NMOS-Kondensator-Tutorial (Teil B): Bandbiegung, Ladung und Oberflächenpotential

1. Einleitung

In Teil A haben wir uns auf die Einrichtung und Durchführung einer 2D-NMOS-Kondensatorsimulation konzentriert. In diesem Abschnitt wenden wir uns der physikalischen Interpretation der Ergebnisse der Simulation zu. Alle unten dargestellten Abbildungen wurden aus dem Verzeichnis snapshots der Simulationsausgabe generiert und beziehen sich auf unterschiedliche angelegte Gate-Spannungen.

Die zentrale Idee, die man dabei stets im Auge behalten sollte, ist, dass ein NMOS-Kondensator durch elektrostatische Prinzipien gesteuert wird: Die angelegte Gate-Spannung verteilt die Ladung innerhalb des Siliziums neu, was wiederum die Energiebänder beeinflusst und das Oberflächenpotenzial an der Si/SiO2-Grenzfläche bestimmt.

2. Elektrostatischs Potential und Oberflächenpotential

Wir beginnen die Analyse mit der Untersuchung des elektrostatischen Potenzials (phi.csv), das die grundlegende Größe ist, die durch die Poisson-Gleichung berechnet wird. Das Potenzial zeigt direkt, wie die angelegte Gate-Spannung zwischen dem SiO2-Oxid und dem Silizium verteilt ist, und bestimmt somit die elektrostatischen Randbedingungen, die alle nachfolgenden Bandbiegungen steuern.

In einem NMOS-Kondensator fällt die angelegte Spannung nicht gleichmäßig über die gesamte Struktur ab. Stattdessen wird die Spannungsverteilung zwischen dem Oxid und dem Silizium durch deren jeweilige relative Permittivitäten und Dicken bestimmt. Das Oxid mit seiner geringeren Permittivität erzeugt über einen dünnen Bereich ein starkes elektrisches Feld, während das Silizium durch die Bildung einer Raumladungszone reagiert, deren Ausdehnung von der angelegten Vorspannung abhängt. Diese Effekte sind direkt in den elektrostatischen Potentialprofilen sichtbar.

Das elektrostatische Potenzial wird mithilfe der erstellten Momentaufnahmen visualisiert. Nachdem die Simulation abgeschlossen ist, wechseln Sie zum Reiter „Ausgabe“ (siehe ??) und doppelklicken Sie auf das Verzeichnis snapshots, um das Fenster mit den Momentaufnahmen zu öffnen.

Innerhalb des Fensters „Schnappschüsse“ klicken Sie auf das blaue Plus-Symbol, um einen neuen Eintrag für die Darstellung hinzuzufügen. Verwenden Sie dann das Dropdown-Menü in der Spalte „Datei zur Darstellung“, um phi.csv auszuwählen. Jede Oberfläche entspricht dem elektrostatischen Potenzial bei einer anderen Gate-Spannung während der Spannungsänderung. Mit dem Schieberegler können Sie die Spannungen durchlaufen und untersuchen, wie sich das Potenzial in Abhängigkeit von der angelegten Gate-Vorspannung verändert.

Bei negativer Gate-Vorspannung ändert sich das Potential im Oxid scharf, bleibt aber im Silizium nahezu konstant. Dies deutet darauf hin, dass sich das p-dotierte Silizium leicht so umordnen kann, dass es das angelegte Feld abschirmt, wodurch tief im Substrat nur ein schwaches elektrisches Feld verbleibt. Wenn die Gate-Spannung positiv wird, kann das Silizium das elektrische Feld nicht mehr vollständig abschirmen. In der Nähe der Si/SiO2-Grenzfläche entwickelt sich ein ausgeprägtes Potentialgefälle, das eine Verarmungszone definiert, deren Breite mit der Gate-Vorspannung zunimmt. Dieses Oberflächenpotential ist die entscheidende Größe, die bestimmt, wie sich die Energiebänder verformen.

Im nächsten Abschnitt werden wir die Leitungs- und Valenzbandränder untersuchen. Diese Bandprofile führen keine neuen physikalischen Phänomene ein; sie sind eine direkte Folge der hier analysierten elektrostatischen Potentialverteilungen.

3. Leitungs- und Valenzbandbiegung

Im Folgenden untersuchen wir das Leitungsband (Ec.csv) und das Valenzband (Ev.csv) in Abhängigkeit von der Position für verschiedene angelegte Gate-Spannungen. Wenn diese Größen zusammen dargestellt werden, ermöglichen sie eine direkte Visualisierung der Bandbiegung im Silizium, die die unmittelbare Folge des in dem vorherigen Abschnitt analysierten elektrostatischen Potenzials ist.

