مدلهای حرارتی
OghmaNano از شبیهسازی electro-thermal در چندین سطح از جزئیات فیزیکی پشتیبانی میکند، از یک تقریب ساده دمای ثابت تا خودگرمایی کاملاً کوپلشده و (در رژیمهای استثنایی) انتقال هیدرودینامیکی مبتنی بر موازنه انرژی. هدف این گزینهها عملی است: بسیاری از رفتارهای دستگاه تحت بایاس را نمیتوان با یک مدل صرفاً الکتریکی و دمای ثابت توضیح داد، وقتی اتلاف توان قابل توجه میشود.
سه گزینه برای شبیهسازی حرارتی در OghmaNano وجود دارد: (1) یک دمای ثابت در سراسر دستگاه (بهطور پیشفرض 300 K)؛ (2) یک حلگر حرارتی شبکه که معادله گرما را در سراسر دستگاه همراه با خودگرمایی حل میکند؛ و (3) یک حلگر هیدرودینامیکی (موازنه انرژی) که فرض نمیکند دمای الکترون، حفره، و شبکه برابر هستند. گزینه دمای ثابت برای اغلب شبیهسازیهای کمتوان توصیه میشود. مدل حرارتی شبکه زمانی استفاده میشود که انتظار میرود خودگرمایی منحنیهای JV، پروفایلهای بازترکیب، یا پایداری دستگاه را تغییر دهد. مدل هیدرودینامیکی برای موارد تخصصی در نظر گرفته شده است مانند تبادل انرژی قوی در heterojunction یا میدانهای شدید که در آنها حاملها ممکن است بهصورت موضعی به دمای شبکه relax نکنند.
پیکربندی حرارتی از طریق ریبون Thermal در دسترس است، که امکان دسترسی به این موارد را فراهم میکند: فعال/غیرفعالسازی مدل حرارتی، انتخاب جملههای تولید گرما (انتقال/ژول/پلتیه، بازترکیب، جذب نوری، تلفات پارازیتی)، تنظیم شرایط مرزی حرارتی، انتخاب تنظیمات مش حرارتی، و ویرایش پارامترهای حرارتی مواد. این کنترلها در ?? نشان داده شدهاند.
حلگر electro-thermal چگونه کوپل میشود
شبیهسازی electro-thermal ذاتاً یک مسئله چندفیزیکی کوپلشده است. حل الکتریکی توزیع مکانی جریان، بازترکیب، و اتلاف توان را تعیین میکند؛ این کمیتها به منابع گرما در معادله پخش حرارتی تبدیل میشوند؛ و میدان دمای حاصل بهصورت بازخوردی بر انتقال، بازترکیب، و خواص مواد اثر میگذارد. در OghmaNano این کوپلشدگی توسط یک حلقه تکرار بیرونی انجام میشود: در یک نقطه بایاس مشخص، حلگر الکتریکی با استفاده از تخمین فعلی دما اجرا میشود، جملههای تولید گرما ارزیابی میشوند، حلگر حرارتی میدان دما را بهروزرسانی میکند، و این فرایند تا زمانی تکرار میشود که هم باقیماندههای الکتریکی و هم باقیماندههای حرارتی به معیارهای همگرایی برسند.
این دلیل عملی کندتر بودن اجرای electro-thermal نسبت به اجرای دمای ثابت است: در هر گام ولتاژ، حل نیوتنی الکتریکی ممکن است چندین بار اجرا شود، در میان آن حلهای حرارتی نیز انجام شود، تا زمانی که حل مشترک پایدار گردد. هدف صرفاً «یک نمودار دما» نیست؛ هدف یک وضعیت داخلی و JV خودسازگار است که در آن اتلاف و استخراج گرما در تعادل باشند.
چرا مسائل حرارتی و الکتریکی در مقیاسهای طولی متفاوتی قرار دارند
یکی از ویژگیهای ساختاری کلیدی مدلسازی electro-thermal، عدم تطابق مقیاسهای طولی فیزیکی است. انتقال الکتریکی در دستگاههای لایهنازک معمولاً تحت سلطه ساختارهای نانومتری تا میکرومتری است: لایههای فعال، نواحی پیوند، نواحی تزریق، و پروفایلهای باریک بازترکیب. در مقابل، پخش حرارتی به کل مسیر جریان گرما بستگی دارد: تماسها، زیرلایهها، انکپسولانتها، نگهدارندهها، و سینکها که اغلب در مقیاس میلیمتری تا سانتیمتری هستند. تلاش برای مشبندی یک سینک حرارتی سانتیمتری با تفکیک الکتریکیِ لایهنازک از نظر محاسباتی بیفایده است.
