نظریه روش ماتریس انتقال
در سمت چپ مرز مشترک، میدان الکتریکی بهصورت زیر داده میشود
\[E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{efield1}\] و در سمت راست مرز مشترک، میدان الکتریکی بهصورت \[E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{efield2}\] داده میشود
معادلات Maxwell رابطه بین میدانهای الکتریکی و مغناطیسی را برای یک موج تخت به ما میدهند.
\[\nabla \times E=-j\omega \mu H\] که به صورت زیر ساده میشود: \[\frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{maxwel}\]
با اعمال معادله ?? به معادلات ??-??، میتوانیم میدان مغناطیسی را در سمت چپ مرز مشترک \[-j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\] و در سمت راست مرز مشترک \[-j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z}.\] بهدست آوریم
مرتبسازی عبارتها نتیجه میدهد، \[H^{y}_{1}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\]
\[H^{y}_{2}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z}\]
شرایط مرزی
اکنون شرایط مرزی میدان الکتریکی و مغناطیسی را اعمال میکنیم \[\mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0\]
\[\mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0\]
مرز مشترک را در z=0 در نظر میگیریم که نتیجه میدهد، \[(E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{electric_boundary}\] و \[\frac{k_1}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})\frac{k_2}{\omega \mu}=0\] . بردار موج بهصورت \[k=\frac{2 \omega }{\lambda}=\frac{\omega n}{c}\] داده میشود . بنابراین میتوانیم شرط مرزی مغناطیسی را به صورت \[n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{mag_boundary}\] بنویسیم
موج در حال انتشار رو به جلو
معادله ?? را بازآرایی کنید تا بهدست آید،
\[E_{1}^{-} = E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\] با جایگذاری در معادله ??، داریم \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{+}+E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
\[2E_{1}^{+}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}+\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
\[2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\]
موج در حال انتشار رو به عقب
معادله ?? را بازآرایی کنید تا بهدست آید،
\[E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
با جایگذاری در معادله ??، داریم \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-}\]
\[2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]
\[2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-}\] که همان نتیجهای است که در بهدست آمده است.
این معادلات به صورت زیر در میآیند:
\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-}\]
و \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12}\]
با در نظر گرفتن انتشار میتوانیم بنویسیم. به تغییر علامت بین و این کار توجه کنید، این به دلیل نحوه تعریف معادله موج توسط من است. \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1}\] و
\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1}\]
که در آن \[\zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n}\]
برای یک دستگاه با تماسهای پشتی بدون بازتاب:
\(\begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 &r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 &0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 &0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 &r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} &e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 &0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 &-t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 &0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 &0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & -t_{45} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
ضریب شکست و جذب
\[E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t})\] و چون شدت متناسب با مربع میدان الکتریکی است، ضریب جذب به صورت زیر میشود
\[e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}\]
\[\alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}\]