전달 행렬 방법의 이론

계면의 왼쪽에서 전기장은 다음과 같이 주어집니다

\[E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{efield1}\] 그리고 계면의 오른쪽에서 전기장은 \[E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{efield2}\]로 주어집니다

Maxwell 방정식은 평면파에 대해 전기장과 자기장 사이의 관계를 제공합니다.

\[\nabla \times E=-j\omega \mu H\] 이는 다음과 같이 단순화됩니다: \[\frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{maxwel}\]

식 ??을 식 ??-??에 적용하면, 계면 왼쪽의 자기장을 \[-j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\]로 얻을 수 있고, 계면 오른쪽에서는 \[-j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z}.\]가 됩니다.

정리하면, \[H^{y}_{1}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\]

\[H^{y}_{2}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z}\]

경계 조건

이제 전기장 및 자기장의 경계 조건을 적용합니다 \[\mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0\]

\[\mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0\]

계면이 z=0에 있다고 두면, \[(E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{electric_boundary}\] 그리고 \[\frac{k_1}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})\frac{k_2}{\omega \mu}=0\] 가 됩니다. 파수 벡터는 \[k=\frac{2 \omega }{\lambda}=\frac{\omega n}{c}\] 로 주어집니다. 따라서 자기장 경계 조건을 \[n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{mag_boundary}\]로 쓸 수 있습니다

정방향 전파파

식 ??을 정리하면 다음을 얻습니다,

\[E_{1}^{-} = E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\] 이를 식 ??에 대입하면 \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{+}+E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]를 얻습니다

\[2E_{1}^{+}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}+\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\]

역방향 전파파

식 ??을 정리하면 다음을 얻습니다,

\[E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

이를 식 ??에 대입하면, \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-}\]를 얻습니다

\[2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-}\] 이는 에서 얻은 결과와 동일한 결과입니다.

이 식들은 다음과 같이 됩니다:

\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-}\]

그리고 \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12}\]

전파를 고려하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 부호가 와 이 작업 사이에서 바뀐 점에 유의하십시오. 이는 내가 파동 방정식을 정의한 방식 때문입니다. \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1}\] 그리고

\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1}\]

여기서 \[\zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n}\]

반사하지 않는 후면 접촉을 가진 장치의 경우:

\(\begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 &r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 &0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 &0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 &r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} &e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 &0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 &-t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 &0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 &0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & -t_{45} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

굴절률과 흡수

\[E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t})\] 그리고 강도는 전기장의 제곱에 비례하므로 흡수 계수는 다음과 같이 됩니다

\[e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}\]

\[\alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}\]