandonen la caja computacional.
Incluso con PML, sigue siendo importante una buena práctica de modelado. La capa absorbente no debe colocarse demasiado cerca de una región de campo fuertemente evanescente o altamente resonante, porque los campos cercanos no propagantes pueden interactuar con el material absorbente y alterar la solución. En general, la estructura física debe separarse de la PML por suficiente espacio libre para que el frente de onda saliente se forme limpiamente. Utilizada de esta manera, la PML proporciona la aproximación más cercana en FDTD a un dominio exterior abierto y no reflectante.