Simulación de la cavidad de Fabry-Pérot (FDTD): Tutorial sobre resonadores ópticos unidimensionales.

1. Introducción

Una cavidad de Fabry-Pérot es una de las estructuras resonantes más importantes en óptica y fotónica. En su forma más simple, es una región delimitada por dos superficies reflectantes, de modo que la luz puede rebotar y formar resonancias de onda estacionaria. Una analogía mecánica común es una cuerda de guitarra vibrante, como se muestra en ??. Al igual que solo ciertos patrones de vibración están permitidos en una cuerda fija, correspondientes a longitudes de onda y frecuencias específicas (notas musicales), solo ciertos modos ópticos se pueden mantener dentro de una cavidad de Fabry-Pérot.

La versión óptica de esta idea se ilustra en ??. La luz se refleja repetidamente entre dos interfaces, y estos múltiples reflejos interfieren entre sí. Cuando la fase del recorrido completo es la correcta, las ondas se suman de forma coherente y se genera un modo resonante dentro de la cavidad. Este principio sencillo es la base de una amplia gama de dispositivos fotónicos, incluidos filtros ópticos, espejos dieléctricos, interferómetros y cavidades láser.

En un resonador de Fabry-Pérot, solo se permiten los modos ópticos cuya longitud de onda se ajusta a la cavidad. En incidencia normal, esto ocurre cuando se cumple la condición de resonancia.

\(2nL = m\lambda\)

donde \(n\) es el índice de refracción de la región de la cavidad, \(L\) es la longitud de la cavidad, \(\lambda\) es la longitud de onda y \(m\) es un número entero que representa el modo. En la figura, se muestran tres modos: el modo fundamental (m = 1, azul claro), la segunda armónica (m = 2, azul) y la tercera armónica (m = 3, azul oscuro). Esto significa que la cavidad admite un conjunto discreto de soluciones de onda estacionaria, en lugar de un continuo arbitrario de longitudes de onda.

De manera equivalente, las longitudes de onda permitidas pueden expresarse como:

\(\lambda_m = \dfrac{2nL}{m}\)

Por lo tanto, los modos de orden superior corresponden a diferentes valores enteros de \(m\), cada uno de los cuales produce un patrón de campo resonante diferente. Este es exactamente el comportamiento que sugiere la analogía de la onda estacionaria y es la razón por la que las cavidades de Fabry-Pérot se utilizan ampliamente como resonadores ópticos, elementos selectivos de longitud de onda y cavidades láser.

En este tutorial, utilizaremos el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) para simular una cavidad simple de Fabry-Pérot unidimensional. La simulación incluye una fuente, dos regiones reflectantes, una cavidad entre ellas y planos detectores que registran la respuesta óptica (??). Al ejecutar este modelo, podrá observar cómo un pulso de banda ancha excita la cavidad, cómo se forman las ondas estacionarias y cómo los espectros transmitidos y reflejados revelan los modos de resonancia del dispositivo.

2. Crear una nueva simulación.

Abra la ventana de la nueva simulación y seleccione la categoría de ejemplos de FDTD (??). A continuación, elija el ejemplo de cavidad de Fabry-Pérot (??). Esto cargará la interfaz principal que se muestra en ??.

Una vez que se carga la simulación, aparece la ventana principal, tal como se muestra en ??. La estructura se visualiza en la vista 3D dentro de la pestaña «Estructura del dispositivo». Esta vista muestra todos los componentes clave de la simulación de la cavidad de Fabry-Pérot.

A la izquierda, las flechas verdes representan la fuente FDTD, donde se inyecta el pulso óptico. La delgada línea púrpura que atraviesa la estructura es la malla FDTD. En este ejemplo, la simulación es, en esencia, unidimensional, por lo que la malla aparece como una única línea que atraviesa la cavidad.

Justo a la derecha de la fuente, el plano púrpura representa el detector de entrada, que registra los campos incidentes y reflejados. En el centro de la estructura se encuentran las dos regiones reflectantes que forman la cavidad de Fabry-Pérot. En el lado derecho, el plano verde es el detector de salida, que mide la luz transmitida después de que atraviesa la cavidad. Los detectores no afectan la propagación de la onda; simplemente registran el campo electromagnético a medida que evoluciona en el tiempo.

En un momento, iniciaremos la simulación y observaremos cómo la luz se propaga a través de la estructura e interactúa con la cavidad. Verán cómo la onda se refleja parcialmente, cómo una parte de ella entra en la cavidad y se acumula entre los espejos, y cómo este comportamiento es registrado por los dos detectores situados a ambos lados de la estructura.

