Fabry-Pérot-Hohlraumsimulation (FDTD): Einführung in ein eindimensionales optisches Resonatorsystem

1. Einleitung

Ein Fabry-Pérot-Resonator ist eine der wichtigsten Resonanzstrukturen in der Optik und Photonik. In seiner einfachsten Form besteht er aus einem Bereich, der von zwei reflektierenden Oberflächen begrenzt wird, sodass sich Licht hin und her bewegen und stehende Wellen erzeugen kann. Eine bekannte mechanische Analogie ist eine schwingende Gitarrensaite, wie in ?? dargestellt. So wie auf einer fest eingespannten Saite nur bestimmte Schwingungsmuster möglich sind, die bestimmten Wellenlängen und Frequenzen (Musiktönen) entsprechen, werden auch in einem Fabry-Pérot-Resonator nur bestimmte optische Moden unterstützt.

Die optische Ausführung dieser Idee ist in ?? dargestellt. Licht wird wiederholt zwischen zwei Grenzflächen reflektiert, und diese vielfachen Reflexionen interferieren miteinander. Wenn die Phasenverschiebung nach einer vollständigen Hin- und Rückbewegung korrekt ist, addieren sich die Wellen kohärent, und es entsteht ein Resonanzmodus innerhalb der Kavität. Dieses einfache Prinzip bildet die Grundlage für eine Vielzahl von photonischen Bauelementen, darunter optische Filter, dielektrische Spiegel, Interferometer und Laserkavitäten.

In einem Fabry-Pérot-Resonator sind nur optische Moden zulässig, deren Wellenlänge zur Resonanzkammer passt. Bei senkrechtem Einfall tritt dies auf, wenn die Resonanzbedingung erfüllt ist.

\(2nL = m\lambda\)

wobei \(n\) der Brechungsindex des Hohlraumgebiets, \(L\) die Länge des Hohlraums, \(\lambda\) die Wellenlänge und \(m\) eine ganzzahlige Modenzahl ist. In der Abbildung sind drei Modi dargestellt: der Grundmode (m = 1, hellblau), die zweite Oberschwingung (m = 2, blau) und die dritte Oberschwingung (m = 3, dunkelblau). Dies bedeutet, dass der Hohlraum eine diskrete Menge von stehenden Wellenlösungen unterstützt und nicht ein beliebiges kontinuierliches Wellenlängenfeld.

Äquivalent dazu können die zulässigen Wellenlängen wie folgt dargestellt werden:

\(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\)

Höherwertige Moden entsprechen daher unterschiedlichen ganzzahligen Werten von \(m\), wobei jeder Wert ein anderes Resonanzfeldmuster erzeugt. Dies ist genau das Verhalten, das durch die Analogie zu stehenden Wellen beschrieben wird, und es ist der Grund, warum Fabry-Pérot-Resonatoren weit verbreitet als optische Resonatoren, wellenlängenabhängige Elemente und Laserresonatoren eingesetzt werden.

In diesem Tutorial verwenden wir die Methode der endlichen Differenzen im Zeitbereich (FDTD), um einen einfachen, eindimensionalen Fabry-Pérot-Resonator zu simulieren. Die Simulation umfasst eine Quelle, zwei reflektierende Bereiche, einen Resonatorraum zwischen ihnen und Detektorebenen, die die optische Reaktion erfassen (??). Durch die Ausführung dieses Modells können Sie beobachten, wie ein breitbandiger Impuls den Resonator anregt, wie stehende Wellen entstehen und wie die transmittierten und reflektierten Spektren die Resonanzmoden des Bauelements aufzeigen.

2. Erstellen einer neuen Simulation

Öffnen Sie das Fenster für die neue Simulation und wählen Sie die Kategorie „FDTD-Beispiele“ aus (??). Wählen Sie dann das Beispiel „Fabry-Pérot-Resonator“ aus (??). Dadurch wird die Hauptoberfläche geladen, die in ?? dargestellt ist.

Nach dem Laden der Simulation erscheint das Hauptfenster, wie in ?? dargestellt. Die Struktur wird in der 3D-Ansicht innerhalb der Registerkarte „Gerätestruktur“ angezeigt. Diese Ansicht zeigt alle wichtigen Komponenten der Fabry-Pérot-Hohlraumsimulation.

Auf der linken Seite stellen die grünen Pfeile die FDTD-Quelle dar, in die der optische Impuls eingespeist wird. Die dünne, violette Linie, die sich durch die Struktur zieht, ist das FDTD-Gitter. In diesem Beispiel ist die Simulation im Wesentlichen eindimensional, daher erscheint das Gitter als eine einzige Linie, die sich durch den Resonator zieht.

