Απόδειξη των Εξισώσεων της Οπτικής Μορφής

Οι οπτικές διαμορφώσεις είναι οι επιτρεπόμενες κατανομές του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που μπορούν να διαδοθούν μέσω μιας φωτονικής δομής. Αυτές οι διαμορφώσεις προκύπτουν φυσικά από τις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell, σε συνδυασμό με τις οριακές συνθήκες του υλικού που επιβάλλονται από την κατανομή του δείκτη διάθλασης.

Σε αυτή τη σελίδα παρουσιάζεται η εξαγωγή των εξισώσεων οπτικής διαμόρφωσης που χρησιμοποιούνται στις προσομοιώσεις οπτικών αγωγών και φωτονικών συσκευών, ξεκινώντας από τις εξισώσεις Maxwell και προχωρώντας στην επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών, η οποία επιλύεται αριθμητικά από τον επιλυτή οπτικών διαμορφώσεων.

Οι εξισώσεις του Μάξγουελ

Σε υλικά που δεν περιέχουν πηγές και δεν είναι μαγνητικά, οι εξισώσεις του Maxwell μπορούν να γραφτούν ως εξής:

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

Για ισότροπα διηλεκτρικά υλικά:

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

Υποθέτοντας αρμονική χρονική εξάρτηση:

\[ e^{-i\omega t} \]

οι εξισώσεις για την καμπυλότητα γίνονται:

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

Εξαγωγή της εξίσωσης των κυμάτων

Λαμβάνοντας την περιστροφή του νόμου του Faraday, προκύπτει:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

Αντικαθιστώντας τον νόμο του Ampère:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

Χρησιμοποιώντας την διανυσματική ταυτότητα:

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

και υποθέτοντας διηλεκτρικά υλικά χωρίς πηγές, όπου:

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

παρέχει την εξίσωση Helmholtz σε διανυσματική μορφή:

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

όπου:

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

είναι ο διανυσματικός φορέας της ελεύθερης διαδοχής και:

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

είναι η κατανομή του δείκτη διάθλασης.

Προτεινόμενη προσέγγιση για την καθοδηγούμενη λειτουργία.

Οι οπτικές διαστάσεις που διαδίδονται κατά μήκος της διαμήκους κατεύθυνσης \(z\) υποτίθεται ότι έχουν την ακόλουθη μορφή:

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

όπου:

• \( \mathbf{E}(x,y) \) είναι το διαμήκες προφίλ της διαμόρφωσης.
• Το \( \beta \) είναι η σταθερά διάδοσης.

Αντικαθιστώντας αυτή τη μορφή στην εξίσωση του Helmholtz, παίρνουμε:

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα πρόβλημα ιδιοτιμών, στο οποίο οι επιτρεπόμενες τιμές του \( \beta \) αντιστοιχούν στις υποστηριζόμενες οπτικές ιδιομορφές της δομής.

Αποτελεσματικός δείκτης διάθλασης

Η σταθερά διάδοσης εκφράζεται συχνά χρησιμοποιώντας τον αποτελεσματικό δείκτη διάθλασης:

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

Ο αποτελεσματικός δείκτης διάθλασης παρέχει μια πρακτική μέτρηση του οπτικού περιορισμού. Οι τρόποι με μεγαλύτερη τιμή \(n_{\mathrm{eff}}\) περιορίζονται γενικά πιο έντονα στις περιοχές με υψηλό δείκτη διάθλασης.

Διαμήκεις ηλεκτρικές διαμορφώσεις (TE)

Για την πόλωση TE, το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο διάδοσης. Η βασική εξίσωση απλοποιείται σε:

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

Αυτή η κλιμακωτή εξίσωση Helmholtz χρησιμοποιείται συνήθως για τον υπολογισμό των οπτικών τρόπων σε επίπεδες οπτικές ίνες και σε πολυεπίπεδες διηλεκτρικές δομές.

Διαμήκεις μαγνητικές διαμορφώσεις (TM)

Για την πόλωση TM, το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο διάδοσης. Η χωρική μεταβολή της διηλεκτρικής συνάρτησης τροποποιεί τη βασική εξίσωση:

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

Οι λειτουργίες TM είναι γενικά πιο ευαίσθητες στις ασυνέχειες του δείκτη διάθλασης και είναι ιδιαίτερα σημαντικές στα πλασμονικά συστήματα και στα συστήματα με υψηλή αντίθεση δείκτη.

Διακριτοποίηση με πεπερασμένες διαφορές

Οι αναλυτικές λύσεις είναι διαθέσιμες μόνο για σχετικά απλές δομές. Ως εκ τούτου, οι περισσότερες ρεαλιστικές φωτονικές συσκευές απαιτούν αριθμητικές μεθόδους.

Ο επιλυτής οπτικής διαμόρφωσης διακριτοποιεί τους εγκάρσιους διαφορικούς τελεστές χρησιμοποιώντας προσεγγίσεις πεπερασμένων διαφορών σε ένα ορθογώνιο πλέγμα.

Για παράδειγμα, η δεύτερη παράγωγος στην κατεύθυνση \(y\) μπορεί να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας:

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

Δημιουργούνται ισοδύναμες εκφράσεις για την κατεύθυνση \(x\). Σε μη ομοιόμορφα πλέγματα, χρησιμοποιούνται οι τοπικές αριστερές και δεξιές αποστάσεις του πλέγματος για τη δημιουργία ασύμμετρων συντελεστών πεπερασμένων διαφορών.

Πρόβλημα ιδιοτιμών πινάκων

Μετά την διακριτοποίηση, οι εξισώσεις των οπτικών τρόπων μετατρέπονται σε ένα πρόβλημα ιδιοτιμών με αραιή μήτρα:

\[ A\psi = \beta^2\psi \]

όπου:

• Το \(A\) περιέχει τους πεπερασμένους διαφορικούς όρους του Λαπλασιανού και τους όρους του δείκτη διάθλασης.
• Το \( \psi \) είναι το διακριτοποιημένο οπτικό πεδίο.
• Το \( \beta^2 \) είναι η ιδιοτιμή.

Η αραιή δομή της μήτρας προκύπτει επειδή κάθε σημείο του πλέγματος συνδέεται μόνο με τα γειτονικά σημεία στο πρότυπο πεπερασμένων διαφορών.

Φυσική ερμηνεία

Τα διανύσματα που προκύπτουν αντιστοιχούν στις υποστηριζόμενες οπτικές ιδιομορφίες της φωτονικής δομής, ενώ οι ιδιοτιμές καθορίζουν τους αποτελεσματικούς δείκτες διάθλασης αυτών.

Διαφορετικές ιδιομορφές αντιπροσωπεύουν διαφορετικές κατανομές πεδίου και χαρακτηριστικά περιορισμού εντός της συσκευής. Ορισμένες ιδιομορφές παραμένουν ισχυρά περιορισμένες, ενώ άλλες διαχέουν ενέργεια σε γειτονικές στρώσεις ή ακτινοβολούν στον ελεύθερο χώρο.