Teoría del método de la matriz de transferencia
A la izquierda de la interfaz el campo eléctrico está dado por
\[E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{efield1}\] y en el lado derecho de la interfaz el campo eléctrico está dado por \[E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{efield2}\]
Las ecuaciones de Maxwell nos dan la relación entre los campos eléctricos y magnéticos para una onda plana.
\[\nabla \times E=-j\omega \mu H\] lo que se simplifica a: \[\frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{maxwel}\]
Aplicando la ecuación ?? a las ecuaciones ??-??, podemos obtener el campo magnético a la izquierda de la interfaz \[-j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\] y en el lado derecho de la interfaz \[-j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z}.\]
Ordenando se obtiene, \[H^{y}_{1}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\]
\[H^{y}_{2}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z}\]
Condiciones de contorno
Ahora aplicamos las condiciones de contorno eléctricas y magnéticas \[\mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0\]
\[\mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0\]
Tomamos la interfaz en z=0, lo que da, \[(E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{electric_boundary}\] y \[\frac{k_1}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})\frac{k_2}{\omega \mu}=0\] . El vector de onda está dado por \[k=\frac{2 \omega }{\lambda}=\frac{\omega n}{c}\] . Por lo tanto podemos escribir la condición de contorno magnética como \[n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{mag_boundary}\]
Onda que se propaga hacia adelante
Reordenando la ecuación, ?? obtenemos,
\[E_{1}^{-} = E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\] Insertando en la ecuación ??, se obtiene \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{+}+E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
\[2E_{1}^{+}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}+\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
\[2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\]
Onda que se propaga hacia atrás
Reordenando la ecuación, ?? obtenemos,
\[E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
Insertando en la ecuación ??, se obtiene \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-}\]
\[2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
\[2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-}\] Que es el mismo resultado obtenido en .
Estas ecuaciones se convierten en:
\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-}\]
y \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12}\]
Teniendo en cuenta la propagación podemos escribir. Obsérvese el cambio de signo entre y este trabajo, esto se debe a cómo he definido mi ecuación de onda. \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1}\] y
\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1}\]
donde \[\zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n}\]
Para un dispositivo con contactos traseros no reflectantes:
\(\begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 &r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 &0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 &0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 &r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} &e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 &0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 &-t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 &0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 &0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & -t_{45} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Índice de refracción y absorción
\[E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t})\] Y como la intensidad es proporcional al cuadrado del campo eléctrico, el coeficiente de absorción se convierte en
\[e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}\]
\[\alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}\]