FDTD 광원
소개
OghmaNano에서는 모든 조명이 광원에 의해 제공됩니다. 스펙트럼 광원, 필터 및 방향 옵션을 포함한 일반적인 Light Source Editor는 메인 광원 페이지(광원 - 설정 및 파라미터)에 자세히 설명되어 있습니다. 현재 페이지는 finite-difference time-domain (FDTD) 솔버 내에서 광원이 어떻게 사용되는지에 특히 초점을 맞춥니다. Light Source Editor는 메인 창의 Optical 리본에서 접근할 수 있습니다( Figure ?? 참조). 이 페이지에서는 FDTD 시뮬레이션에서 시간 영역 여기 광원을 구성하는 방법을 설명하며, 여기에는 파형 선택, 주입 모드, 위상 제어, 시간 게이팅 및 윈도잉이 포함됩니다.
OghmaNano에서 정의된 모든 광원은 FDTD 모델에서 사용할 수 있습니다. FDTD 시뮬레이션의 경우 광원은 Light Source Editor의 FDTD 탭에서 구성됩니다( Figure ?? 참조). 이 탭은 전기장이 계산 그리드에 어떻게 주입되는지를 정의하며, 여기에는 여기 파형, 진폭, 위상, 시간 게이팅, 그리고 선택된 전기장 성분 \(E_x\), \(E_y\), \(E_z\)가 포함됩니다.
시간 영역 설정 외에도 광원의 물리적 형상과 위치는 일반적인 크기 및 배치 제어를 사용하여, 3D 장치 편집기 또는 Light Source Editor 내에서 정의됩니다. 이러한 공간 파라미터를 조정함으로써, 여기 광원은 평면, 선, 박스 또는 점 광원으로 구성될 수 있으며, FDTD 시뮬레이션 내에서 방출된 전기장의 기하를 직접 제어합니다. 여기 파형의 상세한 동작과 그 FDTD 그리드와의 상호작용은 다음 절들에 설명되어 있습니다.
2. FDTD 여기
FDTD 시뮬레이션에서 광원은 시뮬레이션 영역에 전기장 성분을 주입하는 시간 영역 여기로 정의됩니다. FDTD 탭(??)은 파형 \(s(t)\), 그 타이밍, 그리고 선택된 주입 표면 또는 점 집합에서 전기장 성분 \(E_x, E_y, E_z\)에 그것이 어떻게 적용되는지를 제어합니다.
2.1 파형 유형
Waveform 선택은 광원 함수 \(s(t)\)의 해석적 형태를 정의합니다. 사용 가능한 여기 유형은 Continuous sine (CW), Gaussian sine pulse, Ricker wavelet, 그리고 Sinc pulse입니다.
모든 경우에 주입되는 스칼라는 다음과 같이 표현됩니다
\[ s(t) = A\,u(t) + s_\mathrm{dc}, \]
여기서 \(u(t)\)는 선택된 파형, \(A\)는 Amplitude, 그리고 \(s_\mathrm{dc}\)는 DC offset입니다. 여기 파장은 Optical Mesh Editor에서 설정되며, 각주파수는 파장과 \( \omega = \dfrac{2\pi c}{\lambda} \) 의 관계를 가집니다. 각 FDTD 시간 스텝에서, 여기는 스칼라 값 \(s(t)\)를 생성하며, 이는 가중치 \((w_x,w_y,w_z)\)를 사용하여 선택된 전기장 성분으로 분배됩니다:
\[ \Delta E_x(t)=w_x s(t),\quad \Delta E_y(t)=w_y s(t),\quad \Delta E_z(t)=w_z s(t). \]
Excite Ex/Ey/Ez 스위치는 어느 성분이 주입을 받는지를 정의하며, 또는 명시적 가중치를 제공할 수 있습니다.
| 파형 | 수학적 형태 \(u(t)\) | 설명 |
|---|---|---|
| Continuous sine (CW) | \[ u(t) = \sin(\omega t + \phi) \] | 반송파 주파수에서의 단색 정상 상태 여기. 단일 주파수 또는 정상 상태 시뮬레이션에 사용됩니다. |
| Gaussian sine pulse | \[ u(t)= \exp\!\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2\right) \sin\!\left(\omega (t-t_0)+\phi\right) \] | Gaussian envelope를 갖는 정현파 반송파. 더 짧은 \(\sigma\)는 더 넓은 스펙트럼을 주고, 더 긴 \(\sigma\)는 CW 여기로 접근합니다. |
| Ricker wavelet | \[ u(t) = (1-2a^2)\exp(-a^2), \quad a=\pi f_0 (t-t_0) \] | 광대역 임펄스형 여기(Mexican-hat wavelet). 시간 영역에서 콤팩트하고 대칭적이며, 임펄스 응답 분석에 유용합니다. |
| Sinc pulse | \[ u(t)= \mathrm{sinc}\!\left(2\beta f_0 (t-t_0)\right) \sin\!\left(\omega (t-t_0)+\phi\right) \] | 대역폭 \(\beta\)를 제어할 수 있는 대역 제한 여기. \(\beta\)를 증가시키면 스펙트럼 내용이 넓어집니다. |
DC offset \( s_{\mathrm{dc}} \)는 여기에 상수 성분을 추가합니다. 파형은 Start time 및 End time 파라미터에 의해 시간 게이팅됩니다.
\[ s(t)=0 \quad t<t_{\mathrm{start}}, \qquad s(t)=0 \quad t>t_{\mathrm{end}}, \; t_{\mathrm{end}}>0 \]
\(t_{\mathrm{end}}=0\)이면 광원은 시뮬레이션 종료까지 계속 실행됩니다.