به همین دلیل است که OghmaNano پیکربندی حرارتی را بهعنوان یک شیء مدلسازی درجهاول در نظر میگیرد نه یک ملاحظه ثانویه: مسئله حرارتی فقط «فیزیک بیشتر» نیست، بلکه اغلب یک دامنه متفاوت است. مش حرارتی میتواند فراتر از ناحیه فعال الکتریکی امتداد یابد، و از شرایط مرزی برای نمایش استخراج مؤثر گرما بدون مشبندی صریح سینکهای ماکروسکوپی استفاده میشود.
شرایط مرزی تا حد زیادی تعیین میکنند دستگاه چقدر داغ میشود
شرایط مرزی حرارتی صرفاً برای مرتبکردن ریاضیات نیستند: آنها مسیر خروج گرما را تعریف میکنند. دستگاهی با استخراج گرمای ضعیف میتواند بهسرعت پس از افزایش اتلاف توان به دماهای بالا برسد؛ دستگاهی که به یک سینک مؤثر متصل باشد میتواند حتی تحت جریان قابل توجه نزدیک به دمای محیط باقی بماند. در حالت پایدار، افزایش دما با تعادل بین «گرمای تولیدشده» و «گرمای خارجشده» تعیین میشود، و شرایط مرزی تا حد زیادی دومی را مشخص میکنند.
یک قیاس فیزیکی مفید، وان حمام است. شیر آب متناظر با تولید گرما است؛ سوراخ تخلیه متناظر با استخراج گرما. اگر مسیر تخلیه باز باشد، سطح آب پایین میماند. اگر تا حدی گرفته باشد، سطح آب بالا میرود. اگر گرفته باشد و شیر باز بماند، وان سرریز میکند. در مسئله حرارتی «سطح آب» متناظر با میدان دما است: اگر گرما نتواند بهطور مؤثر خارج شود، دما تا زمانی بالا میرود که گرادیانهای حرارتی و شار مرزی بتوانند توان تولیدشده را دفع کنند.
در ویرایشگر شرایط مرزی، “Neumann (==0)” متناظر با یک مرز با شار عمودی گرمایی صفر است:
\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]
از نظر فیزیکی، این یک سطح عایق است: به حلگر گفته میشود که گرما از آن سطح عبور نکند. این به این معنا نیست که کل دستگاه از نظر حرارتی منزوی است؛ بلکه به این معناست که آن سطح خاص بخشی از مسیر مورد نظر برای خروج گرما نیست. سپس استخراج گرما از طریق مرز (یا مرزهایی) که بهعنوان heatsink یا سایر شرایط انتقال گرما پیکربندی شدهاند فراهم میشود.
پارامترهای حرارتی: رسانندگی و زمانهای relax شدن انرژی حامل
علاوه بر شرایط مرزی، ورودی غالب دیگر در هر پیشبینی حرارتی مجموعه پارامترهای حرارتی ماده، بهویژه رسانندگی حرارتی است. این پارامترها برای هر لایه از طریق کنترل Thermal parameters (که اغلب به صورت \(k\) یا \(\kappa\) نمایش داده میشود) در ریبون Thermal ویرایش میشوند (??)، که ویرایشگر پارامترهای حرارتی نشاندادهشده در ?? را باز میکند.
پارامتر کلیدی رسانندگی حرارتی است که تعیین میکند گرما با چه سهولتی در هر لایه پخش میشود و در نتیجه تحت بایاس گرادیانهای دما تا چه حد شکل میگیرند. ویرایشگر همچنین زمان relax شدن الکترون و زمان relax شدن حفره را نیز نشان میدهد. این پارامترهای زمان relax شدن فقط هنگام استفاده از مدل هیدرودینامیکی (موازنه انرژی) لازم هستند، جایی که دمای حاملها میتواند با دمای شبکه متفاوت باشد. در مدل حرارتی استاندارد شبکه، از آنها استفاده نمیشود.
گسستهسازی دما و جدولهای ازپیشمحاسبهشده
پیکربندی مش حرارتی همچنین شامل یک بازه دما و تعدادی نقاط دما است. اینها نقاط مش مکانی نیستند؛ آنها یک شبکه دمای گسسته را تشکیل میدهند که برای جدولهای ازپیشمحاسبهشده وابسته به دما استفاده میشود. بسیاری از کمیتهای داخلی مدل بهصورت تابعی از دما (و اغلب شبهتراز فرمی) ارزیابی پرهزینهای دارند، بنابراین OghmaNano آنها را روی یک شبکه دمایی محدود از پیش محاسبه میکند و هنگام حل کوپلشده درونیابی میکند. این کار پایداری را بهبود میدهد و هزینه محاسباتی ارزیابی مکرر آمارههای وابسته به دما را درون حلقه کوپلشدگی electro-thermal کاهش میدهد.