Direkt rechts von der Quelle befindet sich eine violette Ebene, die den Eingangssensor darstellt, der die einfallenden und reflektierten Felder erfasst. In der Mitte der Struktur befinden sich die beiden reflektierenden Bereiche, die den Fabry-Pérot-Resonator bilden. Auf der rechten Seite ist die grüne Ebene der Ausgangssensor, der das durchgelassene Licht misst, nachdem es den Resonator durchquert hat. Die Sensoren beeinflussen die Ausbreitung der Welle nicht; sie erfassen lediglich das elektromagnetische Feld, während es sich im Laufe der Zeit verändert.

In wenigen Augenblicken starten wir die Simulation und beobachten, wie sich das Licht durch die Struktur bewegt und mit dem Hohlraum interagiert. Sie werden sehen, wie die Welle teilweise reflektiert wird, wie ein Teil davon in den Hohlraum eindringt und sich zwischen den Spiegeln aufbaut, und wie dieses Verhalten von den beiden Detektoren an den Seiten der Struktur erfasst wird.

3. Durchführung der Simulation

Sobald Sie die Simulation gespeichert und die Struktur überprüft haben, klicken Sie auf die Schaltfläche „Ausführen“ (▶), um die Berechnung zu starten. Während die Simulation läuft, können Sie den Fortschritt im Reiter „Terminal“ verfolgen, der in ?? dargestellt ist. Dort werden Informationen wie die Zeitschrittgröße, der Wellenlängenbereich und das verwendete Backend angezeigt. Zu Beginn der Ausführung sehen Sie eine Zeile mit der Aufschrift Searching for OpenCL devices. Dies sind Hardwarebeschleunigungsgeräte, die verwendet werden können, um die Simulation zu beschleunigen. Wenn ein geeignetes OpenCL-Gerät gefunden wird, wie im Beispiel in der Abbildung gezeigt, wird OghmaNano dieses automatisch verwenden und die Simulation auf der GPU statt auf der CPU ausführen.

Sobald die Simulation abgeschlossen ist, wechseln Sie zum Reiter „Ausgabe“, der in ?? dargestellt ist. Hier finden Sie die während der Simulation generierten Daten. Die wichtigsten Ausgaben für dieses Tutorial sind detector_0 und detector_1, die die von den beiden Detektoren erfassten Signale enthalten. Sie können auch device öffnen, um die 3D-Geometrie anzuzeigen, und das Verzeichnis snapshots/, um zu sehen, wie sich die elektromagnetischen Felder im Laufe der Zeit entwickeln. Sie werden feststellen, dass diese Simulation sehr schnell abläuft. Da es sich um ein 1D-Problem handelt, betragen die typischen Ausführungszeiten nur wenige Sekunden. Wenn die Simulation deutlich länger dauert, beachten Sie den Hinweis oben zum Speichern der Simulation auf einem schnellen lokalen Laufwerk.

5. Anzeige von Momentaufnahmen des elektrischen Feldes

Öffnen Sie das Ausgabeverzeichnis snapshots/ (über die Registerkarte „Ausgabe“) und doppelklicken Sie darauf, um die Ansicht für Momentaufnahmen zu starten. So können Sie die Simulationsergebnisse in Abhängigkeit von der Zeit anzeigen. Klicken Sie einmal auf die Schaltfläche „+“, um einen Datensatz hinzuzufügen, und wählen Sie dann Ey aus. In dieser Simulation wird das Feld in y-Richtung angeregt, daher bietet diese Komponente die direkteste Ansicht der Wellenausbreitung. Anschließend können Sie mit dem Schieberegler die Zeit schrittweise durchlaufen und beobachten, wie sich das Feld entwickelt. Drei repräsentative Momentaufnahmen sind in ??–?? dargestellt.

In den frühen Phasen (linkes Bild) kann man sehen, wie der erste breitbandige Impuls in die Struktur eintritt. Das Feld ist noch räumlich lokalisiert, wobei eine scharfe Vorderkante der eingebrachten Anregung entspricht. Im Laufe der Zeit (mittleres Bild) hat der Impuls mit dem Hohlraum interagiert. Die Wellenform wird strukturierter und breitet sich räumlich aus, was darauf hindeutet, dass sich mehrere Frequenzkomponenten mit unterschiedlichen Phasen ausbreiten. Dies ist ein Kennzeichen für eine partielle Reflexion und Interferenz innerhalb der Struktur.

