열 모델

OghmaNano는 여러 수준의 물리적 상세도를 갖는 전기-열 시뮬레이션을 지원하며, 단순한 고정 온도 근사부터 완전히 결합된 자기 발열 모델, 그리고 (특수한 조건에서) 유체역학적 에너지-평형 수송 모델까지 포함합니다. 이러한 옵션의 목적은 실용적입니다: 전력 소모가 커지는 경우 많은 소자 동작은 순수한 전기적 고정 온도 모델만으로 설명될 수 없습니다.

OghmaNano에는 세 가지 열 시뮬레이션 옵션이 있습니다: (1) 소자 전체에 일정한 온도 (기본값 300 K); (2) 자기 발열을 포함하여 소자 전체에서 열 방정식을 푸는 격자 열 해석기; (3) 전자, 정공, 격자 온도가 서로 같다고 가정하지 않는 유체역학적(에너지-평형) 해석기입니다. 일정 온도 옵션은 대부분의 저전력 시뮬레이션에 권장됩니다. 격자 열 모델은 자기 발열이 JV 곡선, 재결합 프로파일, 또는 소자 안정성에 영향을 줄 것으로 예상되는 경우 사용됩니다. 유체역학적 모델은 강한 헤테로접합 에너지 교환이나 매우 높은 전계에서 캐리어가 국소적으로 격자 온도로 완전히 이완되지 않는 특수한 경우를 위한 것입니다.

열 구성은 Thermal 리본을 통해 제공됩니다. 여기에서는 열 모델 활성화/비활성화, 열 생성 항 선택(수송/Joule/Peltier, 재결합, 광 흡수, 기생 손실), 열 경계 조건 설정, 열 메쉬 선택, 그리고 재료 열 파라미터 편집에 접근할 수 있습니다. 이러한 제어는 ??에 표시되어 있습니다.

전기-열 해석기의 결합 방식

전기-열 시뮬레이션은 본질적으로 결합된 다중 물리 문제입니다. 전기 해는 전류, 재결합, 전력 소모의 공간 분포를 결정하고, 이러한 값은 열 확산 방정식의 열원이 됩니다. 그 결과 생성된 온도장은 다시 수송, 재결합, 재료 특성에 영향을 줍니다. OghmaNano에서는 이러한 결합을 외부 반복 루프로 처리합니다: 특정 바이어스 점에서 현재 온도 추정값을 사용하여 전기 해석기를 실행하고, 열 생성 항을 계산한 뒤 열 해석기가 온도장을 업데이트합니다. 이후 전기 잔차와 열 잔차가 모두 수렴할 때까지 이 과정이 반복됩니다.

이것이 전기-열 계산이 고정 온도 계산보다 느린 실질적인 이유입니다. 각 전압 단계에서 전기 Newton 해석이 여러 번 실행될 수 있으며, 그 사이에 열 해석이 수행되어 결합 해가 안정화됩니다. 목표는 단순히 “온도 분포”를 얻는 것이 아니라, 전력 소모와 열 방출이 균형을 이루는 자기 일관적 JV와 내부 상태를 얻는 것입니다.

열 문제와 전기 문제가 서로 다른 길이 스케일에 존재하는 이유

전기-열 모델링의 중요한 구조적 특징은 물리적 길이 스케일의 불일치입니다. 박막 소자에서 전기 수송은 일반적으로 나노미터에서 마이크로미터 범위의 구조에 의해 지배됩니다: 활성층, 접합 영역, 주입 영역, 좁은 재결합 프로파일 등이 이에 해당합니다. 반면 열 확산은 전체 열 흐름 경로에 의존합니다: 접촉, 기판, 봉지, 마운트, 히트싱크 등은 종종 밀리미터에서 센티미터 규모입니다. 박막 전기 해상도로 센티미터 크기의 히트싱크를 메쉬화하려는 것은 계산적으로 비효율적입니다.