Bevor die Diagramme interpretiert werden, ist es hilfreich, sich daran zu erinnern, wie die Bandränder definiert sind. In der hier verwendeten Drift-Diffusions-Formulierung stehen die Leitungs- und Valenzbandenergien in Beziehung zum elektrostatischen Potenzial phi durch:

Ec(x) = −χ − q φ(x)

und

Ev(x) = -χ - Eg - q φ(x)

wobei χ die Elektronenaffinität, Eg die Bandlücke und φ(x) das elektrostatische Potenzial ist. Da beide Bandränder linear von phi abhängen, äußert sich jede räumliche Veränderung des elektrostatischen Potenzials direkt in einer Krümmung der Leitungs- und Valenzbänder.

Die Bandränder werden mithilfe der erstellten Momentaufnahmen visualisiert. Öffnen Sie wie zuvor den Momentaufnahme-Viewer über die Registerkarte „Ausgabe“ und klicken Sie dann zweimal auf das blaue Plus-Symbol, um zwei Diagrammeinträge hinzuzufügen. Wählen Sie für den ersten Eintrag Ec.csv und für den zweiten Eintrag Ev.csv aus. Dadurch können die Leit- und Valenzbandränder zusammen in drei Dimensionen als Funktionen der Position und der angelegten Gate-Spannung dargestellt werden.

Bei negativer Gate-Vorspannung biegen sich sowohl das Leitungsband als auch das Valenzband in der Nähe der Si/SiO2-Grenzfläche nach oben. Da die Bandkanten dem elektrostatischen Potenzial folgen, spiegelt diese Aufwärtsbiegung eine Zunahme des Oberflächenpotenzials im Verhältnis zum Volumenpotenzial wider. Allein aus den Bandprofilen können wir ableiten, dass die Oberflächenregion in eine elektrostatische Konfiguration mit einem hohen Anteil an Löchern getrieben wird.

Wenn die Gate-Spannung positiv wird, krümmen sich die Energiebänder in der Nähe der Grenzfläche nach unten. Diese Änderung der Krümmung deutet auf eine Verringerung des Oberflächenpotenzials und die Bildung einer Verarmungszone im Silizium hin. In diesem Stadium ist der NMOS-Kondensator elektrostatisch verarmt, aber noch nicht invertiert. Um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen, sind keine Annahmen über die Trägerdichte erforderlich – die Krümmung der Energiebänder codiert direkt die zugrunde liegende elektrostatische Situation.

4. Kostenlose Trägerdichte

Wir machen die elektrostatische Reaktion des NMOS-Kondensators nun explizit, indem wir die Konzentrationen der freien Ladungsträger im Silizium betrachten. Die Abbildungen ?? und ?? zeigen die Konzentration der Löcher (Q_pfree.csv) und die Konzentration der Elektronen (Q_nfree.csv), die aus den Momentaufnahmen gewonnen wurden, die bei repräsentativen Gate-Spannungen erstellt wurden. In der Momentaufnahme-Anzeige wird die Farbzuordnung ausschließlich durch die Reihenfolge der Darstellung bestimmt: Die erste hinzugefügte Größe wird in Blau dargestellt, die zweite in Rot. In den hier gezeigten Abbildungen werden zuerst die Elektronen (Q_nfree.csv) dargestellt und erscheinen daher in Blau, während die Löcher (Q_pfree.csv) als zweites dargestellt werden und in Rot erscheinen. Wenn diese Dateien in umgekehrter Reihenfolge hinzugefügt werden, werden die Farben vertauscht.

Bei negativer Gate-Vorspannung (Abbildung ??) entspricht die rote Fläche der Konzentration an Löchern. An der Si/SiO2-Grenzfläche ist ein deutlicher Anstieg zu beobachten, was auf eine elektrostatische Anreicherung von Löchern hindeutet. Die blaue Fläche (Elektronendichte) bleibt im gesamten Silizium vernachlässigbar, was mit einem p-dotierten Substrat unter negativer Vorspannung übereinstimmt. Wenn die Gate-Vorspannung in Richtung Null erhöht wird (Abbildung ??), nimmt die Größe der roten Fläche in der Nähe der Grenzfläche ab. Löcher werden von der Oberfläche abgestoßen, und es bildet sich ein Bereich mit reduzierter beweglicher Ladung. Dies kennzeichnet den Beginn der Verarmung, bei der die Raumladung zunehmend von festen, ionisierten Akzeptoren und nicht von freien Ladungsträgern dominiert wird.

