Akustische Phononenstreuung in Halbleitern

1. Was ist die akustische Phononenstreuung?

Die Atome in einem Halbleiter sind nicht in Ruhe. Sie schwingen um ihre üblichen Positionen, und diese Schwingungen können sich durch das Kristallgitter ausbreiten, ähnlich wie sich Schall durch die Luft bewegt. In der Quantenphysik wird ein Paket von Gittervibrationen als Phonon bezeichnet. Ein akustisches Phonon ist die Quantenbeschreibung einer Schallwelle, die sich durch das Kristallgitter bewegt.

Abbildung ?? zeigt die beiden grundlegenden Arten von akustischen Schwingungen. Bei einer Longitudinalwelle bewegen sich die Atome in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle. Dadurch entstehen bewegte Bereiche, in denen das Kristallgitter komprimiert oder gedehnt wird. Bei einer Transversalwelle bewegen sich die Atome seitlich, quer zur Ausbreitungsrichtung. Dies erzeugt eine Scherbewegung und nicht nur eine einfache Volumenänderung. Ein dreidimensionaler Kristall besitzt normalerweise eine longitudinale und zwei transversale Schwingungsmoden; in anisotropen Materialien können sich diese Bewegungen vermischen.

Warum sind diese Schwingungen für ein Elektron von Bedeutung? Durch leichtes Zusammendrücken, Dehnen oder Verformen eines Kristalls verändert sich die Umgebung, die seine Ladungsträger erfahren. Eine sich ausbreitende Schwingung erzeugt daher eine sich bewegende Störung in den elektronischen Energien des Halbleiters. Ein Elektron oder ein Loch, das mit dieser Störung interagiert, kann die Richtung seiner Bewegung ändern. Dies wird als akustische Phononenstreuung bezeichnet.

Streuung bedeutet nicht zwangsläufig, dass ein Ladungsträger viel Energie verliert. Akustische Phononen tauschen oft nur eine geringe Menge an Energie mit einem Elektron aus, können aber dennoch dessen Richtung erheblich verändern. Dies ist wichtig, da wiederholte Richtungsänderungen es den Ladungsträgern erschweren, sich gleichmäßig durch eine Komponente zu bewegen, was ihre Beweglichkeit reduziert. Abbildung ?? weiter unten in diesem Tutorial veranschaulicht, warum eine große Richtungsänderung die Beweglichkeit stärker beeinflusst als eine kleine.

Akustische Phononen existieren in Materialien wie Silizium, GaAs und GaN und streuen Ladungsträger sowohl in massiven Halbleitern als auch in Quantenpotentialtälern. Sie unterscheiden sich von den optischen Schwingungen, die in der Fröhlich-Streuungs-Lektion behandelt werden: Akustische Wellen sind schallähnliche Gitterbewegungen, deren Energie bei langen Wellenlängen sehr gering wird. Die folgenden Abschnitte erläutern die physikalischen Grundlagen quantitativ, beginnend damit, wie eine Verformung die Energieniveaus der elektronischen Bandstruktur verschiebt.

2. Wie eine Gittervibration einen Ladungsträger streut.

Akustische Phononen sind wellenartige Schallwellen: längere Wellenlängen entsprechen niedrigeren Schwingungsfrequenzen. Bei ausreichend langen Wellenlängen ist ihre Frequenz ungefähr proportional zu ihrem Wellenvektor. Der einfachste akustische Streumechanismus ist die Kopplung über das Deformationspotential. Wenn das Gitter gestaucht oder gedehnt wird, ändern sich die Energieniveaus der Elektronenbänder. Eine vorbeiziehende akustische Welle erzeugt daher ein räumlich und zeitlich veränderliches Potential, das von Elektronen und Löchern wahrgenommen wird. Für ein isotropes Band kann diese Energieverschiebung durch folgende Formel dargestellt werden:

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

wobei \(\mathbf u\) die Gitterverschiebung, \(\boldsymbol\varepsilon\) der Dehnungstensor und \(D_{\mathrm{ac}}\) das akustische Deformationspotenzial mit der Einheit Energie ist. Eine Longitudinalwelle erzeugt eine lokale Kompression und Expansion, was zu einer von Null verschiedenen Spur des Dehnungstensors führt. Eine rein transversale ebene Welle hat eine Spur des Dehnungstensors von Null, weshalb sie nicht über diesen skalaren hydrostatischen Term gekoppelt ist. Das bedeutet jedoch nicht, dass sich transversale akustische Phononen niemals an Trägern streuen können: anisotrope und mehrbandige Deformationspotenziale können ebenfalls mit der Schubdehnung gekoppelt sein.

