FDTD-Lichtquellen
Einleitung
In OghmaNano wird die gesamte Beleuchtung durch Lichtquellen erzeugt. Der allgemeine Editor für Lichtquellen, einschließlich spektraler Quellen, Filter und Orientierungsoptionen, wird auf der Hauptseite für Lichtquellen detailliert beschrieben ( Lichtquellen – Einrichtung und Parameter). Die vorliegende Seite konzentriert sich speziell darauf, wie Lichtquellen innerhalb des Finite-Difference-Time-Domain-(FDTD-)Solvers verwendet werden. Der Editor für Lichtquellen kann über die Registerkarte „Optik“ im Hauptfenster aufgerufen werden (siehe Abbildung ??). Auf dieser Seite wird erläutert, wie zeitabhängige Anregungsquellen in einer FDTD-Simulation konfiguriert werden, einschließlich der Auswahl der Wellenform, des Anregungsmodus, der Phasensteuerung, der zeitlichen Gatterung und der Fensterfunktion.
Jede in OghmaNano definierte Lichtquelle kann im FDTD-Modell verwendet werden. Für FDTD-Simulationen wird die Quelle im FDTD-Reiter des Lichtquellen-Editors konfiguriert (siehe Abbildung ??). In diesem Reiter wird festgelegt, wie das elektrische Feld in das Berechnungsraster eingespeist wird, einschließlich der Anregungsform, der Amplitude, der Phase, der zeitlichen Ansteuerung und der ausgewählten Feldkomponenten \(E_x\), \(E_y\) und \(E_z\).
Zusätzlich zu den Einstellungen im Zeitbereich werden die physische Form und Position der Quelle mithilfe der üblichen Größen- und Positionierungsregler definiert, entweder im 3D-Geräteeditor oder innerhalb des Lichtquellen-Editors. Durch die Anpassung dieser räumlichen Parameter kann die Anregung als Flächen-, Linien-, Quader- oder Punktquelle konfiguriert werden, wodurch die Geometrie des emittierten Feldes innerhalb der FDTD-Simulation direkt gesteuert wird. Das detaillierte Verhalten der Anregungswellenform und ihre Interaktion mit dem FDTD-Gitter werden in den folgenden Abschnitten beschrieben.
2. Anregung mit der FDTD-Methode
Für FDTD-Simulationen wird eine Lichtquelle als zeitabhängige Anregung definiert, die elektrische Feldkomponenten in den Simulationsbereich einspeist. Die Registerkarte „FDTD“ (??) steuert die Wellenform \(s(t)\), deren Zeitsteuerung und die Art und Weise, wie sie auf die Feldkomponenten \(E_x, E_y, E_z\) an der gewählten Einspeisefläche oder dem gewählten Einspeisepunkt angewendet wird.
2.1 Wellenformtyp
Die Auswahl der Wellenform bestimmt die analytische Form der Quellfunktion \(s(t)\). Die verfügbaren Anregungstypen sind kontinuierliche Sinuswelle (CW), Gauß-Sinusimpuls, Ricker-Wellenpaket und Sinc-Impuls.
In allen Fällen wird der injizierte Skalar wie folgt dargestellt:
\[ s(t) = A\,u(t) + s_\mathrm{dc}, \]
wobei \(u(t)\) die ausgewählte Wellenform, \(A\) die Amplitude und \(s_\mathrm{dc}\) der Gleichstrom-Offset ist. Die Anregungswellenlänge wird im Optischer Netzeditor eingestellt, wobei die Winkelfrequenz über die Formel \( \omega = \dfrac{2\pi c}{\lambda} \) mit der Wellenlänge in Beziehung steht. Bei jedem FDTD-Zeitschritt erzeugt die Anregung einen Skalarwert \(s(t)\), der mithilfe von Gewichtungsfaktoren \((w_x,w_y,w_z)\) auf die ausgewählten Feldkomponenten verteilt wird.
\[ \Delta E_x(t)=w_x s(t),\quad \Delta E_y(t)=w_y s(t),\quad \Delta E_z(t)=w_z s(t). \]
Die Excite Ex/Ey/Ez-Schalter legen fest, welche Komponenten die Injektion erhalten, oder es können explizite Gewichtungen angegeben werden.
| Wellenform | Mathematische Formel \(u(t)\) | Beschreibung |
|---|---|---|
| Dauerhaftes Sinussignal | \[ u(t) = \sin(\omega t + \phi) \] | Monochromatische, stationäre Anregung bei der Trägerfrequenz. Wird für Simulationen mit einer einzigen Frequenz oder für stationäre Simulationen verwendet. |
| Gaußsches Sinuswellen-Impuls | \[ u(t)= \exp\!\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2\right) \sin\!\left(\omega (t-t_0)+\phi\right) \] | Sinusförmiger Träger mit Gaußscher Hüllkurve. Eine kürzere \(\sigma\)-Dauer führt zu einem breiteren Spektrum; eine längere \(\sigma\)-Dauer nähert sich einer kontinuierlichen Anregung (CW) an. |
| Ricker-Wavelet | \[ u(t) = (1-2a^2)\exp(-a^2), \quad a=\pi f_0 (t-t_0) \] | Breitbandige, impulsartige Anregung (mexikanische Hut-Wavelet). Kompakt und zeitlich symmetrisch; nützlich für die Analyse von Impulsantworten. |
| Sinc-Impuls | \[ u(t)= \mathrm{sinc}\!\left(2\beta f_0 (t-t_0)\right) \sin\!\left(\omega (t-t_0)+\phi\right) \] | Bandbegrenzte Anregung mit einstellbarer Bandbreite \(\beta\). Eine Erhöhung \(\beta\) erweitert den spektralen Inhalt. |
Der DC-Offset \( s_{\mathrm{dc}} \) fügt der Anregung eine konstante Komponente hinzu. Die Wellenform wird durch die Parameter „Startzeit“ und „Endzeit“ zeitgesteuert.
\[ s(t)=0 \quad t<t_{\mathrm{start}}, \qquad s(t)=0 \quad t>t_{\mathrm{end}}, \; t_{\mathrm{end}}>0 \]
Wenn \(t_{\mathrm{end}}=0\) zutrifft, läuft die Quelle bis zum Ende der Simulation.
