Виведення рівнянь для оптичних мод.

Оптичні моди – це дозволені розподіли електромагнітного поля, які можуть поширюватися в фотонній структурі. Ці моди природним чином виникають як розв’язки рівнянь Максвелла разом із граничними умовами матеріалу, що визначаються розподілом показника заломлення.

На цій сторінці наведено виведення рівнянь для оптичних мод, які використовуються в моделюванні хвилеводів і фотонних пристроїв. Виведення починається з рівнянь Максвелла і поступово переходить до задачі визначення власних значень матриці методом скінченних різниць, яка розв’язується чисельно за допомогою програмного забезпечення для розв’язання задач оптичних мод.

Рівняння Максвелла

У діелектричних матеріалах, які не містять вільних зарядів і не є магнітними, рівняння Максвелла можна записати так:

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

Для ізотропних діелектричних матеріалів:

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

Припускаючи гармонічну залежність від часу:

\[ e^{-i\omega t} \]

рівняння для обчислення кривизни набувають такого вигляду:

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

Виведення хвильового рівняння

Якщо взяти ротор (вихровий градієнт) від рівняння Фарадея, отримаємо:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

Застосування закону Ампера:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

Використовуючи векторну тотожність:

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

і, припускаючи, що розглядаються діелектричні матеріали, які не містять домішок:

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

надає векторне рівняння Гельмгольца:

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

де:

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

де – вектор хвилі у вільному просторі, і:

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

це розподіл показника заломлення.

Підхід із використанням режиму покрокових інструкцій.

Вважається, що оптичні моди, які поширюються вздовж поздовжньої осі \(z\), мають таку форму:

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

де:

• \( \mathbf{E}(x,y) \) – це поперечний профіль модового поля.
• \( \beta \) — це константа поширення.

Підставивши цю формулу в рівняння Гельмгольца, отримаємо:

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

Це рівняння визначає задачу знаходження власних значень, у якій допустимі значення \( \beta \) відповідають підтримуваним оптичним модам структури.

Ефективний показник заломлення

Константу поширення часто виражають за допомогою ефективного показника заломлення:

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

Ефективний показник забезпечує зручний спосіб оцінки оптичного обмеження. Моди з більшим значенням \(n_{\mathrm{eff}}\) зазвичай сильніше обмежені в областях із високим показником заломлення.

Поперечні електричні (TE) режими

Для TE-поляризації електричне поле є перпендикулярним до площини поширення. Основне рівняння спрощується до:

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

Це скалярне рівняння Гельмгольца зазвичай використовується для обчислення оптичних мод у тонкоплівкових хвилеводах і багатошарових діелектричних структурах.

Поперечні магнітні (ТМ) режими

Для TM-поляризації магнітне поле є перпендикулярним до площини поширення. Просторова зміна діелектричної функції змінює основне рівняння:

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

Режими TM, як правило, більш чутливі до розривів показника заломлення і мають особливо важливе значення в плазмонних системах і системах із високим контрастом показників заломлення.

Метод скінченних різниць.

Аналітичні розв’язки можливі лише для відносно простих структур. Тому для більшості реалістичних фотонних пристроїв необхідні чисельні методи.

Метод розв’язання оптичних задач дискретизує поперечні диференціальні оператори, використовуючи скінченно-різницеві наближення на прямокутній сітці.

Наприклад, другу похідну в напрямку \(y\) можна наближено обчислити за допомогою наступної формули:

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

Для напрямку \(x\) створюються відповідні вирази. У нерівномірних сітках для побудови асиметричних коефіцієнтів скінченних різниць використовуються локальні ліві та праві інтервали сітки.

Задача про власні значення матриці

Після дискретизації рівняння для оптичних мод перетворюються на задачу знаходження власних значень розрідженої матриці:

\[ A\psi = \beta^2\psi \]

де:

• \(A\) містить скінченно-різницевий оператор Лапласа та члени, що визначають показник заломлення.
• \( \psi \) – це дискретизоване оптичне поле.
• \( \beta^2 \) — власне значення.

Розріджена матрична структура виникає через те, що кожна точка сітки пов’язана лише з сусідніми точками в дискретній схемі.

Фізична інтерпретація

Отримані власні вектори відповідають підтримуваним оптичним модам фотонної структури, а власні значення визначають їхні ефективні показники заломлення.

Різні власні модальності відображають різні розподіли поля та характеристики локалізації всередині пристрою. Деякі модальності залишаються сильно локалізованими, тоді як інші випромінюють енергію в навколишні шари або розсіюють її у відкритий простір.