熱モデル

OghmaNano は、単純な 固定温度近似から、完全結合の自己発熱、さらに（例外的なレジームでは）流体力学的 エネルギーバランス輸送まで、複数レベルの物理的詳細度での電気熱シミュレーションをサポートしています。これらのオプションの目的は実用的です。電力散逸が顕著になると、多くのバイアス下デバイス挙動は 純粋に電気的で固定温度のモデルだけでは説明できなくなります。

OghmaNano には熱シミュレーションのための 3 つのオプションがあります: (1) デバイス全体での 一定温度（デフォルトでは 300 K）; (2) 自己発熱を含めてデバイス全体で熱方程式を解く 格子熱ソルバー; および (3) 電子、正孔、および格子温度が等しいと仮定しない 流体力学的（エネルギーバランス） ソルバーです。 一定温度オプションは、ほとんどの低電力シミュレーションに推奨されます。格子熱モデルは、自己発熱が JV 曲線、再結合プロファイル、またはデバイス安定性を変化させると予想される場合に使用します。流体力学モデルは、 強いヘテロ接合エネルギー交換や、キャリアが局所的に格子温度へ緩和しない可能性のある極端な高電場などの特殊なケースを対象としています。

熱設定は Thermal ribbon を通じて提供され、そこから、熱モデルの有効化/無効化、 発熱項（輸送/ジュール/ペルチェ、再結合、光吸収、寄生損失）の選択、 熱境界条件の設定、熱メッシュ設定の選択、および材料熱パラメータの編集にアクセスできます。 これらの制御は ?? に示されています。

電気熱ソルバーがどのように結合されるか

電気熱シミュレーションは本質的に 結合多物理問題 です。電気解は電流、再結合、および電力散逸の空間分布を決定し、 それらの量が熱拡散方程式の熱源になります。 そして結果として得られる温度場が輸送、再結合、および材料特性へフィードバックします。OghmaNano ではこの結合は 外側反復ループ によって処理されます。あるバイアス点において、電気ソルバーは現在の温度推定値を使って実行され、 発熱項が評価され、熱ソルバーが温度場を更新し、この過程が電気残差と 熱残差の両方が収束条件を満たすまで繰り返されます。

これが、固定温度計算よりも電気熱計算が遅い実際的な理由です。各電圧ステップで、電気 Newton 解法が 複数回実行され、その間に熱解法が挟まれ、結合解が安定するまで続きます。目的は単なる「温度プロット」ではなく、 散逸と熱除去がつり合った 自己無撞着な JV と内部状態を得ることです。

なぜ熱問題と電気問題は異なる長さスケールに存在するのか

電気熱モデリングの主要な構造的特徴は、物理的長さスケールの不一致です。薄膜デバイスの電気輸送は通常、 ナノメートルからマイクロメートルの構造によって支配されます。すなわち、活性層、接合領域、注入領域、 および狭い再結合プロファイルです。対照的に、熱拡散は熱流経路全体、すなわち しばしばミリメートルからセンチメートルスケールに及ぶコンタクト、基板、封止材、マウント、およびヒートシンクに依存します。 センチメートルスケールのヒートシンクを薄膜電気分解能でメッシュ化しようとするのは、計算上意味がありません。

これが、OghmaNano が熱設定を後付けではなく第一級のモデリング対象として扱う理由です。熱問題は単なる「追加の物理」ではなく、 しばしば異なる領域だからです。熱メッシュは電気的に活性な領域を超えて広がることができ、 巨視的なヒートシンクを明示的にメッシュ化することなく、有効な熱除去を表すために境界条件が使用されます。

境界条件はデバイスがどれだけ熱くなるかを大きく決定する

熱境界条件は単に数学を整えるだけではなく、熱の逃げ道を定義します。熱除去が悪いデバイスは、電力散逸が増加すると 急速に高温に達することがあります。一方、有効なヒートシンクに固定されたデバイスは、大きな電流下でも 周囲温度に近いままでいられます。定常状態では、温度上昇は「発生した熱」と「除去された熱」のつり合いで決まり、 境界条件が後者を主に規定します。

有用な物理的類推は浴槽です。蛇口は発熱に対応し、排水口は熱除去に対応します。排水口が開いていれば、水位は低いままです。 一部が詰まっていれば、水位は上昇します。詰まった状態で蛇口を開ければ、浴槽はあふれます。熱問題において「水位」は 温度場に対応します。熱が十分に逃げられない場合、温度は、熱勾配と境界フラックスが発生電力を運び去れるようになるまで上昇します。

境界条件エディタにおいて、“Neumann (==0)” は法線方向熱流束がゼロの境界に対応します:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

物理的には、これは断熱面です。つまり、その表面を通じて熱が流れないようソルバーへ指示していることになります。これは デバイス全体が熱的に孤立していることを意味するわけではありません。 それは、その特定の面が意図された熱除去経路の一部ではないことを意味します。その後の熱除去は、 ヒートシンクまたは他の熱伝達条件として設定された境界によって提供されます。

