Modelos térmicos

OghmaNano suporta simulação eletro-térmica em vários níveis de detalhe físico, variando de uma simples aproximação de temperatura fixa até autoaquecimento totalmente acoplado e (em regimes excepcionais) transporte hidrodinâmico de balanço de energia. O objetivo dessas opções é pragmático: muitos comportamentos de dispositivos sob polarização não podem ser explicados usando um modelo puramente elétrico de temperatura fixa quando a dissipação de potência se torna significativa.

Existem três opções para simulação térmica no OghmaNano: (1) uma temperatura constante em todo o dispositivo (300 K por padrão); (2) um solucionador térmico da rede que resolve a equação do calor em todo o dispositivo incluindo autoaquecimento; e (3) um solucionador hidrodinâmico (balanço de energia) que não assume que as temperaturas de elétrons, lacunas e rede sejam iguais. A opção de temperatura constante é recomendada para a maioria das simulações de baixa potência. O modelo térmico da rede é usado quando se espera que o autoaquecimento altere curvas JV, perfis de recombinação ou estabilidade do dispositivo. O modelo hidrodinâmico é destinado a casos especializados como forte troca de energia em heterojunções ou campos extremos onde os portadores podem não relaxar localmente à temperatura da rede.

A configuração térmica é exposta por meio da faixa Thermal, que fornece acesso a: habilitar/desabilitar o modelo térmico, selecionar termos de geração de calor (transporte/Joule/Peltier, recombinação, absorção óptica, perdas parasíticas), definir condições de contorno térmicas, escolher configurações de malha térmica e editar parâmetros térmicos do material. Esses controles são mostrados em ??.

Como o solucionador eletro-térmico é acoplado

A simulação eletro-térmica é inerentemente um problema multifísico acoplado. A solução elétrica determina a distribuição espacial de corrente, recombinação e dissipação de potência; essas quantidades tornam-se fontes de calor na equação de difusão térmica; e o campo de temperatura resultante retroalimenta o transporte, a recombinação e as propriedades do material. No OghmaNano esse acoplamento é tratado por um laço de iteração externo: em um determinado ponto de polarização, o solucionador elétrico executa usando a estimativa atual de temperatura, os termos de geração de calor são avaliados, o solucionador térmico atualiza o campo de temperatura e o processo se repete até que tanto os resíduos elétricos quanto os resíduos térmicos atendam aos critérios de convergência.

Essa é a razão prática pela qual execuções eletro-térmicas são mais lentas que execuções de temperatura fixa: em cada passo de tensão o solucionador Newton elétrico pode ser executado várias vezes, intercalado com soluções térmicas, até que a solução conjunta se estabilize. O objetivo não é “um gráfico de temperatura”; o objetivo é uma JV e um estado interno autoconsistentes onde dissipação e extração de calor estejam equilibradas.

Por que problemas térmicos e elétricos vivem em escalas de comprimento diferentes

Uma característica estrutural chave da modelagem eletro-térmica é o descompasso de escalas físicas de comprimento. O transporte elétrico em dispositivos de filme fino é tipicamente dominado por estruturas de nanômetros a micrômetros: camadas ativas, regiões de junção, zonas de injeção e perfis estreitos de recombinação. A difusão térmica, por outro lado, depende de todo o caminho de fluxo de calor: contatos, substratos, encapsulantes, montagens e dissipadores que frequentemente estão na escala de milímetros a centímetros. Tentar malhar um dissipador de escala centimétrica com resolução elétrica de filme fino é computacionalmente inútil.

É por isso que o OghmaNano trata a configuração térmica como um objeto de modelagem de primeira classe, e não como um detalhe posterior: o problema térmico não é apenas “mais física”, muitas vezes é um domínio diferente. A malha térmica pode se estender além da região eletricamente ativa, e condições de contorno são usadas para representar extração efetiva de calor sem malhar explicitamente dissipadores macroscópicos.

As condições de contorno determinam em grande parte quão quente o dispositivo fica

As condições de contorno térmicas não apenas organizam a matemática: elas definem a rota de escape do calor. Um dispositivo com extração de calor deficiente pode atingir temperaturas altas rapidamente quando a dissipação de potência aumenta; um dispositivo fixado a um dissipador eficaz pode permanecer próximo à temperatura ambiente mesmo sob corrente significativa. Em regime estacionário, o aumento de temperatura é determinado pelo balanço “calor gerado” versus “calor removido”, e as condições de contorno especificam principalmente o segundo.

Uma analogia física útil é uma banheira. A torneira corresponde à geração de calor; o ralo corresponde à extração de calor. Se o ralo estiver aberto, o nível de água permanece baixo. Se estiver parcialmente bloqueado, o nível de água sobe. Se estiver bloqueado e a torneira aberta, a banheira transborda. No problema térmico o “nível de água” corresponde ao campo de temperatura: se o calor não puder sair efetivamente, a temperatura aumenta até que os gradientes térmicos e o fluxo nas fronteiras possam remover a potência gerada.

No editor de condições de contorno, “Neumann (==0)” corresponde a uma condição de fluxo de calor normal nulo:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

Fisicamente, isso é uma face isolante: o solucionador é instruído de que o calor não flui através dessa superfície. Isso não implica que o dispositivo esteja isolado termicamente no todo; implica que essa face particular não faz parte do caminho pretendido de remoção de calor. A extração de calor é então fornecida pela(s) fronteira(s) configurada(s) como dissipadores ou outras condições de transferência de calor.

