FDTD-Randbedingungen

1. Einleitung

Bei Simulationen mit der Methode der endlichen Differenzen im Zeitbereich (FDTD) legen die Randbedingungen fest, wie sich elektromagnetische Felder an den äußeren Grenzen des Berechnungsbereichs verhalten. Physikalisch ausgedrückt bestimmen sie, was passiert, wenn eine Welle den Rand der Simulationszelle erreicht. Dies ist einer der wichtigsten Aspekte eines FDTD-Modells, da der numerische Bereich immer endlich ist, während das physikalische Problem oft die Ausbreitung in einem offenen Raum, wiederholte Strukturen oder abgeschlossene Hohlräume darstellt. Die Aufgabe der Randbedingung besteht daher darin, die korrekte mathematische Fortsetzung der Felder über das abgeschnittene Gitter hinaus zu erzwingen.

Wenn eine Randbedingung schlecht gewählt wird, werden Wellen in das Berechnungsnetz zurückreflektiert, was die physikalische Lösung stört und zu starken, stehenden Wellenartefakten führen kann. Im schlimmsten Fall wird Energie im Simulationsvolumen eingeschlossen, und die berechnete Feldverteilung entspricht nicht mehr dem beabsichtigten Bauelement. Dies ist besonders wichtig bei offenen photonischen Strukturen, Streuungsproblemen, strahlenden Systemen und Impulsantwortberechnungen, bei denen die ausgehenden Wellen das Gebiet sauber verlassen müssen. Im Gegensatz dazu ist bei periodischen Strukturen nicht die Absorption, sondern die Wiederholung das korrekte Verhalten, und bei einigen Testproblemen ist es wünschenswert, die Felder explizit an der Randbedingung festzulegen. Die Wahl der Randbedingung muss daher mit der Physik des Modells übereinstimmen.

Mathematisch werden Maxwells Wirbelgleichungen auf einem endlichen Yee-Gitter gelöst. Für einen quellfreien, isotropen Bereich lassen sie sich wie folgt formulieren:

\[ \mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E}, \qquad \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E} = \nabla \times \mathbf{H}. \]

Die Gleichungen für die Aktualisierung der inneren Werte ergeben sich direkt aus diesen Beziehungen, aber bei den äußersten Zellen erstreckt sich die Vorlage über das gespeicherte Gitter hinaus. Die Randbedingung liefert die fehlenden Informationen, die zur Vervollständigung der Aktualisierung erforderlich sind. In der Praxis bedeutet dies, dass jeder äußeren Fläche des Simulationsbereichs eine numerische Regel zugewiesen werden muss, die bestimmt, ob die tangentialen Felder fixiert, absorbiert, periodisch wiederholt oder durch eine angepasste Absorptionsschicht gedämpft werden.

In OghmaNano werden die Randbedingungen über die Schaltfläche „Randbedingungen“ im optischen Menüband konfiguriert (siehe Abbildung ??). Der entsprechende Editor (siehe Abbildung ??) ermöglicht die Zuweisung einer anderen Bedingung zu jeder äußeren Fläche des FDTD-Bereichs. Die verfügbaren Randbedingungen sind Dirichlet, Mur-ABC, periodisch und PML.

Die sechs auswählbaren Begrenzungsflächen entsprechen den sechs Flächen des kartesischen Simulationsbereichs. In der Standardansichtskonfiguration, die von OghmaNano verwendet wird, ist \(y_0\) die obere Fläche des Simulationsbereichs, \(y_1\) die untere Fläche, \(x_0\) die linke Fläche, \(x_1\) die rechte Fläche, \(z_0\) die dem Benutzer zugewandte Fläche und \(z_1\) die dem Benutzer abgewandte Fläche. Die Richtungszuordnung ist in Abbildung ?? dargestellt.

Der Editor für Randbedingungen weist jeder dieser sechs Flächen unabhängig voneinander eine Regel zu. Dadurch können gemischte Bereiche erstellt werden, beispielsweise mit periodischen Randbedingungen in den seitlichen Richtungen und absorbierenden Randbedingungen in der Ausbreitungsrichtung oder mit PML auf allen Flächen für die Ausstrahlung in den freien Raum. Wenn PML ausgewählt wird, steht für diese Fläche ein zusätzlicher Tiefenparameter zur Verfügung. Diese Tiefe wird in Netzgitterzellen angegeben und bestimmt, wie viele äußere FDTD-Schichten für das absorbierende Medium reserviert werden.