이러한 이유로 OghmaNano에서는 열 구성을 단순한 부가 기능이 아니라 독립적인 모델링 객체로 취급합니다. 열 문제는 단순히 “더 많은 물리”가 아니라 종종 다른 계산 영역입니다. 열 메쉬는 전기적으로 활성인 영역을 넘어 확장될 수 있으며, 경계 조건을 사용하여 거시적 히트싱크를 명시적으로 메쉬화하지 않고도 효과적인 열 추출을 표현할 수 있습니다.

경계 조건은 소자의 온도를 크게 결정합니다

열 경계 조건은 단순히 수학적 정리를 위한 것이 아닙니다. 이는 열이 빠져나가는 경로를 정의합니다. 열 방출이 좋지 않은 소자는 전력 소모가 증가하면 빠르게 높은 온도에 도달할 수 있으며, 효과적인 히트싱크에 고정된 소자는 상당한 전류가 흐르는 경우에도 주변 온도에 가까운 상태를 유지할 수 있습니다. 정상 상태에서는 온도 상승이 “생성된 열”과 “제거된 열”의 균형에 의해 결정되며, 경계 조건이 주로 후자를 결정합니다.

물리적 비유로는 욕조를 생각할 수 있습니다. 수도꼭지는 열 생성에 해당하고, 배수구는 열 제거에 해당합니다. 배수구가 열려 있으면 수위는 낮게 유지됩니다. 부분적으로 막혀 있으면 수위가 상승합니다. 막혀 있고 수도가 계속 흐르면 욕조는 넘칩니다. 열 문제에서 “수위”는 온도장에 해당합니다. 열이 효과적으로 빠져나가지 못하면 온도는 열 구배와 경계 플럭스가 생성된 전력을 제거할 수 있을 때까지 상승합니다.

경계 조건 편집기에서 “Neumann (==0)”은 법선 방향 열 플럭스가 0인 경계를 의미합니다:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

물리적으로 이는 절연 면을 의미합니다. 즉 해당 표면을 통해 열이 흐르지 않도록 해석기에 지시합니다. 이는 소자가 전체적으로 열적으로 고립되어 있다는 뜻이 아니라, 해당 면이 의도된 열 제거 경로가 아니라는 의미입니다. 열 제거는 히트싱크 또는 기타 열 전달 조건으로 설정된 경계를 통해 이루어집니다.

열 파라미터: 열전도도와 캐리어 에너지 이완 시간

경계 조건 외에도 열 예측에서 중요한 입력은 열 재료 파라미터, 특히 열전도도입니다. 이러한 값은 Thermal 리본의 Thermal parameters 제어 (종종 \(k\) 또는 \(\kappa\)로 표시됨) (??)를 통해 층별로 편집할 수 있으며, 이는 ??에 표시된 열 파라미터 편집기를 엽니다.

핵심 파라미터는 열전도도로, 각 층을 통해 열이 얼마나 쉽게 확산되는지 결정하며 바이어스 조건에서 온도 구배 형성에 직접적인 영향을 줍니다. 편집기에는 전자 이완 시간과 정공 이완 시간도 표시됩니다. 이러한 이완 시간 파라미터는 캐리어 온도가 격자 온도와 다를 수 있는 유체역학적(에너지-평형) 모델을 사용할 때만 필요합니다. 표준 격자 열 모델에서는 사용되지 않습니다.

온도 이산화와 사전 계산된 테이블

Thermal 메쉬 구성에는 온도 범위와 온도 포인트 수도 포함됩니다. 이 값들은 공간 메쉬 포인트가 아니라 온도 의존 사전 계산 테이블에 사용되는 이산 온도 그리드를 형성합니다. 많은 내부 모델 양은 온도(그리고 종종 준 페르미 준위)의 함수로 반복적으로 계산하는 비용이 높기 때문에, OghmaNano는 유한한 온도 그리드에서 이를 사전 계산한 뒤 결합 해 과정에서 보간을 수행합니다. 이는 전기-열 결합 루프에서 온도 의존 통계를 반복적으로 계산하는 계산 비용을 줄이고 안정성을 향상시킵니다.

