Wyprowadzenie równania Motta-Gurneya

Prąd ograniczony przez ładunek przestrzenny (SCLC) jest jednym z najważniejszych mechanizmów transportu w fizyce półprzewodnikowych urządzeń. Występuje on, gdy gęstość nośników wprowadzanych z elektrod staje się znacznie większa niż gęstość nośników w stanie równowagi, która już występuje wewnątrz półprzewodnika. W takich warunkach prąd nie jest już ograniczony przez właściwą przewodność materiału, lecz przez pole elektryczne generowane przez wprowadzony ładunek.

Pomiar prądu w warstwie blokującej nośniki (SCLC) jest powszechnie stosowany w organicznych półprzewodnikach, diodach OLED, urządzeniach perowskitowych i materiałach nieuporządkowanych do szacowania ruchliwości nośników i badania stanów pułapkowych. W praktyce pomiar SCLC zazwyczaj przeprowadza się, wykorzystując strukturę, w której obecne są tylko dziury lub tylko elektrony, przy czym oba elektrody preferencyjnie wprowadzają nośniki tego samego typu. Dzięki temu tłumiona jest rekombinacja elektronów i dziur, co pozwala na dominację transportu pojedynczego rodzaju nośników.

Najbardziej znanym analitycznym opisem materiałów typu SCLC, w których nie występują pułapki, jest równanie Motta-Gurney’a, które przewiduje, że gęstość prądu zmienia się kwadratowo w zależności od przyłożonego napięcia:

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

gdzie \(J\) oznacza gęstość prądu, \(\varepsilon\) oznacza przenikalność elektryczną materiału, \(\mu\) oznacza ruchliwość nośników, \(V\) oznacza przyłożone napięcie, a \(L\) oznacza grubość elementu.

Choć samo równanie jest zwięzłe, założenia fizyczne, na których się opiera, mają ogromne znaczenie. Wyprowadzenie równania zakłada transport bez pułapek, jeden rodzaj nośnika ładunku, kontakty o charakterze omowym, jednorodną ruchliwość, pomijalny prąd dyfuzyjny oraz pomijalną rekombinację. Zrozumienie tych założeń jest kluczowe przy interpretacji wyników eksperymentalnych pomiarów SCLC.

Fizyczne źródło prądu ograniczonego przez przestrzeń ładunkową

W przypadku zwykłego przewodzenia omowego, gęstość nośników wewnątrz półprzewodnika jest w przybliżeniu stała, a gęstość prądu zmienia się liniowo wraz z napięciem. W tym reżimie pole elektryczne wewnątrz urządzenia jest prawie jednorodne, a gęstość wprowadzonych nośników jest stosunkowo niewielka.

Jednak gdy kontakt skutecznie wprowadza nośniki ładunku do półprzewodnika o niskiej przewodności, wprowadzony ładunek zaczyna gromadzić się wewnątrz urządzenia. Nagromadzony ładunek modyfikuje wewnętrzne pole elektryczne zgodnie z równaniem Poissona. W rezultacie pole elektryczne staje się zależne od położenia, a prąd jest ograniczony przez elektrostatyczną interakcję samego wprowadzonego ładunku.

To zachowanie jest zilustrowane w ??. W przeciwieństwie do przewodnictwa omowego, wewnętrzne pole w reżimie SCLC nie jest jednorodne. Zamiast tego, natężenie pola elektrycznego rośnie wraz z odległością wewnątrz urządzenia, ponieważ dodatkowo wprowadzany ładunek nieustannie modyfikuje potencjał elektrostatyczny.

Równania początkowe

Wyprowadzenie równania Motta-Gurneya rozpoczyna się od dwóch podstawowych równań: równania Poissona i równania prądu dryfowego.

Równanie Poissona wiąże gradient pola elektrycznego z gęstością ładunku:

$$ \frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon} $$

gdzie \(E\) oznacza natężenie pola elektrycznego, \(\rho\) oznacza gęstość ładunku, a \(\varepsilon\) oznacza przenikalność elektryczną półprzewodnika.

Zakładając, że mamy do czynienia z jednym gatunkiem nośnikowym o gęstości \(n\), gęstość ładunku wynosi:

$$ \rho = qn $$

gdzie \(q\) oznacza elementarny ładunek.

Gęstość prądu dryfu wyraża się wzorem:

$$ J = q\mu nE $$

gdzie \(\mu\) oznacza ruchliwość nośników ładunku.

W wyprowadzeniu Mott-Gurney'a pomija się prąd dyfuzyjny. To przybliżenie jest poprawne, gdy pole elektryczne jest wystarczająco silne, aby transport dryfowy dominował nad dyfuzją.