2. Editor für Randbedingungen

Der Editor für Randbedingungen bietet eine separate Steuerung für die Flächen \(y_{\min}\), \(y_{\max}\), \(x_{\min}\), \(x_{\max}\), \(z_{\min}\) und \(z_{\max}\), die jeweils den Flächen \(y_0\), \(y_1\), \(x_0\), \(x_1\), \(z_0\) und \(z_1\) entsprechen und in der in Abbildung ?? gezeigten Richtung angeordnet sind. Für jede Fläche bestimmt die ausgewählte Option, wie die tangentialen elektrischen und magnetischen Felder am äußeren Rand des Gitters aktualisiert werden.

3. Dirichlet-Randbedingung

Eine Dirichlet-Randbedingung legt den Wert des Feldes am Rand auf einen vorgegebenen Wert fest. In der am häufigsten verwendeten FDTD-Anwendung ist dieser Wert null, wodurch der Rand eine bestimmte Bedingung erzwingt.

\[ \mathbf{E}_{\mathrm{tan}} = 0 \qquad \text{on the selected face,} \]

Die Grenze verhält sich daher wie eine perfekt reflektierende Wand für das elektrische Feld, und jede ausgesandte Welle wird zurück in den Simulationsbereich reflektiert.

3. Randbedingung von Mur ABC

Die Mur-Absorptionsrandbedingungen sind so konzipiert, dass sie die Reflexion reduzieren, indem sie das Verhalten einer sich nach außen ausbreitenden Welle am Rand des Berechnungsbereichs approximieren. Die Idee besteht darin, eine Einweg-Wellen Gleichung senkrecht zur Grenze zu erfüllen, sodass die Energie, die das Berechnungsgebiet verlässt, sich weiterhin nach außen ausbreitet, anstatt zurückzuwirken.

Für eine eindimensionale Welle, die sich in \(+x\)-Richtung ausbreitet, lautet die exakte Beziehung für die sich ausbreitende Welle:

\[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}=0. \]

Die absorbierende Randbedingung erster Ordnung nach Mur wird durch Diskretisierung dieser Gleichung auf dem FDTD-Gitter erhalten. An der linken Grenze wird eine Standardform verwendet.

\[ u_0^{n+1} = u_1^{n} + \frac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x} \left( u_1^{n+1}-u_0^{n} \right), \]

Auf der gegenüberliegenden Seite findet sich ein analoges Ausdrucksmuster. Hierbei bezeichnet \(u_i^n\) das Feld an der räumlichen Position \(i\) und zu der Zeit \(n\), \(\Delta x\) ist der Abstand zwischen den Gitterpunkten, und \(\Delta t\) ist der Zeitschritt der FDTD-Methode.

Die Mur-Absorptionsrandbedingungen sind rechentechnisch unaufwendig und benötigen nur sehr wenig zusätzlichen Speicher, was sie für einfache Simulationen oder explorative Berechnungen attraktiv macht. Sie versuchen, eine ausgehende Welle zu approximieren, sodass Energie das Simulationsgebiet verlassen kann, anstatt von der äußeren Grenze reflektiert zu werden.

Da die Mur-Bedingung nur eine Annäherung darstellt, bleibt immer eine gewisse Restreflexion bestehen. Die Genauigkeit nimmt bei schräger Einfallswinkel, breitbandigen Impulsen und komplexen, mehrdimensionalen Streufeldern ab. Mur-Randbedingungen sind daher am besten für einfache Ausbreitungsprobleme geeignet, bei denen sich die Wellen annähernd senkrecht zur Oberfläche dem Rand nähern und keine sehr hohe Genauigkeit erforderlich ist.

