Συνθήκες ισχύος της εξίσωσης Mott–Gurney

Η εξίσωση Mott–Gurney είναι μία από τις πιο διαδεδομένες αναλυτικές εκφράσεις στη φυσική των ημιαγωγικών διατάξεων. Περιγράφει την πυκνότητα ρεύματος σε μια διάταξη περιορισμένου ρεύματος με περιοχή χωρίς παγίδες (SCLC):

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

όπου \(J\) είναι η πυκνότητα ρεύματος, \(\varepsilon\) είναι η διηλεκτρική διαπερατότητα, \(\mu\) είναι η κινητικότητα των φορέων, \(V\) είναι η εφαρμοσμένη τάση και \(L\) είναι το πάχος της συσκευής.

Αν και η εξίσωση χρησιμοποιείται συχνά για την εξαγωγή της κινητικότητας των φορέων από πειραματικές μετρήσεις ρεύματος-τάσης, η εξαγωγή της βασίζεται σε διάφορες σημαντικές φυσικές υποθέσεις. Οι πραγματικές ημιαγωγικές συσκευές συχνά παραβιάζουν μία ή περισσότερες από αυτές τις υποθέσεις, ιδιαίτερα στις διαταραγμένες οργανικές ημιαγωγικές συσκευές, στα περοβσκίτες, στις OLED και στα υλικά χαμηλής κινητικότητας.

Ως εκ τούτου, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε όχι μόνο πώς προκύπτει η εξίσωση Mott–Gurney, αλλά και τις φυσικές συνθήκες υπό τις οποίες παραμένει έγκυρη. Η παράλειψη της εξέτασης αυτών των συνθηκών μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα κατά την ερμηνεία των πειραματικών μετρήσεων SCLC.

Μεταφορά χωρίς παγίδες.

Η κλασική εξίσωση Mott–Gurney υποθέτει ότι όλοι οι εγχυόμενοι φορείς παραμένουν κινητοί. Με άλλα λόγια, υποτίθεται ότι ο ημιαγωγός δεν περιέχει παγίδες.

Σε πολλούς πραγματικούς ημιαγωγούς, ωστόσο, οι φορείς μπορούν να παγιδευτούν σε τοπικές καταστάσεις που σχετίζονται με:

• δομική διαταραχή,
• ακαθαρσίες,
• ελαττώματα,
• όρια κόκκων,
• ή διαταραχή της ενέργειας.

Οι παγιδευμένοι φορείς φορτίου εξακολουθούν να συμβάλλουν στο φορτίο χώρου εντός της συσκευής, αλλά δεν συμβάλλουν αποτελεσματικά στην ηλεκτρική αγωγιμότητα. Ως αποτέλεσμα, η εξάρτηση του ρεύματος από την τάση αποκλίνει από την ιδανική τετραγωνική συμπεριφορά που προβλέπεται από την εξίσωση Mott–Gurney.

Αντί για:

$$ J \propto V^2 $$

η περιορισμένη μορφή του μικροκυτταρικού καρκίνου του πνεύμονα συχνά εξελίσσεται σε:

$$ J \propto V^m $$

με:

$$ m > 2 $$

Ως εκ τούτου, η ύπαρξη παγίδων αποτελεί έναν από τους σημαντικότερους περιορισμούς της ιδανικής θεωρίας SCLC.

Μεταφορά με ένα μόνο φορέα

Η εξαγωγή της εξίσωσης Mott–Gurney υποθέτει ότι μόνο ένα είδος φορέα συμβάλλει σημαντικά στη μεταφορά. Αυτό σημαίνει ότι η συσκευή πρέπει να συμπεριφέρεται είτε ως:

• μια συσκευή που χρησιμοποιεί μόνο οθόνες ή
• μια συσκευή που λειτουργεί αποκλειστικά με ηλεκτρόνια.

Στα πρακτικά πειράματα των ηλιακών κυψελών, αυτή η κατάσταση επιτυγχάνεται με προσεκτικό σχεδιασμό της ενέργειας επαφής, έτσι ώστε ένας τύπος φορέα να εισάγεται αποτελεσματικά, ενώ ο αντίθετος τύπος φορέα να εμποδίζεται.

