Obtenção das Equações do Modo Óptico

Os modos ópticos são as distribuições de campo eletromagnético permitidas que podem propagar-se através de uma estrutura fotónica. Estes modos surgem naturalmente das soluções das equações de Maxwell, em conjunto com as condições de contorno do material impostas pela distribuição do índice de refração.

Nesta página, são apresentadas as equações do modo ótico utilizadas em simulações de guias de onda e dispositivos fotónicos, partindo das equações de Maxwell e avançando para o problema de autovalores da matriz de diferenças finitas, que é resolvido numericamente pelo solucionador de modos óticos.

As equações de Maxwell

Em materiais dielétricos não magnéticos e sem fontes de campo, as equações de Maxwell podem ser escritas da seguinte forma:

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

Para materiais dielétricos isotrópicos:

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

Considerando a dependência harmónica no tempo:

\[ e^{-i\omega t} \]

as equações de curvatura passam a ser:

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

Obtendo a equação da onda.

Aplicando o operador rotacional à lei de Faraday, obtemos:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

Substituindo a lei de Ampère:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

Utilizando a identidade vetorial:

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

e considerando materiais dielétricos sem fontes de polarização, onde:

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

apresenta a equação de Helmholtz em forma vetorial:

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

onde:

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

é o vetor de onda no espaço livre e:

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

é a distribuição do índice de refração.

Abordagem do modo guiado.

Assume-se que os modos óticos que se propagam ao longo da direção longitudinal \(z\) têm a seguinte forma:

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

onde:

• \( \mathbf{E}(x,y) \) representa o perfil do modo transversal.
• \( \beta \) é a constante de propagação.

Ao substituir esta expressão na equação de Helmholtz, obtemos:

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

Esta equação define um problema de autovalores, no qual os valores permitidos de \( \beta \) correspondem aos modos óticos suportados pela estrutura.

Índice de refração efetivo

A constante de propagação é frequentemente expressa utilizando o índice de refração efetivo:

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

O índice efetivo oferece uma medida prática do confinamento ótico. Os modos com um valor \(n_{\mathrm{eff}}\) mais elevado tendem a apresentar um confinamento mais forte nas regiões de índice mais alto.

Modos elétricos transversais (TE)

No caso da polarização TE, o campo elétrico é perpendicular ao plano de propagação. A equação fundamental reduz-se a:

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

Esta equação de Helmholtz escalar é frequentemente utilizada para calcular os modos óticos em guias de onda em forma de lâmina e em estruturas dielétricas multicamadas.

Modos magnéticos transversais (TM)

No caso da polarização TM, o campo magnético é perpendicular ao plano de propagação. A variação espacial da função dielétrica modifica a equação fundamental:

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

Os modos TM são geralmente mais sensíveis às descontinuidades no índice de refração e são particularmente importantes em sistemas plasmónicos e em sistemas com alto contraste de índice.

Discretização por diferenças finitas

As soluções analíticas estão disponíveis apenas para estruturas relativamente simples. A maioria dos dispositivos fotónicos realistas requer, portanto, métodos numéricos.

O solucionador de modos ópticos discretiza os operadores diferenciais transversais, utilizando aproximações por diferenças finitas numa malha retangular.

Por exemplo, a segunda derivada na direção \(y\) pode ser aproximada utilizando a seguinte fórmula:

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

São criadas expressões equivalentes para a direção \(x\). Em malhas não uniformes, são utilizados os espaçamentos localmente definidos à esquerda e à direita da malha para construir coeficientes de diferenças finitas assimétricos.

Problema dos autovalores de uma matriz

Após a discretização, as equações do modo ótico transformam-se num problema de autovalores de uma matriz esparsa:

\[ A\psi = \beta^2\psi \]

onde:

• \(A\) contém os termos do Laplaciano por diferenças finitas e do índice de refração.
• \( \psi \) representa o campo ótico discretizado.
• \( \beta^2 \) é o autovalor.

A estrutura de matriz esparsa surge porque cada ponto da malha se relaciona apenas com os pontos vizinhos no esquema de diferenças finitas.

Interpretação física

Os autovetores resultantes correspondem aos modos óticos suportados pela estrutura fotónica, enquanto os autovalores determinam os seus índices de refração efetivos.

Diferentes modos próprios representam diferentes distribuições de campo e características de confinamento no interior do dispositivo. Alguns modos mantêm-se fortemente confinados, enquanto outros libertam energia para as camadas circundantes ou irradiam para o espaço livre.