Für anspruchsvolle optische Simulationen, strahlende Strukturen oder Fälle, in denen Wellen aus verschiedenen Winkeln auf die Begrenzung treffen, sollten stattdessen perfekt angepasste Schichten (PML) verwendet werden. PML-Begrenzungen führen eine absorbierende Region ein, die ausgehende Wellen deutlich effektiver und mit einer wesentlich geringeren Reflexion als bei Mur-Bedingungen unterdrückt.

4. Periodische Randbedingung

Eine periodische Randbedingung verbindet eine Seite des Simulationsbereichs mit der gegenüberliegenden Seite, sodass das Feld, das eine Seite verlässt, auf der anderen Seite wieder eintritt. Dies ist sinnvoll, wenn die physikalische Struktur sich unendlich oft im Raum wiederholt und die Rechenzelle eine einzelne Gruppenzelle dieser sich wiederholenden Geometrie darstellt.

In seiner einfachsten Form bedeutet Periodizität, dass ...

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t), \qquad \mathbf{H}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{H}(x,y,z,t), \]

Und in ähnlicher Weise gilt dies für die Richtungen \(y\) oder \(z\), wenn diese Grenzen als periodisch markiert sind. Numerisch werden die Feldwerte, die knapp außerhalb einer Seite des Bereiches benötigt werden, von der gegenüberliegenden Seite übernommen. Entgegengesetzte Flächen müssen daher als ein zusammenhängendes Paar behandelt werden. Physikalisch bedeutet dies, dass die Lösung nicht einem einzelnen Objekt entspricht, sondern einem unendlichen Gitter aus Kopien der simulierten Zelle.

Periodische Randbedingungen werden häufig für Strukturen verwendet, die sich räumlich wiederholen, wie z. B. Beugungsgitter, photonische Kristalle, Metamaterial-Elementzellen und periodische Wellleitergeometrien. Durch die Modellierung nur einer einzelnen Elementzelle lassen sich die Rechenkosten erheblich reduzieren, während dennoch das Verhalten der vollständigen, wiederholten Struktur dargestellt wird, vorausgesetzt, die Quelle und die Geometrie stimmen mit der angenommenen Periodizität überein.

Bei periodischen Randbedingungen treten Felder, die eine Seite des Simulationsbereichs verlassen, auf der gegenüberliegenden Seite wieder ein. Energie wird daher nicht absorbiert, sondern innerhalb der Rechenzelle zirkuliert. Periodische Randbedingungen sollten daher nicht verwendet werden, um einen offenen Raum darzustellen. Wenn periodische Randbedingungen auf allen Flächen des Simulationsbereichs angewendet werden, kann keine Energie den Bereich verlassen, und die gesamte elektromagnetische Energie kann sich im Laufe der Zeit ansammeln. In vielen praktischen FDTD-Simulationen werden daher periodische Randbedingungen in den transversalen Richtungen und absorbierende Randbedingungen wie PML in der Ausbreitungsrichtung verwendet.

Im allgemeinsten Fall können periodische Felder eine Phasenverschiebung zwischen benachbarten Zellen aufweisen. Dies wird durch die Bloch-Bedingung beschrieben.

\[ \mathbf{E}(x+L_x,y,z,t)=\mathbf{E}(x,y,z,t)e^{ik_xL_x}, \]

und es besteht eine ähnliche Beziehung für das Magnetfeld. Die hier implementierte Standard-Periodische Randbedingung entspricht dem Sonderfall \(k_x=0\), was bedeutet, dass sich die Felder identisch auf gegenüberliegenden Flächen des Simulationsbereichs wiederholen.

5. Randbedingung für PML

Die perfekt angepasste Schicht (PML) ist die Standard-Absorptionsgrenze, die in modernen FDTD-Simulationen verwendet wird und eine hohe Leistung bietet. Ihr Zweck ist es, ausgehende elektromagnetische Wellen über einen breiten Frequenzbereich und für einen großen Winkelbereich mit minimaler Reflexion zu absorbieren. Anstatt eine einstufige Randformel am äußeren Rand zu verwenden, führt die PML ein künstliches Absorptionsmedium ein, das den physischen Simulationsbereich umgibt. Wellen, die in diese Schicht eindringen, erfahren eine Dämpfung, ohne dass es an der Grenzfläche zu einer starken Impedanzänderung kommt.

