Απόδειξη της εξίσωσης Mott-Gurney.

Το ρεύμα που περιορίζεται από το χώρο φόρτισης (SCLC) είναι ένα από τα σημαντικότερα καθεστώτα μεταφοράς στη φυσική των ημιαγωγικών συσκευών. Εμφανίζεται όταν η πυκνότητα των φορέων που εγχέονται από τις επαφές γίνεται πολύ μεγαλύτερη από την πυκνότητα των φορέων ισορροπίας που υπάρχουν ήδη μέσα στον ημιαγωγό. Υπό αυτές τις συνθήκες, το ρεύμα δεν περιορίζεται πλέον από την εγγενή αγωγιμότητα του υλικού, αλλά από το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από την ίδια την εγχέουσα φόρτιση.

Οι μετρήσεις SCLC χρησιμοποιούνται ευρέως σε οργανικούς ημιαγωγούς, OLED, συσκευές περοβσκίτη και αταξιακά υλικά για την εκτίμηση της κινητικότητας των φορέων και τη διερεύνηση των καταστάσεων παγίδευσης. Πειραματικά, το SCLC μετράται συνήθως χρησιμοποιώντας μια δομή που επιτρέπει μόνο τη μεταφορά οπών ή ηλεκτρονίων, όπου και οι δύο επαφές εγχέουν κατά κύριο λόγο τον ίδιο τύπο φορέα. Αυτό καταστέλλει την ανασυνδυασμό ηλεκτρονίων-οπών και επιτρέπει στην μεταφορά ενός μόνο τύπου φορέα να κυριαρχεί.

Η πιο γνωστή αναλυτική περιγραφή των συσκευών SCLC χωρίς παγίδες είναι η εξίσωση Mott-Gurney, η οποία προβλέπει ότι η πυκνότητα ρεύματος μεταβάλλεται τετραγωνικά με την εφαρμοζόμενη τάση:

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

όπου \(J\) είναι η πυκνότητα ρεύματος, \(\varepsilon\) είναι η διηλεκτρική σταθερά του υλικού, \(\mu\) είναι η κινητικότητα των φορέων, \(V\) είναι η εφαρμοσμένη τάση και \(L\) είναι το πάχος της συσκευής.

Αν και η ίδια η εξίσωση είναι συνοπτική, οι φυσικές παραδοχές στις οποίες βασίζεται είναι εξαιρετικά σημαντικές. Η εξαγωγή της εξίσωσης υποθέτει μεταφορά χωρίς παγίδες, έναν μόνο τύπο φορέα, ωμικές επαφές, ομοιόμορφη κινητικότητα, αμελητέο ρεύμα διάχυσης και αμελητέο συνδυασμό. Η κατανόηση αυτών των παραδοχών είναι απαραίτητη κατά την ερμηνεία των πειραματικών μετρήσεων SCLC.

Φυσική προέλευση του ρεύματος που περιορίζεται από το φορτίο χώρου.

Στην κοινή ωμική αγωγιμότητα, η πυκνότητα των φορέων μέσα στον ημιαγωγό είναι περίπου σταθερή και η πυκνότητα ρεύματος αυξάνεται γραμμικά με την τάση. Σε αυτό το καθεστώς, το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στη συσκευή είναι σχεδόν ομοιόμορφο και η πυκνότητα των εγχυόμενων φορέων είναι σχετικά μικρή.

Ωστόσο, όταν μια επαφή εγχέει αποτελεσματικά φορείς φορτίου σε έναν ημιαγωγό χαμηλής αγωγιμότητας, το εγχέσιμο φορτίο αρχίζει να συσσωρεύεται στο εσωτερικό της συσκευής. Αυτό το συσσωρευμένο φορτίο τροποποιεί το εσωτερικό ηλεκτρικό πεδίο μέσω της εξίσωσης του Poisson. Ως αποτέλεσμα, το ηλεκτρικό πεδίο γίνεται εξαρτώμενο από τη θέση και το ρεύμα περιορίζεται από την ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση του ίδιου του εγχέσιμου φορτίου.

Αυτή η συμπεριφορά απεικονίζεται στο ??. Σε αντίθεση με την ωμική αγωγιμότητα, το εσωτερικό ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή SCLC δεν είναι ομοιόμορφο. Αντίθετα, το ηλεκτρικό πεδίο αυξάνεται με την απόσταση κατά μήκος της συσκευής, επειδή η συνεχής εισαγωγή επιπλέον φορτίου τροποποιεί συνεχώς το ηλεκτροστατικό δυναμικό.