Zu einem späteren Zeitpunkt (rechtes Fenster) ähnelt das Feld nicht mehr einem einzelnen, sich ausbreitenden Impuls. Stattdessen zeigt es sich als eine Superposition von Wellen mit unterschiedlichen räumlichen Frequenzen. Dieses Verhalten entsteht, weil der Resonator bestimmte Wellenlängen selektiv verstärkt, während andere reflektiert oder durchgelassen werden. Das Ergebnis ist ein komplexes Interferenzmuster und keine einfache stehende Welle. Es ist erwähnenswert, dass die Simulation, da sie mit einem breitbandigen Impuls angeregt und im Zeitbereich beobachtet wird, nicht sofort als eine klare stehende Wellenform des Resonators erscheint. Stattdessen beobachten wir die vorübergehende Entwicklung in Richtung Resonanz, bei der sich durch wiederholte Reflexionen und Interferenz nach und nach die Frequenzkomponenten aufbauen, die die Resonanzbedingung erfüllen.

6. Anzeige der Detektorausgabe

Wenn Sie zum Reiter „Ausgabe“ zurückkehren (siehe ??), sehen Sie zwei Detektorordner, „Detektor0“ und „Detektor1“, die wie kleine Symbole für CCD-Sensoren dargestellt werden. „Detektor0“ befindet sich auf der Eingangsseite der Kavität, während „Detektor1“ auf der gegenüberliegenden Seite liegt, nachdem das Licht die Struktur durchquert hat. Wenn Sie auf „Detektor0“ doppelklicken, sehen Sie den Inhalt, der in ?? dargestellt ist. In diesem Verzeichnis befinden sich zwei Dateien, lam_E.csv und power.csv. Öffnen Sie nun power.csv, das die Leistung anzeigt, die den Detektor als Funktion der Zeit durchläuft. Das Ergebnis wird in ?? dargestellt. Dies ist die Leistung, die am Detektor auf der Eingangsseite gemessen wurde.

Sie können nun denselben Vorgang für Detektor 1 wiederholen. Wenn Sie power.csv in diesem Ordner öffnen, erhalten Sie das in ?? dargestellte Ergebnis. In diesem Fall erscheint das übertragene Signal nach einer kurzen Verzögerung, die der Zeit entspricht, die der Impuls benötigt, um die Resonanzkammer zu durchqueren. Im Vergleich zum Eingangssignal ist der übertragene Impuls deutlich glatter und regelmäßiger. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass die Resonanzkammer vorzugsweise einen engeren Frequenzbereich überträgt, während andere Frequenzen reflektiert werden. Infolgedessen ist das Ausgangssignal im Wesentlichen eine gefilterte Version des ursprünglichen breitbandigen Impulses.

Wir können nun von den Signalen im Zeitbereich zu den Signalen im Frequenzbereich übergehen. Die zuvor dargestellten Signale können durch eine Fourier-Transformation in ihre spektralen Bestandteile zerlegt werden, um das Frequenzspektrum des Lichts zu erhalten, das durch jeden Detektor hindurchgeht. Die Daten im Frequenzbereich finden sich in der Datei lam_E.csv sowohl in Detector0 als auch in Detector1.

Eingangsspektrum: Das Spektrum auf der Eingangsseite ist in ?? dargestellt. Dies ist das Spektrum, das am Detektor auf der Seite der Lichtquelle des Resonators gemessen wurde. Das auffälligste Merkmal ist ein starker Peak, der sich um etwa 400 nm zentriert und dem Hauptspektralanteil des eingestrahlten Pulses entspricht. Da sich dieser Detektor vor dem Resonator befindet, stellt das gemessene Spektrum hauptsächlich das einfallende Feld dar, obwohl es auch einen geringen Beitrag von Licht enthalten kann, das von der Struktur reflektiert wird. Abseits des Hauptpeaks wird das Signal schwächer, und kleine Merkmale in diesen Bereichen sollten nicht überinterpretiert werden.

Ausgabespektrum: Das zugehörige Ausgabespektrum ist in ?? dargestellt. Wie beim Eingangsspektrum ist das vorherrschende Merkmal ein starker Peak bei etwa 400 nm, der die primäre Anregung des Systems widerspiegelt. Auf der Seite dieses Peaks mit längeren Wellenlängen ist jedoch ein zusätzliches Merkmal sichtbar: eine kleinere Schulter bei etwa 500 nm. Dieses Merkmal entsteht durch die Reaktion des Fabry-Pérot-Resonators, der bestimmte Wellenlängen bevorzugt durchlässt. Da die Quelle nicht auf diese Resonanzfrequenz zentriert ist, erscheint das mit dem Resonator verbundene Merkmal nur als ein schwächerer, sekundärer Beitrag und nicht als ein dominanter Peak.