Die grundlegende Idee besteht darin, dass die PML an der Eingangsfläche an das innere Medium angepasst wird, sodass eine einfallende Welle nicht auf eine Diskontinuität trifft, die selbst eine Reflexion erzeugen würde. Sobald sich die Welle innerhalb der Schicht befindet, werden die Feldstärken exponentiell gedämpft. In kontinuierlicher Form kann dies beispielsweise durch eine komplexe Koordinatenstreckung interpretiert werden.

\[ x \;\rightarrow\; \int_0^x s_x(\xi)\,d\xi, \qquad s_x(\xi)=\kappa_x(\xi)+\frac{\sigma_x(\xi)}{j\omega\varepsilon_0}, \]

dabei werden entsprechende Dehnungsfaktoren in den anderen Richtungen verwendet. Hierbei ist \(\sigma_x\) ein künstliches Leitfähigkeitsprofil und \(\kappa_x\) ein Skalierungsfaktor, der in gestreckten Koordinatenformulierungen von PML (Perfectly Matched Layer) verwendet wird. Die Folge ist, dass sich ausbreitende Felder beim Durchqueren der Schicht abschwächen, während sie an der Grenzfläche zum physikalischen Bereich nahezu reflexionsfrei bleiben.

In OghmaNano führt die Auswahl von PML für eine bestimmte Fläche dazu, dass diese absorbierende Schicht auf dieser Seite des Simulationsbereichs aktiviert wird. Der zugehörige PML-Tiefenparameter legt die Anzahl der für die Schicht verwendeten Netzgitterzellen fest. Eine dickere PML sorgt in der Regel für eine stärkere Dämpfung, da das Feld über eine größere Distanz abklingen kann. Wenn die PML zu dünn ist, kann ein Teil der Energie die äußere Begrenzung erreichen und reflektiert werden. Wenn sie ausreichend dick ist, wird das ausgehende Feld so weit gedämpft, dass es vor dem Erreichen der äußeren Kante vernachlässigbar wird.

Eine einfache Möglichkeit, die Abhängigkeit von der Dicke zu verstehen, besteht darin, festzustellen, dass eine Feldkomponente innerhalb eines absorbierenden Mediums ungefähr exponentiell abnimmt.

\[ E(d)\sim E(0)\exp(-\alpha d), \]

wobei \(d\) die in das PML-Gebiet zurückgelegte Strecke und \(\alpha\) ein effektiver Dämpfungskoeffizient ist, der durch die abgestufte Leitfähigkeit festgelegt wird. Eine Erhöhung der Anzahl der PML-Zellen reduziert daher die verbleibende Amplitude, die die äußere Abschneidegrenze erreicht. In der Praxis sollte die Tiefe des PML-Gebiets so groß sein, dass Reflexionen von der Rückseite der Schicht im Vergleich zum relevanten physikalischen Signal vernachlässigbar sind.

Die PML-Methode (Perfectly Matched Layer) ist in der Regel die bevorzugte Randbedingung für offene photonische und elektromagnetische Simulationen, einschließlich der Wellenleiterstrahlung, der Streuung von einzelnen Objekten, der antennenartigen Emission und der transienten Pulsausbreitung. Sie ist deutlich robuster als einfache absorbierende Randbedingungen, wenn die Felder schräg auf die Grenze treffen oder ein breites Spektrum aufweisen. Aus diesem Grund ist die PML-Methode in vielen FDTD-Modellen die Standardeinstellung, wenn davon ausgegangen wird, dass Wellen das Simulationsgebiet verlassen.

Auch bei der Verwendung von PML bleiben gute Modellierungspraktiken wichtig. Die absorbierende Schicht sollte nicht zu nah an einem stark abklingenden oder hochresonanten Feldgebiet platziert werden, da sich nicht-ausbreitende Nahfelder mit dem absorbierenden Material wechselwirken und die Lösung verändern können. Im Allgemeinen sollte die physikalische Struktur durch ausreichend freien Raum von der PML getrennt sein, damit sich die ausgehende Wellenfront sauber bilden kann. Bei dieser Anwendung bietet PML in der FDTD-Methode die bestmögliche Annäherung an einen offenen, nicht-reflektierenden äußeren Bereich.