Warunki, w których równanie Motta–Gurneya jest poprawne.

Równanie Motta–Gurneya jest jednym z najczęściej stosowanych wzorów analitycznych w fizyce półprzewodnikowych urządzeń. Opisuje ono gęstość prądu w urządzeniu, w którym prąd jest ograniczony przez obecność pułapek i ładunek przestrzenny (SCLC):

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

gdzie \(J\) oznacza gęstość prądu, \(\varepsilon\) – przenikalność dielektryczną, \(\mu\) – ruchliwość nośników, \(V\) – przyłożone napięcie, a \(L\) – grubość elementu.

Chociaż to równanie jest powszechnie stosowane do określania ruchliwości nośników ładunku na podstawie eksperymentalnych pomiarów charakterystyk prądowo-napięciowych, jego wyprowadzenie opiera się na kilku istotnych założeniach fizycznych. W rzeczywistych urządzeniach półprzewodnikowych często dochodzi do naruszenia jednego lub kilku z tych założeń, szczególnie w przypadku nieuporządkowanych półprzewodników organicznych, perowskitów, diod OLED i materiałów o niskiej ruchliwości.

W związku z tym ważne jest, aby zrozumieć nie tylko sposób wyprowadzenia równania Motta–Gurney’a, ale także warunki fizyczne, w których równanie to pozostaje w mocy. Nieuwzględnienie tych warunków może prowadzić do poważnych błędów podczas interpretacji wyników eksperymentalnych pomiarów SCLC.

Transport bez użycia pułapek.

Klasyczne równanie Motta–Gurney'a zakłada, że wszystkie wprowadzone nośniki ładunku pozostają ruchome. Innymi słowy, przyjmuje się, że w półprzewodniku nie występują pułapki.

W wielu rzeczywistych półprzewodnikach nośniki ładunku mogą jednak ulegać uwięzieniu w zlokalizowanych stanach związanych z:

• zaburzenie strukturalne,
• zanieczyszczenia,
• wady, usterki.
• granice ziaren,
• lub zaburzenia energetyczne.

Uwięzione nośniki ładunku nadal wpływają na ładunek przestrzenny wewnątrz urządzenia, ale nie przyczyniają się w znaczący sposób do przewodzenia elektrycznego. W rezultacie zależność prądu od napięcia odbiega od idealnego, kwadratowego przebiegu, przewidywanego przez równanie Motta–Gurney’a.

Zamiast:

$$ J \propto V^2 $$

Ograniczona przestrzeń nowotworowa w małoskomórkowym raku płuca często prowadzi do:

$$ J \propto V^m $$

wraz z:

$$ m > 2 $$

Zatem obecność pułapek stanowi jedną z najważniejszych przeszkód w stosowaniu idealnej teorii SCLC.

Transport przy użyciu jednego nośnika

Wyprowadzenie równania Motta–Gurneya opiera się na założeniu, że do przewodzenia prądu istotny wkład ma tylko jeden rodzaj nośników ładunku. Oznacza to, że urządzenie musi zachowywać się w jeden z następujących sposobów:

• urządzenie, które obsługuje wyłącznie format „dziurkowy”, lub
• urządzenie działające wyłącznie w oparciu o elektrony.

W praktycznych eksperymentach dotyczących ogniw słonecznych z warstwą półprzewodnikową uzyskuje się ten efekt poprzez staranne zaprojektowanie właściwości kontaktu, tak aby jeden rodzaj nośnika ładunku był efektywnie wprowadzany, a drugi rodzaj był blokowany.

Jeśli do urządzenia wprowadzane są jednocześnie elektrony i dziury, procesy rekombinacji stają się istotne, a założenia, na których opiera się wyprowadzenie wzoru Mott–Gurney, przestają być aktualne. W rezultacie, powstający prąd nie może już być opisywany za pomocą prostego modelu SCLC, uwzględniającego tylko jeden rodzaj nośnika ładunku.

To jest jeden z powodów, dla których standardowe urządzenia fotowoltaiczne zazwyczaj nie nadają się do idealnej analizy SCLC. Ogniwa słoneczne są celowo projektowane tak, aby wspierać transport dwubiegunowy i separację ładunków, natomiast urządzenia SCLC są specjalnie konstruowane w celu ograniczenia jednego rodzaju nośnika ładunku.

Kontakty o liniowej charakterystyce prądowo-napięciowej i bariery wstrzykiwania.

Kolejnym kluczowym założeniem równania Motta–Gurneya jest to, że styki efektywnie wprowadzają nośniki ładunku do półprzewodnika. Wymaga to w przybliżeniu warunków odpowiadających wtryskiwaniu prądu zgodnie z prawem Ohma.

Jeśli na granicy metalu i półprzewodnika występuje duża bariera iniekcyjna, to prąd jest ograniczany przez proces iniekcji nośników ładunku, a nie przez ładunek przestrzenny wewnątrz materiału.

W optymalnych warunkach dla raka drobnokomórkowego płuc (SCLC):

• bariera kontaktowa powinna być niewielka.
• wprowadzanie nośników ładunku powinno być efektywne.
• a gęstość nośników wprowadzonych w procesie implantacji powinna znacznie przewyższać gęstość nośników w stanie równowagi.