Εάν και τα ηλεκτρόνια και οι οπές εγχέονται ταυτόχρονα στη συσκευή, οι διαδικασίες ανασύνθεσης γίνονται σημαντικές και οι υποθέσεις στις οποίες βασίζεται η εξαγωγή του Mott–Gurney καταρρέουν. Το προκύπτον ρεύμα δεν μπορεί πλέον να περιγραφεί χρησιμοποιώντας ένα απλό μοντέλο SCLC με έναν μόνο φορέα.

Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους οι τυπικές φωτοβολταϊκές συσκευές δεν είναι κατάλληλες για ιδανική ανάλυση SCLC. Τα ηλιακά κύτταρα έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να υποστηρίζουν τη διπολική μεταφορά και τον διαχωρισμό φορτίου, ενώ οι συσκευές SCLC έχουν σχεδιαστεί έτσι ώστε να καταστέλλουν έναν τύπο φορέα φορτίου.

Ωμικές επαφές και φράγματα έγχυσης

Μια άλλη σημαντική υπόθεση της εξίσωσης Mott–Gurney είναι ότι οι επαφές εγχέουν αποτελεσματικά φορείς στο ημιαγωγό. Αυτό απαιτεί κατά προσέγγιση συνθήκες ωμικής έγχυσης.

Εάν υπάρχει ένα μεγάλο φράγμα στην περιοχή επαφής μεταξύ του μετάλλου και του ημιαγωγού, το ρεύμα περιορίζεται από την ένεση φορέων και όχι από το χώρο φόρτισης εντός του όγκου του υλικού.

Σε ιδανικές συνθήκες για το μικροκυτταρικό καρκίνωμα του πνεύμονα:

• το εμπόδιο επαφής θα πρέπει να είναι μικρό.
• η έγχυση φορέων θα πρέπει να είναι αποτελεσματική.
• και η πυκνότητα των φορέων που εγχέονται θα πρέπει να υπερβαίνει σημαντικά την πυκνότητα των φορέων κατά την ισορροπία.

Εάν αυτές οι προϋποθέσεις δεν ικανοποιηθούν, η συσκευή εισέρχεται σε μια κατάσταση όπου η λειτουργία της περιορίζεται από την παροχή.

Αυτή η διάκριση είναι εξαιρετικά σημαντική σε πειραματικό επίπεδο, επειδή μια μη ωμική επαφή μπορεί να παράγει καμπύλες ρεύματος-τάσης που επιφανειακά μοιάζουν με τη συμπεριφορά SCLC, ενώ στην πραγματικότητα κυριαρχείται από τη φυσική της επαφής.

Αμελητέο ρεύμα διάχυσης.

Η εξαγωγή Mott–Gurney υποθέτει ότι η μεταφορά φορέων οφείλεται αποκλειστικά στο ρεύμα μετατόπισης. Η συνεισφορά της διάχυσης παραμελείται.

Η πλήρης εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης είναι:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

όπου:

• \(q\mu nE\) είναι το ρεύμα μεταφοράς.
• και το \(qD\frac{dn}{dx}\) είναι το ρεύμα διάχυσης.

Η προσέγγιση Mott–Gurney υποθέτει:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Αυτή η προσέγγιση είναι συνήθως εύλογη σε υψηλά ηλεκτρικά πεδία και σε μεγάλες συγκεντρώσεις μεταφερόμενων φορτίων, όπου η μεταφορά που καθορίζεται από το πεδίο είναι κυρίαρχη. Ωστόσο, σε χαμηλές τάσεις ή κοντά σε συνθήκες ισορροπίας, η διάχυση μπορεί να γίνει σημαντική και η ιδανική προσέγγιση SCLC γίνεται λιγότερο ακριβής.

Σε ημιαγωγούς με χαμηλή κινητικότητα και έντονη διαταραχή, η διάχυση και η ενεργειακή χαλάρωση μπορούν να τροποποιήσουν σημαντικά την εσωτερική κατανομή των φορέων.

Ομοιόμορφη κινητικότητα

Η κλασική εξαγωγή Mott–Gurney υποθέτει ότι η κινητικότητα των φορέων είναι χωρικά ομοιόμορφη και ανεξάρτητη από το ηλεκτρικό πεδίο.