Αρχικές εξισώσεις

Η εξαγωγή της εξίσωσης Mott-Gurney ξεκινά με δύο θεμελιώδεις εξισώσεις: την εξίσωση Poisson και την εξίσωση του ρεύματος μεταφοράς.

Η εξίσωση του Poisson συνδέει την κλίση του ηλεκτρικού πεδίου με την πυκνότητα φορτίου:

$$ \frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon} $$

όπου \(E\) είναι το ηλεκτρικό πεδίο, \(\rho\) είναι η πυκνότητα φορτίου και \(\varepsilon\) είναι η διηλεκτρική σταθερά του ημιαγωγού.

Υποθέτοντας ότι υπάρχει ένα μόνο είδος φορέα με πυκνότητα \(n\), η πυκνότητα φορτίου γίνεται:

$$ \rho = qn $$

όπου \(q\) είναι το στοιχειώδες φορτίο.

Η πυκνότητα ρεύματος μετατόπισης δίνεται από:

$$ J = q\mu nE $$

όπου \(\mu\) είναι η κινητικότητα των φορέων.

Στην εξαγωγή Mott-Gurney, το ρεύμα διάχυσης παραμελείται. Αυτή η προσέγγιση είναι έγκυρη όταν το ηλεκτρικό πεδίο είναι αρκετά ισχυρό, έτσι ώστε η μεταφορά μέσω ολίσθησης να υπερτερεί της διάχυσης.

Η πλήρης εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης είναι:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

ωστόσο, στις συνθήκες SCLC, ο όρος διάχυσης θεωρείται μικρός σε σύγκριση με τον όρο μεταφοράς:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Απόδειξη της εξίσωσης Mott-Gurney.

Ξεκινάμε συνδυάζοντας την εξίσωση του Poisson με την εξίσωση του ρεύματος μεταφοράς. Αντικαθιστώντας:

$$ n = \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} $$

στην έκφραση του ρεύματος μεταφοράς:

$$ J = q\mu nE $$

δίνει:

$$ J = q\mu \left( \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} \right) E $$

το οποίο απλοποιείται σε:

$$ J = \varepsilon\mu E\frac{dE}{dx} $$

Αναδιάταξη:

$$ E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu}\,dx $$

Ενοποίηση σε όλες τις συσκευές:

$$ \int_0^{E} E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu} \int_0^x dx $$

δίνει:

$$ \frac{E^2}{2} = \frac{Jx}{\varepsilon\mu} $$

Επομένως:

$$ E(x) = \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } $$

Η τάση στα άκρα της συσκευής υπολογίζεται με την ολοκλήρωση του ηλεκτρικού πεδίου:

$$ V = \int_0^L E(x)\,dx $$

Αντικαθιστώντας την έκφραση του πεδίου:

$$ V = \int_0^L \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } \,dx $$

Βγάζοντας τις σταθερές έξω από το ολοκλήρωμα:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \int_0^L x^{1/2}\,dx $$

Εκτέλεση της ενσωμάτωσης:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \cdot \frac{2}{3}L^{3/2} $$

Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη:

$$ V^2 = \frac{8JL^3}{9\varepsilon\mu} $$

Τέλος, αναδιατάσσοντας την εξίσωση για την πυκνότητα ρεύματος, προκύπτει η εξίσωση Mott-Gurney:

$$ J = \frac{9}{8} \varepsilon\mu \frac{V^2}{L^3} $$

Οι φυσικές παραδοχές στις οποίες βασίζεται η εξαγωγή.

Αν και η μαθηματική εξαγωγή φαίνεται απλή, εξαρτάται από διάφορες σημαντικές φυσικές παραδοχές.

Μεταφορά χωρίς παγίδες.

Η εξαγωγή αυτή υποθέτει ότι όλοι οι εγχυόμενοι φορείς παραμένουν κινητοί και συμβάλλουν άμεσα στην ηλεκτρική αγωγιμότητα. Στους πραγματικούς, μη ομοιογενείς ημιαγωγούς, οι φορείς συχνά παγιδεύονται σε τοπικά ενεργειακά επίπεδα. Η παγίδευση τροποποιεί την κατανομή των φορέων και αλλάζει την εξάρτηση του ρεύματος από την τάση.