3. Ejecutar la simulación.

Una vez que haya guardado la simulación y haya explorado la estructura, haga clic en el botón Ejecutar (▶) para iniciar el cálculo. Mientras se ejecuta la simulación, puede supervisar su progreso en la pestaña Terminal, que se muestra en ??. En ella se muestra información como el intervalo de tiempo, el rango de longitudes de onda y el sistema que se está utilizando. Al principio de la ejecución, verá una línea que dice Searching for OpenCL devices. Estos son dispositivos de aceleración de hardware que se pueden utilizar para acelerar la simulación. Si se encuentra un dispositivo OpenCL adecuado, como en el ejemplo que se muestra en la figura, OghmaNano lo utilizará automáticamente y ejecutará la simulación en la GPU en lugar de en la CPU.

Cuando la simulación haya terminado, cambie a la pestaña de Resultados, que se muestra en ??. Aquí encontrará los datos generados durante la ejecución. Los resultados clave para este tutorial son detector_0 y detector_1, que contienen las señales registradas por los dos detectores. También puede abrir device para ver la geometría en 3D y el directorio snapshots/ para ver cómo evolucionan los campos electromagnéticos con el tiempo. Debería notar que esta simulación se ejecuta muy rápidamente. Dado que se trata de un problema unidimensional, los tiempos de ejecución típicos son de solo unos pocos segundos. Si la simulación tarda significativamente más, consulte la nota anterior sobre cómo guardar la simulación en una unidad local rápida.

5. Visualización de imágenes instantáneas del campo eléctrico.

Abra el directorio de salida snapshots/ (desde la pestaña «Salida») y haga doble clic para iniciar el visor de instantáneas. Esto le permitirá ver los resultados de la simulación en función del tiempo. Haga clic una vez en el botón «+» para agregar un conjunto de datos y, a continuación, seleccione Ey. En esta simulación, el campo se excita en la dirección y, por lo que este componente ofrece la visión más directa de la propagación de la onda. A continuación, puede utilizar la barra deslizante para avanzar en el tiempo y observar cómo evoluciona el campo. Se muestran tres instantáneas representativas en ??–??.

En las primeras etapas (panel izquierdo), se puede observar el pulso inicial de banda ancha que entra en la estructura. El campo aún está localizado espacialmente, con un borde frontal marcado que corresponde a la excitación inyectada. A medida que avanza el tiempo (panel central), el pulso ha interactuado con la región de la cavidad. La forma de onda se vuelve más estructurada y se extiende en el espacio, lo que indica que múltiples componentes de frecuencia se propagan con diferentes fases. Esta es una característica de la reflexión parcial y la interferencia dentro de la estructura.

En momentos posteriores (panel de la derecha), el campo ya no se asemeja a un único pulso que se propaga. En cambio, aparece como una superposición de ondas con diferentes frecuencias espaciales. Este comportamiento surge porque la cavidad amplifica selectivamente ciertas longitudes de onda, mientras que otras se reflejan o se transmiten. El resultado es un patrón de interferencia complejo, en lugar de una simple onda estacionaria. Cabe destacar que, dado que la simulación se inicia con un pulso de banda ancha y se observa en el dominio del tiempo, la resonancia de la cavidad no aparece inmediatamente como un modo de onda estacionaria definido. En cambio, lo que se observa es la evolución transitoria hacia la resonancia, en la que múltiples reflexiones e interferencias construyen gradualmente los componentes de frecuencia que satisfacen la condición de la cavidad.

6. Visualización de las señales de salida del detector.

Volviendo a la pestaña de resultados (consulte ??), verá dos carpetas de detectores, Detector0 y Detector1, que aparecen como pequeños iconos de sensores CCD. Detector0 se encuentra en el lado de la fuente de la cavidad, mientras que Detector1 está en el lado opuesto, después de que la luz haya atravesado la estructura. Si hace doble clic en Detector0, verá el contenido que se muestra en ??. En este directorio hay dos archivos, lam_E.csv y power.csv. Por ahora, abra power.csv, que muestra la potencia que atraviesa el detector en función del tiempo. El resultado se muestra en ??. Este es el valor de la potencia registrada en el detector del lado de entrada.

Ahora puede repetir el mismo proceso para Detector1. Al abrir power.csv en esa carpeta, se obtiene el resultado que se muestra en ??. En este caso, la señal transmitida aparece después de un breve retraso, que corresponde al tiempo que tarda el pulso en atravesar la cavidad. En comparación con la señal de entrada, el pulso transmitido es notablemente más suave y más regular. Esto refleja el hecho de que la cavidad transmite preferentemente un rango más estrecho de componentes de frecuencia, mientras que los demás se reflejan. Como resultado, la señal de salida es, en esencia, una versión filtrada del pulso original de banda ancha.