Im Allgemeinen ist der symmetrische Dehnungstensor

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

Der durch die Spannung induzierte elektronische Hamilton-Operator kann mehrere unabhängige Deformationspotentiale enthalten, anstatt eines einzigen konstanten Wertes. Solche Beschreibungen werden wichtig für anisotrope Leitungsbandtäler und Valenzbänder mit gemischtem Orbital- und Spincharakter.

3. Phononenbesetzung und die elastische Näherung

Akustische Phononen können sowohl die Energie als auch die Richtung eines Ladungsträgers verändern. Abbildung ?? veranschaulicht diese beiden Effekte, bevor wir ihre mathematische Beschreibung vorstellen.

Ein Ladungsträger kann ein Akustisches Phonon absorbieren und dabei Energie gewinnen \(\hbar\omega_\lambda\) oder ein solches Phonon emittieren und dabei die gleiche Energie verlieren. Die mittlere Anzahl von Phononen in einem bestimmten Modus bei der Gittertemperatur \(T\) wird durch die Bose-Einstein-Verteilung beschrieben:

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

Die Absorption ist proportional zu \(N_{\mathbf q\lambda}\), während die Emission proportional zu \(N_{\mathbf q\lambda}+1\) ist. Die zusätzliche Einheit steht für spontane Emission. Bei ausreichend hoher Temperatur, bei der die Phononen den größten Teil des Impulstransfers tragen (\(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\)), nähert sich die Besetzung einem bestimmten Wert.

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

Die Energien von akustischen Phononen sind oft gering im Vergleich zu den relevanten Trägerenergien, was die quasi-elastische, gleichverteilungsbasierte Annäherung \(E_f\simeq E_i\) ermöglicht. Absorption und Emission tragen dann zu Übergängen zwischen elektronischen Zuständen mit annähernd gleicher Energie bei. Dies ist eine Annäherung und keine Aussage darüber, dass akustische Phononen keine Energie transportieren. Die Annäherung wird bei niedrigen Temperaturen, bei hohen Phonon-Wellenvektoren oder wenn die ausgetauschte Energie mit der Trägerenergie vergleichbar ist, weniger zuverlässig.

4. Matrixelement des Deformationspotenzials

Im isotropen Modell mit langen Wellenlängen koppelt ein longitudinaler akustischer Phonon über das Deformationspotential an ein Trägerteilchen. Für einen elektronischen Zustand in Form einer ebenen Welle hat die Einzel-Phonon-Kopplung die übliche Größenordnung.

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

wobei \(\rho\) die Massendichte und \(V\) das Normalisierungsvolumen der Phononen ist. Für allgemeinere elektronische Zustände enthält die Kopplung auch eine Überlappung zwischen der Anfangs- und der Endwellenfunktion. Die Streuungsstärke hängt daher sowohl von der Gittervibration als auch von den Eigenschaften des elektronischen Bandes ab.

Die Kombination von Phononenabsorption und -emission im hochtemperaturbedingten, nahezu elastischen Bereich führt zu einem besonders nützlichen Ergebnis für den isotropen, longitudinalen Beitrag:

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

wobei \(\mathcal F_{if}\) den entsprechenden Überlappungsfaktor für den elektronischen Zustand bezeichnet. Dieser Ausdruck zeigt, warum die akustische Streuung in der Regel mit steigender Temperatur stärker wird. Er zeigt auch, dass die Streuung nicht nur von einem einstellbaren Mobilitätsparameter abhängt, sondern auch vom Verformungspotenzial, der Kristallstruktur und der elastischen Reaktion.

5. Longitudinal-, Transversal- und anisotropische Schallmoden

In vielen Halbleitermaterialien breitet sich der Schall mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten entlang verschiedener kristallographischer Richtungen aus. Die akustischen Frequenzen und die Verschiebungspolarisationen ergeben sich aus dem Elastizitätstensor des Kristalls \(C_{ijkl}\). In der Kontinuumsbeschreibung werden sie mit der Christoffel-Gleichung bestimmt:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

Die Eigenwerte bestimmen die Schallgeschwindigkeiten, während die Eigenvektoren \(\mathbf e^{(\lambda)}\) die Phononenpolarisationen bestimmen. Diese Polarisationen legen fest, welche Kombinationen aus Druck- und Scherdeformation durch jeden Modus erzeugt werden, und somit, welche Kopplungen zwischen Deformationspotenzialen möglich sind.