از نظر عملی، این یعنی بازه دما باید بهراحتی دماهای مورد انتظار در طول شبیهسازی را پوشش دهد. اگر خودگرمایی دستگاه فراتر از بازه پیکربندیشده برود، درونیابی ممکن است به برونیابی یا clamp شدن تبدیل شود (بسته به پیکربندی)، که برای تحلیل کمی خودگرمایی مطلوب نیست.
چندین دما: شبکه، الکترونها، و حفرهها
همچنین مهم است که درک شود مدلسازی electro-thermal بهصورت طبیعی شامل چندین دما است. OghmaNano بین دمای شبکه \(T_L\)، دمای الکترون \(T_e\)، و دمای حفره \(T_h\) تمایز قائل میشود. در مدل حرارتی استاندارد شبکه، فرض میشود \(T_e\) و \(T_h\) با \(T_L\) برابر هستند (حاملها بهصورت موضعی thermalised شدهاند). در مدل هیدرودینامیکی موازنه انرژی، \(T_e\) و \(T_h\) میتوانند از \(T_L\) منحرف شوند، که بازتابدهنده انتقال انرژیِ غیرتعادلی حاملها است.
بنابراین گزینه هیدرودینامیکی «یک پیشفرض دقیقتر» نیست؛ بلکه مدلی برای رژیمهای استثنایی است که در آن thermalisation موضعی حاملها تقریب مناسبی نیست. برای اکثر شبیهسازیهای دستگاههای لایهنازک و آلی، مدل حرارتی شبکه بازخورد حرارتی غالب را با هزینه محاسباتی معقول ثبت میکند.
مدل حرارتی شبکه
هنگام حل فقط معادله گرمای شبکه، انتقال و تولید گرما بهصورت زیر داده میشود
\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]
که در آن گرمایش ژولی (\(H_j\)) به صورت زیر است
\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]
در عمل، این جمله گرمایی مرتبط با انتقال میتواند هم گرمایش مقاومتی متعارف (ژولی) و هم گرمایش/سرمایش بینسطحی پلتیه را زمانی که لبههای باند بهشدت در فضا تغییر میکنند شامل شود. بنابراین علامت و موضعیسازی این جمله میتواند اطلاعات فیزیکی درباره اینکه انرژی در کجا توسط انتقال حامل به شبکه وارد میشود (یا از آن استخراج میشود) حمل کند.
گرمایش بازترکیب (\(H_r\)) بهصورت زیر داده میشود،
\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]
گرمایش ناشی از جذب نوری بهصورت زیر داده میشود،
\[H_{optical}\]
و گرمایش ناشی از مقاومت شنت بهصورت زیر داده میشود
\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]
ضخامت دستگاه با d داده میشود. توجه کنید که گرمایش شنت فقط برای حفظ بقای انرژی در نظر گرفته شده است. در عمل، اتلافهای پارازیتی سری/شنت اغلب بهصورت مکانی به شکل میکروسکوپیِ مشخصی موضعیشده نیستند، بنابراین بهعنوان یک سهم گرمایی مؤثر که برای بستن تراز انرژی دستگاه شبیهسازیشده لازم است در نظر گرفته میشوند.
موازنه انرژی - مدل انتقال هیدرودینامیکی
اگر مدل حرارتی الکترون و حفره را روشن کنید، آنگاه جمله منبع گرما با عبارت زیر جایگزین خواهد شد
\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]
و معادله انتقال انرژی برای الکترونها
\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]
و برای حفرهها،
\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]
حل خواهند شد.
معادلات موازنه انرژی همچنین برای الکترونها حل خواهند شد،
\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]
و برای حفرهها
\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]
رسانندگی حرارتی گاز الکترونی بهصورت زیر داده میشود
\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]
و برای حفرهها بهصورت،
\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]
این چارچوب هیدرودینامیکی شارهای صریح انرژی حامل و relax شدن حامل-شبکه از طریق \(\tau_e\) و \(\tau_h\) را معرفی میکند. بنابراین بهطور قابل توجهی از مدل حرارتی شبکه پرهزینهتر است و فقط زمانی باید استفاده شود که فیزیک مسئله آن را ایجاب کند. برای بیشتر مطالعات electro-thermal دستگاه، معادله گرمای شبکه همراه با شرایط مرزی مناسب و رسانندگیهای لایهای بهخوبی حلقه بازخورد غالب خودگرمایی را ثبت میکند.
عبارتهای کامل جریان در شرایط غیرهمدما
معادلات کامل انتقال drift diffusion وابسته به حرارت، همانگونه که از BTE استخراج میشوند، بهصورت زیر هستند
\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]
\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]
که در آن \(\bar{W}\) انرژی جنبشی متوسط حاملهای آزاد است. اگر فرض شود انرژی متوسط برابر \(3/2kT\) است، این عبارتها به معادلات استاندارد drift–diffusion بازمیگردند. توجه کنید که شکل کامل این معادلات زمانی لازم است که از آمارههای MB استفاده نشود.