Ahora podemos pasar de las señales en el dominio del tiempo a la respuesta en el dominio de la frecuencia. Las señales que se mostraron anteriormente pueden transformarse mediante la transformada de Fourier para obtener el contenido espectral de la luz que atraviesa cada detector. Los datos del dominio de la frecuencia se pueden encontrar en el archivo lam_E.csv dentro de los directorios de Detector0 y Detector1.

Espectro de entrada: El espectro del lado de entrada se muestra en ??. Este es el espectro registrado en el detector, en el lado de la fuente de la cavidad. La característica dominante es un pico intenso centrado cerca de los 400 nm, que corresponde al contenido espectral principal del pulso inyectado. Dado que este detector está situado antes de la cavidad, el espectro registrado es principalmente el campo incidente, aunque también puede contener una pequeña contribución de la luz que se refleja desde la estructura. Alejándose del pico principal, la señal se debilita y las pequeñas características presentes en estas regiones no deben interpretarse en exceso.

Espectro de salida: el espectro correspondiente del lado de salida se muestra en ??. Al igual que en el espectro de entrada, la característica dominante es un pico intenso cerca de los 400 nm, lo que refleja la excitación principal del sistema. Sin embargo, se observa una característica adicional en el lado de mayor longitud de onda de este pico: una pequeña protuberancia alrededor de los 500 nm. Esta característica surge de la respuesta de la cavidad de Fabry-Pérot, que transmite preferentemente ciertas longitudes de onda. Dado que la fuente no está centrada en esta resonancia, la característica relacionada con la cavidad aparece solo como una contribución secundaria más débil, en lugar de un pico dominante.

Relación entrada/salida: los espectros que se muestran arriba están dominados por el perfil espectral de la fuente, lo que dificulta la visualización clara del efecto de la cavidad. Para que la respuesta de la cavidad sea más visible, debemos eliminar, en la medida de lo posible, la influencia del espectro de la fuente. Lo hacemos dividiendo la señal de salida por la señal de entrada, normalizando así el campo transmitido con respecto al campo incidente. Dado que la potencia es proporcional a \(|E|^2\), esto proporciona una función de transmisión aproximada de la estructura: \(T(\lambda) = \frac{|E_{\mathrm{output}}(\lambda)|^2}{|E_{\mathrm{input}}(\lambda)|^2}\). El resultado se muestra en ??.

Este procedimiento no elimina por completo la contribución de la fuente, pero sí reduce significativamente su influencia. Como resultado, las características asociadas con la cavidad se hacen mucho más evidentes. En particular, la resonancia que se observa alrededor de los 500 nm, que en el espectro de salida original aparece solo como un pequeño pico, ahora se ve claramente amplificada en el resultado normalizado. Cabe señalar que, cuando la señal de entrada es muy pequeña, la relación puede volverse grande y generar ruido. Estas características no son resonancias físicas, sino que surgen de la división por un número pequeño. Para obtener un espectro de transmisión más limpio, se puede utilizar una simulación de referencia independiente, sin la cavidad, para la normalización, pero esto no es necesario para observar el efecto principal que se analiza aquí.

7. Realizar pruebas con diferentes dimensiones de la cavidad.

Para analizar cómo el comportamiento de Fabry-Pérot depende de su estructura, haga clic con el botón derecho en uno de los espejos de la cavidad y seleccione «Editar objeto», como se muestra en ??. Esto abrirá el editor de objetos, donde se puede controlar la geometría de la cavidad, como se muestra en ??. En esta simulación, la cavidad está formada por dos espejos delgados, cada uno de 10 nm de grosor, separados por un espacio de 250 nm. En lugar de definir dos objetos independientes, OghmaNano utiliza una función de replicación: se define un único objeto y luego se repite a lo largo de una dirección elegida. En este caso, el espejo se duplica a lo largo del eje z. Esto se controla mediante el campo «Número de objetos», que se establece en 2 en la dirección z. El parámetro «paso» define entonces el espaciamiento entre las copias sucesivas del objeto. Aquí, el paso en la dirección z se establece en 260 nm. Este valor incluye tanto el espaciamiento de la cavidad como el grosor del primer espejo. Dado que cada espejo tiene un grosor de 10 nm, el espacio físico entre los dos espejos es de \(260 - 10 = 250\) nm, lo que define la longitud de la cavidad. Esta construcción permite controlar ambos espejos de forma coherente mediante la edición de un único objeto.