실질적으로 이는 시뮬레이션 중 예상되는 온도 범위를 충분히 포함하도록 온도 범위를 설정해야 함을 의미합니다. 소자가 설정된 범위를 넘어 자기 발열하면 보간이 외삽 또는 클램핑으로 변할 수 있으며 이는 정량적 자기 발열 분석에 바람직하지 않습니다.

여러 온도: 격자, 전자, 정공

전기-열 모델링에는 자연스럽게 여러 온도가 포함됩니다. OghmaNano는 격자 온도 \(T_L\), 전자 온도 \(T_e\), 정공 온도 \(T_h\)를 구분합니다. 표준 격자 열 모델에서는 \(T_e\)와 \(T_h\)가 \(T_L\)과 동일하다고 가정합니다 (캐리어는 국소적으로 열평형 상태). 유체역학적 에너지-평형 모델에서는 \(T_e\)와 \(T_h\)가 \(T_L\)과 다를 수 있으며, 이는 비평형 캐리어 에너지 수송을 반영합니다.

따라서 유체역학적 옵션은 “더 정확한 기본 모델”이 아니라 국소 캐리어 열평형 가정이 성립하지 않는 특수한 조건을 위한 모델입니다. 대부분의 박막 및 유기 소자 시뮬레이션에서는 격자 열 모델이 합리적인 계산 비용으로 주요 열 피드백을 잘 설명합니다.

격자 열 모델

격자 열 방정식만을 풀 경우 열 전달과 열 생성은 다음과 같이 주어집니다

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

여기서 Joule 가열 (\(H_j\))은

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

실제로 이 수송 관련 가열 항은 일반적인 저항성(Joule) 가열과 밴드 에지가 공간적으로 크게 변할 때 나타나는 계면 Peltier 가열/냉각을 모두 포함할 수 있습니다. 따라서 이 항의 부호와 공간적 위치는 캐리어 수송에 의해 격자에 에너지가 어디에서 전달되거나 제거되는지를 나타낼 수 있습니다.

재결합 가열 (\(H_r\))은 다음과 같습니다

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

광 흡수 가열은 다음과 같습니다

\[H_{optical}\]

션트 저항에 의한 가열은 다음과 같습니다

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

여기서 d는 소자의 두께입니다. 션트 가열은 에너지 보존을 유지하기 위해 포함된 항입니다. 실제로 기생 직렬/션트 손실은 종종 미시적으로 공간 분포가 명확하지 않기 때문에, 시뮬레이션된 소자의 에너지 균형을 맞추기 위한 유효 열 기여로 취급됩니다.

에너지 평형 - 유체역학적 수송 모델

전자 및 정공 열 모델을 활성화하면 열원 항은 다음으로 대체됩니다

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

그리고 전자의 에너지 수송 방정식은

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

정공의 경우

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

가 풀립니다.

전자의 에너지 평형 방정식은 다음과 같습니다

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

그리고 정공의 경우

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

전자 기체의 열전도도는 다음과 같습니다

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

정공의 경우

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

이 유체역학적 프레임워크는 명시적인 캐리어 에너지 플럭스와 \(\tau_e\), \(\tau_h\)를 통한 캐리어-격자 이완을 도입합니다. 따라서 격자 열 모델보다 계산 비용이 훨씬 크며, 필요한 물리가 있을 때만 사용해야 합니다. 대부분의 전기-열 소자 연구에서는 적절한 경계 조건과 층 열전도도를 사용한 격자 열 방정식만으로도 주요 자기 발열 피드백을 잘 설명할 수 있습니다.

비등온 조건에서의 전체 전류 식

BTE에서 유도된 열 의존 드리프트-확산 수송 방정식의 전체 형태는 다음과 같습니다

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

여기서 \(\bar{W}\)는 자유 캐리어의 평균 운동 에너지입니다. 평균 에너지가 \(3/2kT\)라고 가정하면 이 식은 표준 드리프트-확산 방정식으로 돌아갑니다. MB 통계를 사용하지 않는 경우 이러한 전체 형태의 방정식이 필요합니다.