Parâmetros térmicos: condutividade e tempos de relaxação de energia dos portadores

Além das condições de contorno, a outra entrada dominante em qualquer previsão térmica é o conjunto de parâmetros térmicos do material, particularmente a condutividade térmica. Estes são editados por camada via o controle Thermal parameters (frequentemente mostrado como \(k\) ou \(\kappa\)) na faixa Thermal (??), que abre o editor de parâmetros térmicos mostrado em ??.

O parâmetro chave é a condutividade térmica, que determina quão prontamente o calor se difunde através de cada camada e, portanto, quão fortemente gradientes de temperatura se formam sob polarização. O editor também expõe tempo de relaxação de elétrons e tempo de relaxação de lacunas. Esses parâmetros de tempo de relaxação são necessários apenas ao usar o modelo hidrodinâmico (balanço de energia), onde os portadores podem ter temperaturas diferentes da rede. No modelo térmico padrão da rede eles não são utilizados.

Discretização de temperatura e tabelas pré-computadas

A configuração da malha térmica também inclui um intervalo de temperatura e um número de pontos de temperatura. Estes não são pontos espaciais da malha; eles formam uma grade discreta de temperatura usada para tabelas dependentes de temperatura pré-computadas. Muitas quantidades internas do modelo são caras para avaliar repetidamente como funções da temperatura (e frequentemente do nível quasi-Fermi), portanto o OghmaNano as pré-calcula em uma grade finita de temperatura e interpola durante a solução acoplada. Isso melhora a estabilidade e reduz o custo computacional de avaliar repetidamente estatísticas dependentes da temperatura dentro do laço de acoplamento eletro-térmico.

Na prática, isso significa que o intervalo de temperatura deve abranger confortavelmente as temperaturas esperadas durante a simulação. Se um dispositivo se autoaquecer além do intervalo configurado, a interpolação pode tornar-se extrapolação ou saturação (dependendo da configuração), o que não é desejável para análise quantitativa de autoaquecimento.

Múltiplas temperaturas: rede, elétrons e lacunas

Também é importante reconhecer que a modelagem eletro-térmica naturalmente envolve múltiplas temperaturas. OghmaNano distingue a temperatura da rede \(T_L\), uma temperatura de elétrons \(T_e\) e uma temperatura de lacunas \(T_h\). No modelo térmico padrão da rede, \(T_e\) e \(T_h\) são assumidos iguais a \(T_L\) (os portadores estão localmente termalizados). No modelo hidrodinâmico de balanço de energia, \(T_e\) e \(T_h\) podem desviar de \(T_L\), refletindo transporte de energia de portadores fora do equilíbrio.

A opção hidrodinâmica, portanto, não é “um padrão mais preciso”; é um modelo para regimes excepcionais onde a termalização local dos portadores não é uma boa aproximação. Para a maioria das simulações de dispositivos de filme fino e orgânicos, o modelo térmico da rede captura o principal feedback térmico a um custo computacional razoável.

Modelo térmico da rede

Ao resolver apenas a equação do calor da rede, a transferência e geração de calor são dadas por

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

onde o aquecimento Joule (\(H_j\)) é dado por

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

Na prática, esse termo de aquecimento relacionado ao transporte pode incluir tanto aquecimento resistivo convencional (Joule) quanto aquecimento/resfriamento Peltier interfacial quando as bordas de banda variam fortemente no espaço. O sinal e a localização desse termo podem, portanto, conter informação física sobre onde a energia está sendo depositada (ou extraída) da rede pelo transporte de portadores.

o aquecimento por recombinação (\(H_r\)) é dado por,

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

o aquecimento por absorção óptica é dado por,

\[H_{optical}\]

e o aquecimento devido à resistência de shunt é dado por

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

A espessura do dispositivo é dada por d. Note que o aquecimento por shunt está presente apenas para conservar a conservação de energia. Na prática, a dissipação parasítica em série/shunt frequentemente não é espacialmente localizada de forma microscópica conhecida, portanto é tratada como uma contribuição de calor efetiva necessária para fechar o balanço energético do dispositivo simulado.

Balanço de energia - modelo de transporte hidrodinâmico

Se você ativar o modelo térmico de elétrons e lacunas, então o termo de fonte de calor será substituído por

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

e a equação de transporte de energia para elétrons

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

e lacunas,

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

serão resolvidas.

As equações de balanço de energia também serão resolvidas para elétrons,

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

e para lacunas

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

A condutividade térmica do gás de elétrons é dada por

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

e para lacunas como,

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

Essa estrutura hidrodinâmica introduz fluxos explícitos de energia de portadores e relaxação portador-rede via \(\tau_e\) e \(\tau_h\). Portanto, é substancialmente mais custosa que o modelo térmico da rede e deve ser usada apenas quando a física exigir. Para a maioria dos estudos eletro-térmicos de dispositivos, a equação do calor da rede com condições de contorno bem escolhidas e condutividades de camada captura o principal ciclo de retroalimentação de autoaquecimento.

Expressões completas de corrente sob condições não isotérmicas

As equações completas de transporte drift diffusion dependentes da temperatura derivadas da BTE são dadas por

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

onde \(\bar{W}\) é a energia cinética média dos portadores livres. Se a energia média for assumida como \(3/2kT\), essas expressões retornam às equações padrão de drift–diffusion. Note que a forma completa dessas equações é necessária quando não se utiliza estatística MB.