Transfer matrix 法の理論

界面の左側では電場は次式で与えられます

\[E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{efield1}\] また、 界面の右側では電場は \[E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{efield2}\] で与えられます

Maxwell 方程式により、平面波に対する電場と磁場の関係が与えられます。

\[\nabla \times E=-j\omega \mu H\] これは次のように簡略化されます: \[\frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{maxwel}\]

式 ?? を式 ??-?? に適用すると、界面左側の磁場 \[-j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\] と、右側の磁場 \[-j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z}.\] を得ることができます

整理すると、\[H^{y}_{1}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\]

\[H^{y}_{2}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z}\]

境界条件

次に電場および磁場の境界条件を適用します \[\mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0\]

\[\mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0\]

界面を z=0 に取ると、\[(E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{electric_boundary}\] および \[\frac{k_1}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})\frac{k_2}{\omega \mu}=0\] となります。波数ベクトルは \[k=\frac{2 \omega }{\lambda}=\frac{\omega n}{c}\] で与えられます。 したがって、磁場の境界条件は \[n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{mag_boundary}\] と書けます

順方向伝搬波

式 ?? を変形すると、

\[E_{1}^{-} = E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\] となります。これを 式 ?? に代入すると、\[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{+}+E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{+}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}+\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\]

逆方向伝搬波

式 ?? を変形すると、

\[E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

これを式 ?? に代入すると、\[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-}\]

\[2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-}\] これは で得られた結果と同じです。

これらの式は次のようになります：

\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-}\]

および \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12}\]

伝搬を考慮すると、次のように書けます。なお、 とこの記述で符号が異なることに注意してください。これは 波動方程式の定義の仕方によるものです。\[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1}\] および

\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1}\]

ここで \[\zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n}\]

反射しない背面コンタクトを持つデバイスの場合：

\(\begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 &r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 &0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 &0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 &r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} &e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 &0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 &-t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 &0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 &0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & -t_{45} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

屈折率と吸収

\[E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t})\] また、強度は電場の二乗に比例するため、吸収係数は 次のようになります

\[e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}\]

\[\alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}\]