Bei einer positiven Gate-Vorspannung (Abbildung ??) wird die Konzentration an Löchern (rot) in der Nähe der Grenzfläche stark reduziert, wodurch eine deutliche Verarmungszone entsteht. Die Konzentration an Elektronen (blau) bleibt über den gesamten Bereich dieser Vorspannung niedrig, was zeigt, dass das Bauelement noch nicht in einen Zustand starker Inversion übergegangen ist.

Zusammenfassend liefern diese Diagramme, die die Trägerdichte darstellen, einen direkten und quantitativen Beweis für das zuvor aus den Potential- und Bandranddiagrammen abgeleitete elektrostatische Modell. Sie zeigen deutlich, wie Anreicherung und Verarmung durch die Umverteilung der beweglichen Ladung im Silizium entstehen. Der Übergang zu einer starken Inversion – bei der Elektronen die Oberflächenladung dominieren – wird für spätere Übungen aufgeschoben.

5. Fermi-Niveaus und Bandbelegung

Wir fassen nun die Energiebänder und die Trägerstatistiken zusammen, indem wir die Leitungsbandkante (Ec.csv), die Valenzbandkante (Ev.csv) sowie die quasi-Fermi-Niveaus für Elektronen und Löcher (Fn.csv und Fp.csv) aus den erzeugten Momentaufnahmen grafisch darstellen. Zusammen beschreiben diese Größen nicht nur die elektrostatischen Eigenschaften des NMOS-Kondensators, sondern auch, wie die Träger die verfügbaren Zustände unter angelegter Spannung besetzen.

Um das in ?? dargestellte Diagramm zu erstellen, öffnen Sie die Registerkarte „Ausgabe“, doppelklicken Sie auf das Verzeichnis snapshots und verwenden Sie das blaue Plus-Symbol, um vier Diagrammelemente hinzuzufügen. Wählen Sie diese in folgender Reihenfolge aus:

• Fn.csv – quasi-Fermi-Niveau für Elektronen
• Fp.csv – quasi-Fermi-Niveau
• Ec.csv – Leitungsbandkante
• Ev.csv – äußerer Rand des Valenzbandes

Die Ansicht für Momentaufnahmen weist den einzelnen Werten Farben basierend auf der Reihenfolge zu, in der sie dargestellt werden: Der erste Wert ist blau, der zweite rot, und die nachfolgenden Werte werden entsprechend dargestellt. In der hier gezeigten Abbildung erscheinen die quasi-Fermi-Niveaus oberhalb der Bänder, wobei Elektronen und Löcher durch die Farben deutlich voneinander abgegrenzt werden. Wenn Sie die Reihenfolge ändern, in der die Dateien hinzugefügt werden, ändern sich die Farben entsprechend.

Verwenden Sie den Schieberegler am unteren Rand des Fensters mit den Momentaufnahmen, um die Spannungsänderung zu durchlaufen. So können Sie kontinuierlich beobachten, wie sich die Bandkanten und Quasi-Fermi-Niveaus in Abhängigkeit von der angelegten Gate-Vorspannung entwickeln.

Physikalisch gesehen entspricht dieses Verhalten genau dem, was man von einem NMOS-Kondensator erwarten würde. Es gibt keinen Pfad zwischen Source und Drain, und kein Gleichstrom fließt durch die Struktur. Infolgedessen bleiben die quasi-Fermi-Niveaus für Elektronen und Löcher sehr nahe beieinander und nahezu konstant über das gesamte Bauelement. Eine eventuell auftretende geringfügige Abweichung ist ein numerisches Artefakt, das durch die endliche Schrittweite der angelegten Spannung entsteht, und stellt keine anhaltende Ladungsträgerbewegung dar.

Die zuvor beobachtete Krümmung des Energiebandes wird daher ausschließlich durch elektrostatische Effekte verursacht: die Gate-Spannung verändert das elektrostatische Potenzial, wodurch sich die Bandkanten entsprechend verschieben.

Ec(x) = −q φ(x) − χ und Ev(x) = Ec(x) − Eg

wobei φ das elektrostatische Potential, χ die Elektronenaffinität und Eg die Bandlücke ist. Die quasi-Fermi-Niveaus geben lediglich an, wie diese Bänder lokal besetzt sind; in einem rein elektrostatischen MOS-Kondensator divergieren sie nicht.