Jeśli te warunki nie zostaną spełnione, urządzenie przechodzi w tryb ograniczony pod względem wtrysku.

To rozróżnienie ma kluczowe znaczenie w badaniach eksperymentalnych, ponieważ nieomowy kontakt może generować charakterystyki prądowo-napięciowe, które na pierwszy rzut oka przypominają zachowanie typowe dla warstwy przewodzącej o ograniczonym prądzie (SCLC), podczas gdy w rzeczywistości dominującym czynnikiem jest fizyka kontaktu.

Znikomy prąd dyfuzyjny

Wnioskowanie Mott–Gurney zakłada, że transport nośników ładunku jest w całości zdeterminowany przez prąd dryfowy. Wkład związany z dyfuzją jest pomijany.

Pełne równanie dryfu i dyfuzji ma postać:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

gdzie:

• \(q\mu nE\) to prąd dryfu.
• a \(qD\frac{dn}{dx}\) to prąd dyfuzyjny.

Przybliżenie Motta–Gurneya opiera się na następujących założeniach:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

To przybliżenie jest zazwyczaj wystarczające przy wysokich polach elektrycznych i dużych gęstościach nośników, gdzie dominującym mechanizmem jest transport indukowany polem. Jednak przy niskich napięciach lub w warunkach zbliżonych do równowagi, dyfuzja może stać się istotna, a idealne przybliżenie SCLC staje się mniej dokładne.

W półprzewodnikach o niskiej ruchliwości nośników i silnych zaburzeniach, procesy dyfuzji i relaksacji energetycznej mogą znacząco zmieniać rozkład nośników wewnątrz materiału.

Jednolita mobilność

Klasyczna metoda Mott–Gurney zakłada, że ruchliwość nośników ładunku jest jednorodna w przestrzeni i niezależna od pola elektrycznego.

W przypadku wielu rzeczywistych materiałów to założenie nie znajduje potwierdzenia. Organiczne półprzewodniki zazwyczaj wykazują ruchliwość zależną od pola elektrycznego:

$$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$

gdzie \(\gamma\) to współczynnik Poole’a–Frenkela.

To zjawisko zależności od pola wynika z faktu, że energia zakłóceń wpływa na szybkość przeskakiwania nośników między zlokalizowanymi stanami. Wraz ze wzrostem natężenia pola elektrycznego, transport oparty na przeskakiwaniu staje się bardziej efektywny, a obserwowana ruchliwość wzrasta.

W takich warunkach zależność prądu od napięcia odbiega od prostego, kwadratowego przebiegu, jaki przewiduje idealne równanie Motta-Gurney’a.

Znikoma rekombinacja

Równanie Motta–Gurneya zakłada, że rekombinacja jest znikoma. To założenie jest zazwyczaj słuszne w przypadku odpowiednio zaprojektowanych urządzeń, w których wykorzystuje się tylko jeden rodzaj nośnika ładunku, ponieważ do urządzenia wprowadza się tylko jeden rodzaj nośników.

Jednakże, jeśli obecne są nośniki mniejszościowe, zachodzą procesy rekombinacji, takie jak:

• Rekombinacja Shockleya–Reada–Halla,
• Rekombinacja Langevina,
• lub rekombinacja bimolekularna

może modyfikować rozkład gęstości nośników ładunku i unieważnić idealne wyprowadzenie równania dla warstwy przewodzącej.

Identyfikacja prawdziwego małoszyjkowego raka płuca w badaniach eksperymentalnych.

W praktyce, reżim SCLC jest zwykle identyfikowany na podstawie nachylenia krzywej zależności prądu od napięcia, przedstawionej w skali logarytmicznej dla obu osi.

W zakresie rezystancji omowej:

$$ J \propto V $$

a nachylenie wynosi w przybliżeniu 1.

W idealnych warunkach, gdzie nie występują żadne zakłócenia:

$$ J \propto V^2 $$

a nachylenie zbliża się do wartości 2.

Transport ograniczony przez obecność pułapek często prowadzi do powstania nachyleń większych niż 2, natomiast transport ograniczony przez proces wstrzykiwania może generować bardziej złożone zachowania.

Wymagana jest zatem ostrożna interpretacja. Sam fakt występowania kwadratowej zależności prądu od napięcia nie stanowi wystarczającego dowodu na to, że zachodzi idealny transport zgodnie z modelem Motta-Gurney'a.

Związek z symulacją opartą na modelu dryfu i dyfuzji.

Nowoczesne narzędzia do symulacji, wykorzystujące metody dryfu i dyfuzji, takie jak OghmaNano, rozwiązują numerycznie sprzężone równania Poissona, równania ciągłości i równania transportu. Umożliwia to uwzględnienie w sposób wyraźny realistycznych, nieliniowych efektów, w tym:

• rozkłady prawdopodobieństwa pułapek,
• ruchliwość zależna od pola.
• rekombinacja nośników ładunku,
• kontakty nieliniowe,
• oraz zmienne w przestrzeni pola elektryczne.

W rezultacie, symulacje numeryczne często pozwalają na uzyskanie dokładniejszego opisu rzeczywistych urządzeń SCLC niż same idealne modele teoretyczne.