Μεταφορά με ένα μόνο φορέα

Η εξίσωση Mott-Gurney υποθέτει ότι μόνο ένας τύπος φορέα συμβάλλει σημαντικά στη μεταφορά. Στις διπολικές συσκευές που περιέχουν τόσο ηλεκτρόνια όσο και οπές, τα φαινόμενα ανασύνθεσης και ουδέτερης φόρτισης ακυρώνουν την απλή εξαγωγή της SCLC.

Ωμικές επαφές

Η εξαγωγή υποθέτει ότι οι φορείς μπορούν να εισαχθούν ελεύθερα στον ημιαγωγό. Εάν υπάρχει φράγμα Schottky ή φράγμα εισαγωγής στην επαφή, το ρεύμα περιορίζεται από την εισαγωγή στην επαφή και όχι από τον χώρο φόρτισης εντός της συσκευής.

Ομοιόμορφη κινητικότητα

Η εξαγωγή αυτή υποθέτει ότι η κινητικότητα είναι ανεξάρτητη από το ηλεκτρικό πεδίο και τη συγκέντρωση των φορέων. Ωστόσο, σε πολλούς οργανικούς ημιαγωγούς, η κινητικότητα εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το πεδίο, την αταξία και την πληρότητα των παγίδων.

Αμελητέο ρεύμα διάχυσης.

Η μεταφορά μέσω διάχυσης παραμελείται σε όλη τη διαδικασία εξαγωγής. Αυτή η προσέγγιση γίνεται λιγότερο ακριβής σε χαμηλά ηλεκτρικά πεδία ή κοντά σε συνθήκες ισορροπίας.

Όταν η εξίσωση Mott-Gurney δεν ισχύει.

Στις πραγματικές ημιαγωγικές διατάξεις, η συμπεριφορά συχνά αποκλίνει από την ιδανική συμπεριφορά Mott-Gurney. Ένας από τους πιο συνηθισμένους παράγοντες είναι η παρουσία καταστάσεων παγίδευσης. Στην περιορισμένη από παγίδες μεταφορά φορτίου με άλμα (SCLC), το ρεύμα συχνά ακολουθεί έναν νόμο δύναμης:

$$ J \propto V^m $$

όπου \(m > 2\).

Η κινητικότητα που εξαρτάται από το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί επίσης να τροποποιήσει σημαντικά τη σχέση ρεύματος-τάσης. Πολλά αταξινόμητα οργανικά ημιαγωγά παρουσιάζουν συμπεριφορά Poole-Frenkel, όπου η κινητικότητα αυξάνεται εκθετικά με το ηλεκτρικό πεδίο.

Σε πολύ υψηλές τάσεις, η σειρά αντίστασης και οι επιπτώσεις της αυτοθέρμανσης μπορεί επίσης να γίνουν σημαντικές. Ομοίως, εάν τα ηλεκτρόνια και οι οπές υπάρχουν ταυτόχρονα, η ανασύνθεση μπορεί να αλλάξει την κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου και να καταστήσει άχρηστη την υπόθεση της ύπαρξης μόνο ενός τύπου φορέα.

Για τους λόγους αυτούς, οι αριθμητικές προσομοιώσεις διάχυσης-μεταφοράς είναι συχνά απαραίτητες για την ακριβή περιγραφή των πραγματικών ημιαγωγικών συσκευών.

Σχέση με τις προσομοιώσεις διάχυσης-μεταφοράς

Η εξίσωση Mott-Gurney είναι εξαιρετικά χρήσιμη επειδή παρέχει αναλυτικές πληροφορίες σχετικά με τη μεταφορά που περιορίζεται από το φορτίο χώρου. Ωστόσο, οι πραγματικές ημιαγωγικές συσκευές περιέχουν συχνά κατανομές παγίδων, κινητικότητες που εξαρτώνται από το ηλεκτρικό πεδίο, μη ωμικές επαφές, διαδικασίες ανασυνδυασμού και χωρικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία, τα οποία δεν μπορούν να αποτυπωθούν από ένα απλό αναλυτικό μοντέλο.

Εργαλεία προσομοίωσης διάχυσης-μεταφοράς, όπως το OghmaNano, επιλύουν αριθμητικά τις συνδεδεμένες εξισώσεις Poisson και συνέχειας, επιτρέποντας την ρητή ενσωμάτωση αυτών των μη ιδανικών επιδράσεων. Αυτό καθιστά δυνατή τη μελέτη ρεαλιστικών συσκευών SCLC που περιέχουν διαταραχές, καταστάσεις παγίδευσης, κλίσεις κινητικότητας και πολύπλοκες πολυεπίπεδες δομές.