Modelos térmicos
OghmaNano admite simulación electrotérmica con varios niveles de detalle físico, que van desde una aproximación simple de temperatura fija hasta auto-calentamiento totalmente acoplado y (en regímenes excepcionales) transporte hidrodinámico de balance de energía. El propósito de estas opciones es pragmático: muchos comportamientos de los dispositivos bajo polarización no pueden explicarse utilizando un modelo puramente eléctrico de temperatura fija una vez que la disipación de potencia se vuelve significativa.
Hay tres opciones para simulación térmica en OghmaNano: (1) una temperatura constante a través del dispositivo (300 K por defecto); (2) un solucionador térmico de red que resuelve la ecuación de calor en todo el dispositivo incluyendo auto-calentamiento; y (3) un solucionador hidrodinámico (balance de energía) que no supone que las temperaturas de electrones, huecos y red sean iguales. La opción de temperatura constante se recomienda para la mayoría de simulaciones de baja potencia. El modelo térmico de red se utiliza cuando se espera que el auto-calentamiento altere curvas JV, perfiles de recombinación o la estabilidad del dispositivo. El modelo hidrodinámico está destinado a casos especializados tales como fuerte intercambio energético en heterouniones o campos extremos donde los portadores pueden no relajarse localmente a la temperatura de la red.
La configuración térmica se expone a través de la cinta Thermal, que proporciona acceso a: habilitar/deshabilitar el modelo térmico, seleccionar términos de generación de calor (transporte/Joule/Peltier, recombinación, absorción óptica, pérdidas parásitas), establecer condiciones de contorno térmicas, elegir ajustes de malla térmica y editar parámetros térmicos del material. Estos controles se muestran en ??.
Cómo se acopla el solucionador electrotérmico
La simulación electrotérmica es inherentemente un problema multifísico acoplado. La solución eléctrica determina la distribución espacial de corriente, recombinación y disipación de potencia; esas cantidades se convierten en fuentes de calor en la ecuación de difusión térmica; y el campo de temperatura resultante realimenta el transporte, la recombinación y las propiedades del material. En OghmaNano este acoplamiento se maneja mediante un bucle de iteración exterior: en un punto de polarización dado, el solucionador eléctrico se ejecuta usando la estimación actual de la temperatura, se evalúan los términos de generación de calor, el solucionador térmico actualiza el campo de temperatura y el proceso se repite hasta que tanto los residuos eléctricos como los residuos térmicos cumplen los criterios de convergencia.
Esta es la razón práctica por la que las ejecuciones electrotérmicas son más lentas que las de temperatura fija: en cada paso de voltaje la resolución eléctrica de Newton puede ejecutarse múltiples veces, intercalada con resoluciones térmicas, hasta que la solución conjunta se estabiliza. El objetivo no es “una gráfica de temperatura”; el objetivo es una JV y un estado interno autoconsistentes donde la disipación y la extracción de calor estén equilibradas.
Por qué los problemas térmicos y eléctricos viven en distintas escalas de longitud
Una característica estructural clave del modelado electrotérmico es la falta de correspondencia de escalas físicas de longitud. El transporte eléctrico en dispositivos de película delgada suele estar dominado por estructuras de nanómetros a micrómetros: capas activas, regiones de unión, zonas de inyección y perfiles de recombinación estrechos. La difusión térmica, por el contrario, depende de toda la trayectoria de flujo de calor: contactos, sustratos, encapsulantes, montajes y disipadores que a menudo son de escala milimétrica a centimétrica. Intentar mallar un disipador a escala centimétrica con resolución eléctrica de película delgada es computacionalmente inútil.
Por esto OghmaNano trata la configuración térmica como un objeto de modelado de primera clase y no como una ocurrencia tardía: el problema térmico no es solo “más física”, a menudo es un dominio diferente. La malla térmica puede extenderse más allá de la región eléctricamente activa, y se utilizan condiciones de contorno para representar extracción efectiva de calor sin mallar explícitamente disipadores macroscópicos.
Las condiciones de contorno determinan en gran medida cuán caliente se vuelve el dispositivo
Las condiciones de contorno térmicas no solo ordenan las matemáticas: definen la ruta de escape del calor. Un dispositivo con mala extracción térmica puede alcanzar altas temperaturas rápidamente una vez que aumenta la disipación de potencia; un dispositivo sujeto a un disipador efectivo puede permanecer cerca del ambiente incluso bajo corriente significativa. En estado estacionario, el incremento de temperatura se fija por el equilibrio entre “calor generado” y “calor extraído”, y las condiciones de contorno especifican en gran medida lo segundo.
Una analogía física útil es una bañera. El grifo corresponde a la generación de calor; el desagüe corresponde a la extracción de calor. Si el desagüe está abierto, el nivel de agua se mantiene bajo. Si está parcialmente obstruido, el nivel de agua sube. Si está obstruido y el grifo sigue abierto, la bañera desborda. En el problema térmico, el “nivel de agua” corresponde al campo de temperatura: si el calor no puede salir eficazmente, la temperatura aumenta hasta que los gradientes térmicos y el flujo de contorno pueden evacuar la potencia generada.
En el editor de condiciones de contorno, “Neumann (==0)” corresponde a una condición de flujo normal de calor nulo:
\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]
Físicamente, esta es una cara aislante: se indica al solucionador que el calor no fluye a través de esa superficie. Esto no implica que el dispositivo esté térmicamente aislado en su conjunto; implica que esa cara concreta no forma parte de la ruta prevista de eliminación de calor. La extracción térmica se proporciona entonces mediante el contorno (o contornos) configurado como disipador u otras condiciones de transferencia de calor.