Verhältnis von Eingangs- zu Ausgangssignal: Die oben dargestellten Spektren werden hauptsächlich durch das Spektrum der Quelle bestimmt, was es erschwert, die Wirkung der Kavität deutlich zu erkennen. Um die Reaktion der Kavität besser sichtbar zu machen, müssen wir den Einfluss des Quellspektrums so weit wie möglich reduzieren. Dies erreichen wir, indem wir das Ausgangssignal durch das Eingangssignal teilen, wodurch das übertragene Feld effektiv durch das einfallende Feld normalisiert wird. Da die Leistung proportional zu \(|E|^2\) ist, ergibt sich eine ungefähre Übertragungsfunktion der Struktur: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). Das Ergebnis ist in ?? dargestellt.

Dieses Verfahren entfernt die Quelle nicht vollständig, reduziert aber deren Einfluss erheblich. Dadurch werden die mit der Kavität verbundenen Merkmale viel deutlicher sichtbar. Insbesondere die Resonanz bei etwa 500 nm, die im ursprünglichen Ausgangsspektrum nur als schwache Schulter auftritt, wird im normalisierten Ergebnis deutlich verstärkt. Es ist zu beachten, dass das Verhältnis groß und verrauscht werden kann, wenn das Eingangssignal sehr klein ist. Diese Merkmale sind keine physikalischen Resonanzen, sondern entstehen durch die Division durch eine kleine Zahl. Für ein klareres Transmissionsspektrum kann eine separate Referenzsimulation ohne die Kavität zur Normalisierung verwendet werden, dies ist jedoch nicht erforderlich, um den hier beobachteten Haupteffekt zu erkennen.

7. Experimentieren mit den Abmessungen der Hohlräume

Um zu untersuchen, wie sich das Fabry-Pérot-Verhalten in Abhängigkeit von seiner Struktur verhält, klicken Sie mit der rechten Maustaste auf einen der Hohlraumspiegel und wählen Sie „Objekt bearbeiten“ aus, wie in ?? dargestellt. Dadurch wird der Objekteditor geöffnet, in dem die Geometrie des Hohlraums gesteuert werden kann, wie in ?? dargestellt. In dieser Simulation besteht der Hohlraum aus zwei dünnen Spiegeln, die jeweils 10 nm dick sind und durch einen Abstand von 250 nm voneinander getrennt sind. Anstatt zwei unabhängige Objekte zu definieren, verwendet OghmaNano eine Replikationsfunktion: Es wird ein einzelnes Objekt definiert und dann entlang einer gewählten Richtung wiederholt. In diesem Fall wird der Spiegel entlang der z-Achse dupliziert. Dies wird über das Feld „Anzahl der Objekte“ gesteuert, das in z-Richtung auf 2 eingestellt ist. Der Parameter „Schritt“ definiert dann den Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Kopien des Objekts. Hier ist der Schritt in z-Richtung auf 260 nm eingestellt. Dieser Wert umfasst sowohl den Hohlraumabstand als auch die Dicke des ersten Spiegels. Da jeder Spiegel 10 nm dick ist, beträgt der physikalische Abstand zwischen den beiden Spiegeln \(260 - 10 = 250\) nm, was die Länge des Hohlraums definiert. Diese Konstruktion ermöglicht es, beide Spiegel konsistent zu steuern, indem ein einzelnes Objekt bearbeitet wird.

To change the cavity length, modify the z-step from 260 nm to 360 nm in the object editor. This increases the mirror-to-mirror spacing from 250 nm to 350 nm. After applying this change, the structure should appear as shown in ??, where the cavity region is visibly larger. The resonant wavelengths of a Fabry–Pérot cavity are determined by the round-trip phase condition, \[ 2 n L = m \lambda, \] where \(n\) is the refractive index inside the cavity, \(L\) is the cavity length, and \(m\) is an integer mode number. Rearranging this gives \[ \lambda = \frac{2 n L}{m}. \]

In der ursprünglichen Struktur, mit \(L = 250\) nm und \(n \approx 1\), tritt der Grundmodus (\(m=1\)) bei \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \] auf. Nachdem die Länge der Resonanzkammer auf \(L = 350\) nm erhöht wurde, beträgt die entsprechende Wellenlänge \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Dies entspricht der erwarteten Verschiebung der dominanten Resonanzfrequenz der Kammer.