Σε πολλά πραγματικά υλικά, αυτή η υπόθεση δεν ισχύει. Οι οργανικοί ημιαγωγοί παρουσιάζουν συνήθως κινητικότητα που εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο:

$$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$

όπου \(\gamma\) είναι ο συντελεστής Poole–Frenkel.

Αυτή η εξάρτηση από το πεδίο προκύπτει επειδή η ενεργειακή διαταραχή τροποποιεί τους ρυθμούς μεταπήδησης των φορέων μεταξύ των τοπικών καταστάσεων. Καθώς αυξάνεται το ηλεκτρικό πεδίο, η μεταφορά μέσω μεταπήδησης γίνεται πιο αποδοτική και η φαινομενική κινητικότητα αυξάνεται.

Υπό αυτές τις συνθήκες, η σχέση ρεύματος-τάσης αποκλίνει από την απλή τετραγωνική συμπεριφορά που προβλέπεται από την ιδανική εξίσωση Mott-Gurney.

Αμελητέα ανασυνδυασμός.

Η εξίσωση Mott–Gurney υποθέτει ότι η ανασύνθεση είναι αμελητέα. Αυτή η υπόθεση είναι συνήθως έγκυρη σε σωστά σχεδιασμένες συσκευές που μεταφέρουν μόνο ένα είδος φορέα, επειδή μόνο ένα είδος φορέα εισάγεται σκόπιμα.

Ωστόσο, εάν υπάρχουν φορείς μειονοτήτων, τότε συμβαίνουν διαδικασίες ανασυνδυασμού, όπως:

• Ανασυνδυασμός Shockley–Read–Hall,
• Ανασυνδυασμός κατά Langevin,
• ή βιμοριακή ανασυνδυασμός

μπορεί να τροποποιήσει την κατανομή της πυκνότητας των φορέων φορτίου και να ακυρώσει την ιδανική εξαγωγή της εξίσωσης SCLC.

Προσδιορισμός του πραγματικού SCLC μέσω πειραμάτων.

Πειραματικά, η περιοχή SCLC συνήθως προσδιορίζεται από την κλίση της καμπύλης ρεύματος-τάσης σε λογαριθμική κλίμακα και για τους δύο άξονες.

Στο ωμικό καθεστώς:

$$ J \propto V $$

και η κλίση είναι περίπου 1.

Σε ένα ιδανικό σενάριο όπου δεν υπάρχουν παγίδες για το SCLC:

$$ J \propto V^2 $$

και η κλίση τείνει προς το 2.

Η μεταφορά που περιορίζεται από τις παγίδες συχνά δημιουργεί κλίσεις μεγαλύτερες από 2, ενώ η μεταφορά που περιορίζεται από την έγχυση μπορεί να οδηγήσει σε πιο περίπλοκη συμπεριφορά.

Επομένως, απαιτείται προσεκτική ερμηνεία. Μια απλή τετραγωνική σχέση ρεύματος-τάσης δεν αποτελεί επαρκή απόδειξη ότι λαμβάνει χώρα η ιδανική μεταφορά Mott-Gurney.

Σχέση με την προσομοίωση διάχυσης-μεταφοράς

Τα σύγχρονα εργαλεία προσομοίωσης διάχυσης-μεταφοράς, όπως το OghmaNano, επιλύουν αριθμητικά τις συνδεδεμένες εξισώσεις Poisson, συνέχειας και μεταφοράς. Αυτό επιτρέπει την ρητή ενσωμάτωση ρεαλιστικών μη ιδανικών επιδράσεων, όπως:

• κατανομές παγίδων,
• κινητικότητα που εξαρτάται από το πεδίο,
• ανασυνδυασμός φορέων,
• μη ωμικές επαφές,
• και ηλεκτρικά πεδία που μεταβάλλονται χωρικά.

Ως αποτέλεσμα, η αριθμητική προσομοίωση παρέχει συχνά μια πιο ακριβή περιγραφή των πραγματικών συσκευών SCLC σε σύγκριση με την απλή ιδανική αναλυτική θεωρία.