2.2 Phase
Der Parameter „Phase“ führt eine Phasenverschiebung in der zeitabhängigen Trägerkomponente des Anregungssignals ein. Der vom Benutzer definierte Wert in Grad wird über \( \phi=\phi_{\mathrm{deg}}\pi/180 \) in Radiant umgerechnet und auf den oszillatorischen Teil der ausgewählten Wellenform angewendet. Wenn mehrere kohärente Quellen vorhanden sind, legt dieser Parameter die relative Phase zwischen ihnen fest, wodurch eine konstruktive oder destruktive Interferenz innerhalb der FDTD-Simulation gesteuert werden kann.
2.3 Zeitpunkt des maximalen Pulssignals (t0)
Bei gepulsten Wellenformen wird die Schwingung wie folgt beschrieben:
\[ \Delta t = t - t_0, \]
so dass die Spitze der Wellenform weiterhin auf den angegebenen Zeitpunkt des Pulses \(t_0\) zentriert bleibt.
2.4 Quellinjektionsmodus
Der Injektionsmodus steuert, wie die Quelle auf die elektrischen Feldkomponenten in den Injektionszellen einwirkt.
Im „Soft“-Modus (additiver Modus) wird die Anregung zu den vorhandenen Feldwerten addiert:
\[ E_\alpha(t) = E_\alpha(t) + \Delta E_\alpha(t). \]
Im Modus „Erzwingen“ (Überschreiben) wird der Wert des Feldes in den Injektionszellen auf den Quellwert gesetzt:
\[ E_\alpha(t) = \Delta E_\alpha(t). \]
Der sanfte Modus fügt die Anregung der sich entwickelnden Lösung hinzu, während der harte Modus den Quellwert direkt an der Injektionsstelle erzwingt.
2.5 Anfahrrampe und Fensterung
Die Anstiegs-/Absenkungssteuerung wendet eine multiplikative Funktion \( w(t) \) auf die Anregungswellenform an, sodass das eingespeiste Signal zu \( s(t) = A\,u(t)\,w(t) + s_{\mathrm{dc}} \) wird. Dadurch wird die zeitliche Dauer des Signals begrenzt und sein Einschalt- und Ausschaltverhalten geglättet.
Sei \( \tau = t - t_{\mathrm{start}} \) die zeitgesteuerte Variable, und \( T \) bezeichne die gesamte Fensterdauer. Für ein endliches Fenster wird die Anregung nur für \( 0 < \tau < T \) aufrechterhalten, und \( w(\tau)=0 \) liegt außerhalb dieses Intervalls.
Für ein Hann-Fenster lautet die Funktion:
\[ w(\tau) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(2\pi \tau/T\right)\right), & 0 < \tau < T, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Das Hann-Fenster verstärkt das Signal allmählich von Null, erreicht bei der Hälfte der Dauer sein Maximum und fällt dann wieder allmählich auf Null ab, und zwar bei \( \tau = T \).
Für ein Blackman-Fenster lautet die Funktion:
\[ w(\tau) = \begin{cases} 0.42 -0.5\cos\left(2\pi \tau/T\right) +0.08\cos\left(4\pi \tau/T\right), & 0 < \tau < T, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Das Blackman-Fenster bietet eine stärkere Unterdrückung von Spektralnebenkeulen als das Hann-Fenster, allerdings auf Kosten einer etwas breiteren Hauptkeule.
Bei einem Tukey-Fenster wird eine Kosinus-Abmilderung über einen Teil \( \alpha \in [0,1] \) der Gesamtzeitdauer angewendet. Durch die Definition der normalisierten Zeit \( x=\tau/T \) wird das Fenster definiert.
\[ w(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(\pi x/\frac{\alpha}{2}\right)\right), & 0 < x < \frac{\alpha}{2}, \\[6pt] 1, & \frac{\alpha}{2} \le x \le 1-\frac{\alpha}{2}, \\[6pt] \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(\pi (1-x)/\frac{\alpha}{2}\right)\right), & 1-\frac{\alpha}{2} < x < 1, \\[6pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Wenn \( \alpha=0 \) gilt, reduziert sich das Tukey-Fenster auf ein rechteckiges Fenster (ohne allmähliche Übergänge). Wenn \( \alpha=1 \) gilt, entspricht es einem Hann-Fenster.
Die Anwendung von Fensterfunktionen ist in der FDTD-Methode wichtig, da ein abruptes Abschneiden einer Wellenform hochfrequente Komponenten in ihrem Spektrum erzeugt. Glatte Fensterfunktionen reduzieren die spektrale Streuung und unterdrücken eine künstliche breitbandige Anregung, was zu saubereren Ergebnissen im Frequenzbereich führt, wenn DFT-Monitore verwendet oder eine Impulsantwortanalyse durchgeführt wird.