Absorção, emissão estimulada e ganho óptico

O ganho ótico é o que permite que um poço quântico amplifique a luz: ele ocorre quando a emissão estimulada excede a absorção, o que exige uma inversão de população entre as sub-bandas de condução e de valência. Esta página reúne o cálculo do ganho da OghmaNano, partindo dos seus elementos físicos — estatísticas de portadores, densidade de estados bidimensional, elementos da matriz ótica e alargamento da forma da linha — e especifica claramente o que a implementação atual inclui e o que não inclui.

1. Níveis de ocupação e níveis de quasi-Fermi

Sob excitação ótica ou elétrica, os eletrões e as lacunas são, cada um, termalizados internamente, mas não estão em equilíbrio entre si, pelo que cada tipo de portador tem o seu próprio nível de quasi-Fermi. A ocupação de um estado com energia \(E\) é dada pela função de Fermi-Dirac.

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

com \(E_F=E_{F,c}\) para os estados de condução e \(E_F=E_{F,v}\) para os estados de valência. Os dois níveis de quasi-Fermi afastam-se à medida que o bombeamento aumenta; a inversão de população e, consequentemente, o ganho, exigem que a sua separação exceda a energia de transição.

2. Densidade da folha e o integral bidimensional

Uma vez que o movimento é livre no plano, cada sub-banda é uma banda bidimensional e a sua densidade de portadores é o integral do vetor de onda no plano. A densidade de estados bidimensional fornece o peso da integração \(k\,dk/2\pi\) por spin/degenerescência, pelo que a densidade de eletrões na camada é

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

com \(g\), a degenerescência do estado e a soma é calculada sobre as sub-bandas. O OghmaNano avalia esta integral numericamente, com base na dispersão calculada. Dado um valor alvo para a densidade da camada, determina o nível de quasi-Fermi por meio de um método de bisseção — ajustando \(E_F\) até que a integral corresponda ao valor alvo — e faz o mesmo para os portadores de carga positivos \(1-f\). No modo de espectro completo, onde os estados semelhantes a elétrons e a portadores de carga positivos se misturam, o peso do caráter S de cada estado dimensiona a sua contribuição.

3. Inserir os elementos da matriz.

Cada transição contribui em proporção ao seu elemento de matriz ótico elemento de matriz \(M^2\), o fator de sobreposição e caráter ao quadrado calculado a partir dos envelopes. A escala absoluta é determinada por um fator prévio, calculado a partir da energia de Kane e das constantes óticas.

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

onde \(n_r\) é o índice de refração, \(W\) a largura do poço, \(\omega\) a frequência angular ótica e \(E_p\) a energia de Kane. O \(1/W\) converte a resposta da camada numa espécie de coeficiente de ganho volumétrico (unidades de inverso de comprimento).

4. Alargamento da forma da linha espectral

As transições reais são alargadas através da dispersão numa forma de linha, em vez de uma função delta abrupta. A OghmaNano utiliza uma função de Lorentz com uma semi-largura de \(\gamma\).

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

centra-se em cada energia de transição \(E = E_e(k) - E_v(k)\). Isso distribui cada transição por uma gama de energias de fotões e suaviza o espectro.

5. Aumento, absorção e ganho líquido estimulados.

Para uma determinada energia do fotão \(\hbar\omega\), cada transição contribui para a emissão estimulada com uma probabilidade de \(f_c(1-f_v)\) (elétron presente no estado superior, lacuna no estado inferior) e para a absorção com uma probabilidade de \(f_v(1-f_c)\). Ao somar sobre as sub-bandas e sobre a integral bidimensional,

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

onde \(C\) é o fator de proporcionalidade. O ganho líquido é a diferença entre eles.

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

O ganho líquido é positivo apenas quando a população está invertida — ou seja, quando \(f_c > f_v\) — o que corresponde à condição de Bernard–Duraffourg, segundo a qual a separação dos níveis de quasi-Fermi excede a energia do fotão. Abaixo do limiar, a mesma expressão é negativa, descrevendo corretamente a absorção.

6. Espectros TE/TM e variação da densidade.

Para o modelo wurtzite, o OghmaNano executa a integral de ganho duas vezes, uma vez com os elementos da matriz TE (base, \(P_2\)) e outra vez com os elementos da matriz TM (eixo c, \(P_1\)), produzindo espectros TE e TM separados, cuja razão reflete o caráter orbital de valência dos estados mais externos. Todo o cálculo é repetido para uma variedade de densidades de folha, de modo que o resultado é uma família de espectros que mostram como o ganho se desenvolve com o bombeamento; uma densidade volumétrica aproximada \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\) é apresentada para comparação com os valores em massa.