Wyprowadzenie równań opisujących mody optyczne

Modu optyczne to dozwolone rozkłady pola elektromagnetycznego, które mogą rozprzestrzeniać się w strukturze fotonicznej. Modu te wynikają naturalnie z rozwiązań równań Maxwella, uwzględniających warunki brzegowe materiału, które są narzucone przez rozkład współczynnika załamania.

Na tej stronie wyprowadza się równania opisujące mody optyczne, które są wykorzystywane w symulacjach światłowodów i układów fotonicznych. Rozpoczyna się od równań Maxwella, a następnie przechodzi się do problemu wyznaczania wartości własnych macierzy metodą różnic skończonych, który jest rozwiązywany numerycznie przez program do analizy modów optycznych.

Równania Maxwella

W materiałach dielektrycznych, które nie zawierają wolnych ładunków i nie wykazują właściwości magnetycznych, równania Maxwella można zapisać w następującej postaci:

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

Dla materiałów dielektrycznych o właściwościach izotropowych:

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

Zakładając, że zależność od czasu ma charakter harmoniczny:

\[ e^{-i\omega t} \]

równania opisujące zjawisko zwijania przyjmują postać:

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

Wyprowadzenie równania falowego

Obliczając wirość wyrażenia zawartego w prawie Faradaya, otrzymujemy:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

Zastąpienie prawa Ampère'a:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

Wykorzystując tożsamość wektorową:

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

oraz zakładając, że mamy do czynienia z materiałami dielektrycznymi, które nie zawierają żadnych źródeł polaryzacji, gdzie:

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

otrzymujemy wektorowe równanie Helmholtza:

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

gdzie:

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

gdzie:

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

to rozkład współczynnika załamania.

Metoda przybliżona z wykorzystaniem funkcji przewodnika.

Zakłada się, że fale optyczne rozchodzące się wzdłuż kierunku podłużnego \(z\) mają następującą postać:

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

gdzie:

• \( \mathbf{E}(x,y) \) to profil rozkładu pola w poprzecznym trybie.
• \( \beta \) to stała propagacji.

Podstawiając tę postać do równania Helmholtza, otrzymujemy:

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

To równanie definiuje problem dotyczący wartości własnych, w którym dopuszczalne wartości \( \beta \) odpowiadają obsługiwanym przez strukturę trybom optycznym.

Efektywny współczynnik załamania

Stałą propagacji często wyraża się za pomocą efektywnego współczynnika załamania:

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

Efektywny współczynnik stanowi wygodny wskaźnik stopnia ograniczenia światła. Modulacje o większej wartości \(n_{\mathrm{eff}}\) są zazwyczaj silniej ograniczone w obszarach o wyższym współczynniku załamania.

Poprzeczne fale elektromagnetyczne (TE)

W przypadku polaryzacji TE pole elektryczne jest skierowane prostopadle do płaszczyzny propagacji. Równanie opisujące to zjawisko upraszcza się do:

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

To skalowane równanie Helmholtza jest powszechnie stosowane do obliczania modów optycznych w światłowodach płaskich i wielowarstwowych strukturach dielektrycznych.

Poprzeczne mody magnetyczne (TM)

W przypadku polaryzacji TM pole magnetyczne jest skierowane prostopadle do płaszczyzny propagacji. Przestrzenna zmiana funkcji dielektrycznej modyfikuje równanie opisujące to zjawisko:

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

Tryby TM są zasadniczo bardziej wrażliwe na zmiany współczynnika załamania i odgrywają szczególnie ważną rolę w systemach plazmonicznych oraz w systemach o dużym kontraście współczynników załamania.

Metoda różnic skończonych

Analityczne rozwiązania są dostępne tylko dla stosunkowo prostych struktur. Dlatego w przypadku większości realistycznych urządzeń fotonicznych konieczne jest stosowanie metod numerycznych.

Metoda rozwiązywania równań falowych w optyce dyskretyzuje poprzeczne operatory różniczkowe, stosując przybliżenia oparte na metodzie różnic skończonych na siatce prostokątnej.

Na przykład, drugą pochodną w kierunku \(y\) można przybliżyć za pomocą następującego wzoru:

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

Dla kierunku \(x\) tworzy się odpowiednie wyrażenia. W przypadku siatek o nieregularnej strukturze, do tworzenia asymetrycznych współczynników różnic skończonych wykorzystuje się lokalne odstępy między węzłami siatki po lewej i prawej stronie.

Problem wartości własnych macierzy

Po dyskretyzacji równania opisujące mody optyczne przekształcają się w problem wyznaczania wartości własnych rzadkiej macierzy:

\[ A\psi = \beta^2\psi \]

gdzie:

• \(A\) zawiera wyrażenia opisujące aproksymację laplasjanu metodą różnic skończonych oraz współczynniki załamania.
• \( \psi \) to zdyskretyzowane pole optyczne.
• \( \beta^2 \) to wartość własna.

Rzadka struktura macierzy wynika z faktu, że każdy węzeł siatki jest połączony tylko z sąsiednimi węzłami w schemacie różnic skończonych.

Fizyczna interpretacja

Otrzymane wektory własne odpowiadają obsługiwanym przez fotoniczną strukturę trybom optycznym, natomiast wartości własne określają ich efektywne współczynniki załamania.

Różne mody własne odpowiadają różnym rozkładom pola i właściwościom ograniczania wewnątrz urządzenia. Niektóre mody pozostają silnie ograniczone, podczas gdy inne powodują rozprzestrzenianie się energii do otaczających warstw lub emitują ją w przestrzeń.