Führen Sie die Simulation nun erneut aus und untersuchen Sie das Ausgabespektrum von Detektor 1. Das Ergebnis ist in ?? dargestellt. Sie sollten feststellen, dass sich das Hauptmerkmal, das mit der Kavität zusammenhängt, von etwa 500 nm auf etwa 700 nm verschoben hat, was mit dem oben beschriebenen einfachen Modell übereinstimmt.

Zusätzlich zur Hauptresonanz werden Sie auch das Vorhandensein anderer, schwächerer Moden feststellen. Diese entsprechen Lösungen höherer Ordnung der Fabry-Pérot-Bedingung (\(m = 2, 3, \dots\)). Wenn beispielsweise \(m=2\) gilt, beträgt die Wellenlänge ungefähr \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), was zu einer Mode mit kürzerer Wellenlänge führt. Da die Anregung breitbandig ist, können mehrere Werte von \(m\) schwach angeregt werden, was zu mehreren Spitzen im Spektrum führt. Ihre Stärke hängt jedoch davon ab, wie gut sie mit dem spektralen Inhalt der Quelle übereinstimmen und wie effizient sie durch die Spiegel hindurchtreten.

9. Erweiterung auf 2D

Bisher haben wir eine eindimensionale Fabry-Pérot-Resonatorstruktur betrachtet, bei der sich die Felder nur entlang der Ausbreitungsrichtung ändern. Eine der Stärken der Finite-Difference Time-Domain-Methode (FDTD) besteht darin, dass sie auf natürliche Weise auf höhere Dimensionen erweitert werden kann. In diesem Abschnitt erweitern wir die Simulation auf zwei Dimensionen und beobachten, wie sich das Feldverhalten verändert.

Dazu öffnen Sie das optische Menüband (??) und starten den Editor für optische Gitter. Aktivieren Sie im Gittereditor (??) die X-Dimension, damit die Simulation Variationen sowohl in X- als auch in Z-Richtung berücksichtigt. Nachdem Sie diese Änderung angewendet haben, schließen Sie den Editor und führen die Simulation erneut aus.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Einführung einer zusätzlichen räumlichen Dimension die Rechenkosten erheblich erhöht. Die Berechnungszeit kann sich um bis zu eine Größenordnung verlängern (in der Regel um das Zehnfache), da die Anzahl der Gitterpunkte und Feldaktualisierungen mit zunehmender Dimensionalität rasch ansteigt. Dies ist ein allgemeines Merkmal der FDTD-Methode: Eine höhere physikalische Realitätsnähe geht mit einem höheren Rechenaufwand einher.

Sobald die Simulation abgeschlossen ist, öffnen Sie das Verzeichnis snapshots/. Beispielergebnisse werden in ?? bis ?? dargestellt. Mithilfe des Schiebereglers können Sie die Simulation schrittweise vorwärtsbewegen und beobachten, wie sich die Welle von der Quelle aus ausbreitet, sich seitlich ausdehnt und mit dem Resonator interagiert, bevor sie den Detektor erreicht.

Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall ist die Wellenfront nicht mehr eben. Stattdessen breitet sie sich seitlich aus und erzeugt gekrümmte Wellenfronten und komplexe Interferenzmuster. Das bedeutet, dass sich Licht durch den Resonator entlang mehrerer Pfade ausbreiten kann, und nicht nur direkt zwischen den beiden Spiegeln. Infolgedessen ist die effektive optische Weglänge nicht mehr einfach die geometrische Länge des Resonators.

In einer eindimensionalen Umgebung lautet die Resonanzbedingung:

\(2nL = m\lambda\)

In zwei Dimensionen kann sich die Welle jedoch in einem Winkel ausbreiten. Wenn ein Strahl in einem Winkel \(\theta\) zur Normalen verläuft, ändert sich die Weglänge.

\(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\)

und die Resonanzbedingung wird wie folgt geändert:

\(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\)

Da \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 nm anstatt des Wertes, der durch das einfache 1D-Modell vorhergesagt wird??).

Dies verdeutlicht ein wichtiges Ergebnis: Während eindimensionale Simulationen die grundlegenden physikalischen Prinzipien des Fabry-Pérot-Interferometers erfassen, führen höherdimensionale Simulationen zusätzliche Effekte wie winkelabhängige Ausbreitung, Beugung und räumliche Modenstruktur ein. Diese Effekte sind entscheidend für das Verständnis realer optischer Systeme, in denen sich Licht selten ausschließlich in einer Dimension ausbreitet.