Parámetros térmicos: conductividad y tiempos de relajación energética de portadores
Además de las condiciones de contorno, la otra entrada dominante para cualquier predicción térmica es el conjunto de parámetros térmicos del material, particularmente la conductividad térmica. Estos se editan por capa mediante el control Parámetros térmicos (a menudo mostrado como \(k\) o \(\kappa\)) en la cinta Thermal (??), que abre el editor de parámetros térmicos mostrado en ??.
El parámetro clave es la conductividad térmica, que determina con qué facilidad se difunde el calor a través de cada capa y, por tanto, cuán fuertemente se desarrollan gradientes de temperatura bajo polarización. El editor también expone el tiempo de relajación de electrones y el tiempo de relajación de huecos. Estos parámetros de tiempo de relajación solo son necesarios cuando se utiliza el modelo hidrodinámico (balance de energía), donde los portadores pueden tener temperaturas distintas de la red. En el modelo térmico de red estándar no se utilizan.
Discretización de temperatura y tablas precalculadas
La configuración de la malla térmica también incluye un intervalo de temperatura y un número de puntos de temperatura. Estos no son puntos de malla espaciales; forman una rejilla discreta de temperatura utilizada para tablas dependientes de la temperatura precalculadas. Muchas magnitudes internas del modelo son costosas de evaluar repetidamente como funciones de la temperatura (y a menudo del cuasi-nivel de Fermi), por lo que OghmaNano las precalcula sobre una rejilla finita de temperatura e interpola durante la resolución acoplada. Esto mejora la estabilidad y reduce el coste computacional de evaluar repetidamente estadísticas dependientes de la temperatura dentro del bucle de acoplamiento electrotérmico.
En la práctica, esto significa que el intervalo de temperatura debe abarcar con holgura las temperaturas esperadas durante la simulación. Si un dispositivo se auto-calienta más allá del intervalo configurado, la interpolación puede convertirse en extrapolación o saturación (según la configuración), lo cual no es deseable para un análisis cuantitativo del auto-calentamiento.
Temperaturas múltiples: red, electrones y huecos
También es importante reconocer que el modelado electrotérmico implica naturalmente múltiples temperaturas. OghmaNano distingue la temperatura de red \(T_L\), una temperatura electrónica \(T_e\) y una temperatura de huecos \(T_h\). En el modelo térmico de red estándar, se supone que \(T_e\) y \(T_h\) son iguales a \(T_L\) (los portadores están localmente termalizados). En el modelo hidrodinámico de balance de energía, \(T_e\) y \(T_h\) pueden desviarse de \(T_L\), reflejando transporte energético no en equilibrio de los portadores.
La opción hidrodinámica, por tanto, no es “un valor predeterminado más preciso”; es un modelo para regímenes excepcionales donde la termalización local de portadores no es una buena aproximación. Para la mayoría de simulaciones de dispositivos orgánicos y de película delgada, el modelo térmico de red captura la realimentación térmica dominante a un coste computacional razonable.
Modelo térmico de red
Al resolver solo la ecuación de calor de la red, la transferencia y generación de calor vienen dadas por
\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]
donde el calentamiento Joule (\(H_j\)) viene dado por
\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]
En la práctica, este término de calentamiento relacionado con el transporte puede incluir tanto calentamiento resistivo convencional (Joule) como calentamiento/enfriamiento Peltier interfacial cuando los bordes de banda varían fuertemente en el espacio. El signo y la localización de este término pueden por tanto contener información física sobre dónde se deposita (o se extrae) energía de la red mediante transporte de portadores.
el calentamiento por recombinación (\(H_r\)) viene dado por,
\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]
el calentamiento por absorción óptica viene dado por,
\[H_{optical}\]
y el calentamiento debido a la resistencia de derivación viene dado por
\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]
El espesor del dispositivo viene dado por d. Nótese que el calentamiento por derivación solo está ahí para conservar la conservación de energía. En la práctica, la disipación parásita de serie/derivación a menudo no está localizada espacialmente de un modo microscópico conocido, por lo que se trata como una contribución térmica efectiva requerida para cerrar el balance energético del dispositivo simulado.
Balance de energía - modelo de transporte hidrodinámico
Si activa el modelo térmico eléctrico y de huecos, entonces el término fuente de calor será reemplazado por
\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]
y la ecuación de transporte de energía para electrones
\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]
y para huecos,
\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]
serán resueltas.
Las ecuaciones de balance de energía también se resolverán para electrones,
\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]
y para huecos
\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]
La conductividad térmica del gas electrónico viene dada por
\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]
y para huecos como,
\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]
Este marco hidrodinámico introduce flujos explícitos de energía de portadores y relajación portador-red mediante \(\tau_e\) y \(\tau_h\). Por tanto, es sustancialmente más costoso que el modelo térmico de red y debe utilizarse solo cuando la física lo exija. Para la mayoría de estudios electrotérmicos de dispositivos, la ecuación de calor de la red con condiciones de contorno y conductividades de capa bien elegidas captura el bucle dominante de realimentación por auto-calentamiento.
Expresiones completas de corriente bajo condiciones no isotermas
Las ecuaciones completas de transporte de deriva–difusión dependientes térmicamente tal como se derivan de la BTE vienen dadas por
\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]
\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]
donde \(\bar{W}\) es la energía cinética media de los portadores libres. Si se supone que la energía media es \(3/2kT\), estas expresiones retornan a las ecuaciones estándar de deriva–difusión. Nótese que la forma completa de estas ecuaciones es necesaria cuando no se utilizan estadísticas MB.