Pełne równanie dyfuzji-dryfu ma postać:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

jednak w warunkach SCLC zakłada się, że składnik dyfuzyjny jest znacznie mniejszy w porównaniu ze składnikiem dryfu:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Wyprowadzenie równania Motta-Gurneya

Zaczynamy od połączenia równania Poissona z równaniem prądu dryfu. Następnie podstawiamy:

$$ n = \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} $$

do wzoru opisującego prąd dryfowy:

$$ J = q\mu nE $$

daje:

$$ J = q\mu \left( \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} \right) E $$

co można uprościć do:

$$ J = \varepsilon\mu E\frac{dE}{dx} $$

Przestawianie:

$$ E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu}\,dx $$

Integracja między urządzeniami:

$$ \int_0^{E} E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu} \int_0^x dx $$

daje:

$$ \frac{E^2}{2} = \frac{Jx}{\varepsilon\mu} $$

W związku z tym:

$$ E(x) = \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } $$

Napięcie na danym elemencie można obliczyć, całkując pole elektryczne:

$$ V = \int_0^L E(x)\,dx $$

Podstawienie wyrażenia z pola:

$$ V = \int_0^L \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } \,dx $$

Wyciąganie stałych poza znak całki:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \int_0^L x^{1/2}\,dx $$

Wykonanie integracji:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \cdot \frac{2}{3}L^{3/2} $$

Podnosząc obie strony do kwadratu:

$$ V^2 = \frac{8JL^3}{9\varepsilon\mu} $$

Na koniec, przekształcając równanie, aby uwzględnić gęstość prądu, otrzymujemy równanie Motta-Gurneya:

$$ J = \frac{9}{8} \varepsilon\mu \frac{V^2}{L^3} $$

Założenia fizyczne, na których opiera się wyprowadzenie.

Choć wyprowadzenie wzoru wydaje się matematycznie proste, opiera się ono na kilku istotnych założeniach fizycznych.

Transport bez użycia pułapek.

Założenia modelu zakładają, że wszystkie wprowadzone nośniki ładunku pozostają ruchome i bezpośrednio przyczyniają się do przewodzenia elektrycznego. W rzeczywistych, nieuporządkowanych półprzewodnikach nośniki ładunku często uwięzione są w zlokalizowanych stanach. To zjawisko modyfikuje rozkład nośników i zmienia zależność prądu od napięcia.

Transport przy użyciu jednego nośnika

Równanie Motta-Gurneya zakłada, że do transportu przyczynia się tylko jeden rodzaj nośnika ładunku. W urządzeniach bipolarnych, zawierających zarówno elektrony, jak i dziury, procesy rekombinacji i efekty związane z neutralnością ładunku unieważniają proste wyprowadzenie modelu SCLC.

Kontakty o liniowej charakterystyce prądowo-napięciowej.

Założenia modelu zakładają, że nośniki ładunku mogą swobodnie wnikać do półprzewodnika. Jeśli na styku występuje bariera Schottky’ego lub bariera wstrzykiwania, prąd jest ograniczony przez wstrzykiwanie na styku, a nie przez ładunek przestrzenny wewnątrz urządzenia.

Jednolita mobilność

W przedstawionym modelu zakłada się, że ruchliwość elektronów nie zależy od natężenia pola elektrycznego ani od gęstości nośników. W wielu organicznych półprzewodnikach ruchliwość jest jednak silnie zależna od pola elektrycznego, stopnia nieuporządkowania oraz od stopnia wypełnienia pułapek.

Znikomy prąd dyfuzyjny

W całym procesie wyprowadzania równań pomija się transport dyfuzyjny. To przybliżenie staje się mniej dokładne przy niskich wartościach pola elektrycznego lub w warunkach zbliżonych do równowagi.

Kiedy równanie Motta-Gurneya przestaje obowiązywać.

Rzeczywiste elementy półprzewodnikowe często odbiegają od idealnego zachowania opisanego modelem Motta-Gurney'ego. Jedną z najczęstszych przyczyn jest obecność stanów pułapkowych. W przypadku ograniczonych pułapkami struktur SCLC, prąd często podlega prawu potęgowemu:

$$ J \propto V^m $$

gdzie \(m > 2\).

Ruchliwość zależna od pola elektrycznego może również w znaczący sposób modyfikować zależność prąd-napięcie. Wiele nieuporządkowanych organicznych półprzewodników wykazuje zachowanie charakterystyczne dla efektu Poole'a-Frenkela, w którym ruchliwość rośnie wykładniczo wraz ze wzrostem natężenia pola elektrycznego.

Przy bardzo wysokich napięciach istotne mogą stać się również szeregowe opory oraz efekty związane z samopodgrzewaniem. Podobnie, jeśli elektrony i dziury występują jednocześnie, rekombinacja może zmienić rozkład pola elektrycznego i unieważnić założenie dotyczące pojedynczego nośnika ładunku.

Z tych powodów często konieczne jest stosowanie numerycznych symulacji opartych na modelu dryfu i dyfuzji, aby dokładnie opisać rzeczywiste urządzenia półprzewodnikowe.

Związek z symulacjami opartymi na modelu dryfu i dyfuzji

Równanie Motta-Gurneya jest niezwykle przydatne, ponieważ pozwala na analityczne zrozumienie zjawiska transportu ograniczanego przez ładunek przestrzenny. Jednak w rzeczywistych urządzeniach półprzewodnikowych często występują rozkłady pułapek, ruchliwości zależne od pola elektrycznego, kontakty nieliniowe, procesy rekombinacji oraz zmienne w przestrzeni pola elektryczne, których nie można opisać za pomocą prostego modelu analitycznego.

Narzędzia do symulacji opartych na modelu dryfu i dyfuzji, takie jak OghmaNano, rozwiązują numerycznie sprzężone równania Poissona i równania ciągłości, co pozwala na uwzględnienie tych nieliniowych efektów w sposób bezpośredni. Dzięki temu możliwe jest badanie realistycznych urządzeń SCLC, które zawierają defekty, stany pułapkowe, gradienty ruchliwości i złożone struktury wielowarstwowe.