2.2 위상
Phase 파라미터는 여기의 시간 영역 반송파 성분에 위상 이동을 도입합니다. 사용자가 도 단위로 정의한 값은 \( \phi=\phi_{\mathrm{deg}}\pi/180 \) 를 통해 라디안으로 변환되며, 선택된 파형의 진동 항에 적용됩니다. 여러 개의 코히런트 광원이 존재할 때, 이 파라미터는 그들 사이의 상대 위상을 설정하여 FDTD 시뮬레이션 내에서 보강 간섭 또는 상쇄 간섭을 제어할 수 있게 합니다.
2.3 펄스 중심 (t0)
펄스 파형의 경우, 진동은 다음을 기준으로 표현됩니다
\[ \Delta t = t - t_0, \]
따라서 파형 피크는 지정된 펄스 시간 \(t_0\)에 중심이 오도록 유지됩니다.
2.4 광원 주입 모드
Injection mode는 주입 셀에서 광원이 전기장 성분에 어떻게 적용되는지를 제어합니다.
Soft (additive) 모드에서는 여기가 기존 전기장 값에 더해집니다:
\[ E_\alpha(t) = E_\alpha(t) + \Delta E_\alpha(t). \]
Hard (overwrite) 모드에서는 주입 셀에서의 전기장이 광원 값과 같도록 설정됩니다:
\[ E_\alpha(t) = \Delta E_\alpha(t). \]
Soft 모드는 진화하는 해에 여기를 추가하는 반면, hard 모드는 주입 위치에서 광원 값을 직접 강제합니다.
2.5 램프 및 윈도잉
Ramp/window 제어는 곱셈 함수 \( w(t) \)를 여기 파형에 적용하여 주입 신호가 \( s(t) = A\,u(t)\,w(t) + s_{\mathrm{dc}} \) 가 되도록 합니다. 이는 광원의 시간적 지지 구간을 제한하고 켜짐과 꺼짐 거동을 부드럽게 합니다.
게이트된 시간 변수 \( \tau = t - t_{\mathrm{start}} \)라 하고, \( T \)를 전체 윈도 지속 시간이라 하겠습니다. 유한한 윈도의 경우, 여기는 \( 0 < \tau < T \)에서만 지지되며, 이 구간 밖에서는 \( w(\tau)=0 \)입니다.
Hann window의 경우, 함수는 다음과 같습니다
\[ w(\tau) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(2\pi \tau/T\right)\right), & 0 < \tau < T, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Hann window는 신호를 0에서 부드럽게 상승시키고, 지속 시간의 중간에서 최대값에 도달하며, \( \tau = T \)에서 다시 0으로 부드럽게 돌아갑니다.
Blackman window의 경우, 함수는 다음과 같습니다
\[ w(\tau) = \begin{cases} 0.42 -0.5\cos\left(2\pi \tau/T\right) +0.08\cos\left(4\pi \tau/T\right), & 0 < \tau < T, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
Blackman window는 Hann window보다 스펙트럼 사이드로브를 더 강하게 억제하지만, 그 대가로 주 로브가 약간 더 넓습니다.
Tukey window의 경우, 전체 지속 시간의 일부 비율 \( \alpha \in [0,1] \)에 걸쳐 코사인 테이퍼가 적용됩니다. 정규화된 시간 \( x=\tau/T \)를 정의하면, 윈도는 다음과 같습니다
\[ w(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(\pi x/\frac{\alpha}{2}\right)\right), & 0 < x < \frac{\alpha}{2}, \\[6pt] 1, & \frac{\alpha}{2} \le x \le 1-\frac{\alpha}{2}, \\[6pt] \dfrac{1}{2}\left(1-\cos\left(\pi (1-x)/\frac{\alpha}{2}\right)\right), & 1-\frac{\alpha}{2} < x < 1, \\[6pt] 0, & \text{otherwise}. \end{cases} \]
\( \alpha=0 \)이면 Tukey window는 직사각형 윈도 (테이퍼 없음)로 축소됩니다. \( \alpha=1 \)이면 Hann window와 동등해집니다.
FDTD에서 윈도잉이 중요한 이유는 파형의 급격한 절단이 그 스펙트럼에 고주파 성분을 도입하기 때문입니다. 부드러운 윈도 함수는 스펙트럼 누설을 줄이고 인공적인 광대역 여기을 억제하여, DFT 모니터를 사용하거나 임펄스 응답 분석을 수행할 때 더 깨끗한 주파수 영역 결과를 제공합니다.