熱パラメータ: 熱伝導率とキャリアエネルギー緩和時間

境界条件に加えて、熱予測へのもう一つの支配的入力は、熱材料パラメータの組、特に熱伝導率です。 これらは Thermal ribbon の Thermal parameters 制御 （しばしば \(k\) または \(\kappa\) と表示される） （??）を通じて層ごとに編集され、 これにより ?? に示す熱パラメータエディタが開きます。

主要パラメータは 熱伝導率 であり、これは熱が各層をどれだけ容易に拡散するか、したがって バイアス下でどれだけ強い温度勾配が形成されるかを決定します。エディタでは 電子緩和時間 と 正孔緩和時間 も表示されます。 これらの緩和時間パラメータは、キャリア温度が格子温度と異なり得る流体力学的（エネルギーバランス）モデルを使用する場合にのみ必要です。 標準的な格子熱モデルでは使用されません。

温度離散化と事前計算テーブル

熱メッシュ設定には、温度範囲と温度点数も含まれます。これらは空間メッシュ点ではなく、 事前計算された温度依存テーブル に使用される離散温度グリッドを形成します。多くの内部モデル量は、 温度（そして多くの場合準フェルミ準位）の関数として繰り返し評価するには高コストです。そのため OghmaNano は それらを有限温度グリッド上で事前計算し、結合解法中に補間します。 これにより安定性が向上し、電気熱結合ループ内で温度依存統計を繰り返し評価する計算コストが削減されます。

実際には、温度範囲はシミュレーション中に予想される温度を十分に含むように設定すべきです。デバイスが自己発熱によって設定された 範囲を超えると、補間は外挿またはクランプ（設定による）になる可能性があり、 これは定量的な自己発熱解析には望ましくありません。

複数の温度: 格子、電子、および正孔

電気熱モデリングは自然に 複数の温度 を含むことも重要です。 OghmaNano は格子温度 \(T_L\)、電子温度 \(T_e\)、および正孔温度 \(T_h\) を区別します。 標準的な格子熱モデルでは、\(T_e\) と \(T_h\) は \(T_L\) に等しいと仮定されます（キャリアは局所的に熱平衡化している）。 流体力学的エネルギーバランスモデルでは、\(T_e\) および \(T_h\) は \(T_L\) から逸脱しうるため、 非平衡キャリアエネルギー輸送を反映します。

したがって、流体力学オプションは「より正確なデフォルト」ではなく、局所キャリア熱平衡化が良い近似ではない例外的レジームのためのモデルです。 ほとんどの薄膜および有機デバイスシミュレーションでは、格子熱モデルが妥当な計算コストで支配的な熱フィードバックを捉えます。

格子熱モデル

格子熱方程式のみを解く場合、熱輸送と発熱は次式で与えられます

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

ここでジュール加熱（\(H_j\)）は次で与えられます

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

実際には、この輸送関連の発熱項には通常の抵抗性（ジュール）加熱と、 バンド端が空間的に強く変化する場合の界面ペルチェ加熱/冷却の両方が含まれることがあります。 したがって、この項の符号と局在は、キャリア輸送によって格子へエネルギーが 供給されている（あるいは格子から取り出されている）場所に関する物理情報を持ち得ます。

再結合加熱（\(H_r\)）は次で与えられます,

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

光吸収加熱は次で与えられます,

\[H_{optical}\]

そしてシャント抵抗による加熱は次で与えられます

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

デバイスの厚さは d で与えられます。なお、シャント加熱はエネルギー保存を満たすためにのみ含まれています。 実際には、寄生直列/シャント散逸はしばしば既知の微視的空間局在を持たないため、 シミュレーションデバイスのエネルギーバランスを閉じるために必要な有効熱寄与として扱われます。

エネルギーバランス - 流体力学的輸送モデル

電子および正孔の熱モデルを有効にすると、熱源項は次に置き換えられます

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

そして電子に対するエネルギー輸送方程式

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

および正孔に対する

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

が解かれます。

エネルギーバランス方程式は電子に対しても解かれます,

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

そして正孔に対しては

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

電子気体の熱伝導率は次で与えられます

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

そして正孔については次のようになります,

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

この流体力学的枠組みは、明示的なキャリアエネルギーフラックスと、\(\tau_e\) および \(\tau_h\) によるキャリア-格子緩和を導入します。 したがって、格子熱モデルよりもかなり高コストであり、物理がそれを要求する場合にのみ使用すべきです。 ほとんどの電気熱デバイス研究では、適切に選ばれた境界条件と層熱伝導率を持つ格子熱方程式が、 支配的な自己発熱フィードバックループを捉えます。

非等温条件下での完全電流式

BTE から導出される完全な熱依存ドリフト拡散輸送方程式は次で与えられます

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

ここで \(\bar{W}\) は自由キャリアの平均運動エネルギーです。平均エネルギーが \(3/2kT\) と仮定される場合、これらの式は標準的なドリフト–拡散方程式へ戻ります。なお、 MB 統計を使用しない場合には、これらの方程式の完全形が必要です。