To change the cavity length, modify the z-step from 260 nm to 360 nm in the object editor. This increases the mirror-to-mirror spacing from 250 nm to 350 nm. After applying this change, the structure should appear as shown in ??, where the cavity region is visibly larger. The resonant wavelengths of a Fabry–Pérot cavity are determined by the round-trip phase condition, \[ 2 n L = m \lambda, \] where \(n\) is the refractive index inside the cavity, \(L\) is the cavity length, and \(m\) is an integer mode number. Rearranging this gives \[ \lambda = \frac{2 n L}{m}. \]

En la estructura original, con \(L = 250\) nm y \(n \approx 1\), el modo fundamental (\(m=1\)) se produce en \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 250 = 500\ \text{nm}. \]. Tras aumentar la longitud de la cavidad a \(L = 350\) nm, la longitud de onda correspondiente se convierte en \[ \lambda \approx 2 \times 1 \times 350 = 700\ \text{nm}. \]. Este es el desplazamiento previsto en la resonancia dominante de la cavidad.

Ahora, vuelva a ejecutar la simulación e inspeccione el espectro de salida del Detector1. El resultado se muestra en ??. Debería observar que la característica principal relacionada con la cavidad se ha desplazado de aproximadamente 500 nm a un valor más cercano a 700 nm, lo que concuerda con el modelo sencillo que se presenta anteriormente.

Además de la resonancia principal, también notará la presencia de otros modos más débiles. Estos corresponden a soluciones de orden superior de la condición de Fabry-Pérot (\(m = 2, 3, \dots\)). Por ejemplo, cuando \(m=2\), la longitud de onda es aproximadamente \(\lambda = 2 n L / 2 = nL\), lo que da como resultado un modo de longitud de onda más corta. Dado que la excitación es de banda ancha, se pueden excitar débilmente múltiples valores de \(m\), lo que genera varios picos en el espectro. Sin embargo, su intensidad depende de qué tan bien se superponen con el contenido espectral de la fuente y de qué tan eficientemente se acoplan a través de los espejos.

9. Ampliación a 2D.

Hasta ahora, hemos considerado una cavidad de Fabry-Pérot unidimensional, en la que los campos varían solo a lo largo de la dirección de propagación. Una de las ventajas del método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) es que se puede extender de forma natural a dimensiones superiores. En esta sección, extenderemos la simulación a dos dimensiones y observaremos cómo cambia el comportamiento del campo.

Para ello, abra la cinta de opciones de Óptica (??) e inicie el editor de mallas ópticas. En el editor de mallas (??), active la dimensión x para que la simulación calcule las variaciones tanto en x como en z. Después de aplicar este cambio, cierre el editor y vuelva a ejecutar la simulación.

Cabe señalar que habilitar una dimensión espacial adicional aumenta considerablemente el coste computacional. El tiempo de ejecución puede aumentar hasta en una magnitud (normalmente hasta 10 veces más), ya que el número de puntos de la malla y las actualizaciones del campo aumentan rápidamente con la dimensionalidad. Esta es una característica general de FDTD: aumentar el realismo físico implica un mayor esfuerzo computacional.

Una vez que la simulación haya finalizado, abra el directorio snapshots/. En ?? y ?? se muestran ejemplos de los resultados. Con la barra deslizante, puede avanzar en el tiempo y observar cómo la onda se propaga desde la fuente, se extiende lateralmente e interactúa con la cavidad antes de llegar al detector.

A diferencia del caso unidimensional, la frente de onda ya no es plana. En cambio, se propaga lateralmente, generando frentes de onda curvas y patrones de interferencia complejos. Esto significa que la luz puede viajar a través de la cavidad siguiendo múltiples trayectorias, y no solo directamente entre los dos espejos. En consecuencia, la longitud óptica efectiva ya no es simplemente la longitud geométrica de la cavidad.

En una dimensión, la condición de resonancia es:

\(2nL = m\lambda\)

No obstante, en dos dimensiones, la onda puede propagarse en un ángulo determinado. Si un rayo viaja en un ángulo \(\theta\) con respecto a la normal, la longitud del trayecto se convierte en

\(L_{\mathrm{eff}} = \frac{L}{\cos\theta}\)

y la condición de resonancia se modifica de la siguiente manera:

\(2n \frac{L}{\cos\theta} = m\lambda\)

Debido a que \(\cos\theta\) < 1\), the effective cavity length is larger than the physical length. This shifts the resonance to longer wavelengths, which explains why the peak in the 2D simulation appears around 600 nm en lugar del valor previsto por el modelo unidimensional (1D) más sencillo.??).

Esto pone de manifiesto un resultado importante: si bien las simulaciones unidimensionales captan los principios básicos de la física de Fabry-Pérot, las simulaciones multidimensionales introducen efectos adicionales, como la propagación angular, la difracción y la estructura de los modos espaciales. Estos efectos son esenciales para comprender los sistemas ópticos reales, en los que la luz rara vez se propaga únicamente en una dimensión.