Bei einem kubischen Kristall wird das elastische Verhalten durch drei unabhängige Elastizitätsmoduln beschrieben, die üblicherweise mit \(C_{11}\), \(C_{12}\) und \(C_{44}\) bezeichnet werden. Ein hexagonaler Wurtzit-Kristall erfordert zusätzliche unabhängige elastische Konstanten, da das Verhalten entlang der \(c\)-Achse des Kristalls im Allgemeinen von dem Verhalten in der Basisebene abweicht. Elastische Anisotropie kann daher die Streuraten und die Beweglichkeit bereits vor der Berücksichtigung der elektronischen Bandanisotropie richtungsabhängig machen.

6. Verformungspotenziale für verschiedene elektronische Bänder

Das skalare Deformationspotential ist ein guter Ausgangspunkt, aber reale Halbleiter können mehrere Energiebänder, Täler und Wellenfunktionskomponenten aufweisen. In diesen Materialien kann akustische Spannung elektronische Zustände verschieben, aufspalten oder miteinander vermischen.

Leitungsbandtäler in Silizium: Die Reaktion eines Tales hängt von seiner Ausrichtung ab. Eine gängige Beschreibung unterscheidet zwischen einem hydrostatischen Deformationspotential \(\Xi_d\) und einem uniaxialen Term \(\Xi_u\):

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

wobei \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) der Einheitsvektor der Talsymmetrieachse ist. Die Dehnung kann daher die Täler entlang verschiedener Kristallachsen unterschiedlich beeinflussen.

Valenzbänder und Mehrband-Halbleiter: Schwerloch-, Leichtloch- und Spin-Bahn-gekoppelte Zustände reagieren auf Scher- und uniaxialen Spannungen sowie auf hydrostatische Spannungen. Der Bir-Pikus-Spannungs-Hamiltonoperator bietet eine Standardbeschreibung für Zinkblende und verwandte Mehrbandsysteme. Die Streuwahrscheinlichkeit zwischen den Zuständen \(|i\rangle\) und \(|f\rangle\) wird durch ein Matrixelement der Spannungsstörung bestimmt.

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

Dieses Modell ermöglicht es, dass die durch Scherung verursachte Kopplung, die Vermischung von Bändern und die Auswahlregeln die Streuwahrscheinlichkeit beeinflussen. Die relevanten Deformationspotenziale und der Deformations-Hamiltonoperator hängen von der Symmetrie und der Bandstruktur des Halbleiters ab; eine einzige universelle skalare Konstante kann nicht alle diese Fälle beschreiben.

7. Akustische Streuung in Quantenpotentialtälern

In einem Quantenpotential ist die Bewegung der Elektronen auf die Wachstumsrichtung (hier als \(z\) bezeichnet) beschränkt, während sich die Ladungsträger weiterhin frei in der Ebene bewegen können. Ein elektronischer Zustand kann schematisch als Produkt einer ebenen Welle in der Ebene und einer eingeschränkten Wellenhüllfunktion dargestellt werden. Seine Reaktion auf ein Akustisches Phonon hängt von der Überlappung der anfänglichen und der endgültigen eingeschränkten Zustände ab.

Für ein skalares Deformationspotential hat der relevante Einschlussfaktor die folgende Form:

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

Hierbei ist \(q_z\) die Phonon-Wellenvektorkomponente, die senkrecht zur Quantenstruktur verläuft, und \(\psi_i\) und \(\psi_f\) sind eingeschränkte elektronische Wellenfunktionen. Der oszillatorische Faktor stellt die Variation des Phonons über die Quantenstruktur dar. Dasselbe physikalische Prinzip lässt sich auf mehrkomponentige Wellenfunktionen übertragen, wobei das skalare Deformationspotential durch einen geeigneten Dehnungs-Hamiltonoperator ersetzt wird.

Akustische Phononen sind dreidimensionale Schwingungen, selbst wenn die elektronischen Zustände zweidimensional sind. In der üblichen Beschreibung von Volumen-Phononen in einem Quantenpotential kann ein Ladungsträger einen Impuls in der Ebene \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\) austauschen und gleichzeitig mit einer Phononenkomponente senkrecht zur Ebene \(q_z\) wechselwirken. Dies macht die Überlappung der räumlichen Begrenzung für sowohl intrasubband- als auch intersubband-Übergänge wichtig. Für freistehende Membranen oder andere Strukturen mit stark räumlich begrenzten Phononen sind möglicherweise alternative Beschreibungen erforderlich.

8. Von Fermis goldenem Satz zur Streuraten

Die Wahrscheinlichkeit eines durch Phononen unterstützten Übergangs ergibt sich aus Fermis goldenem Regel. Für einen anfänglichen elektronischen Zustand \(i\) wird die gesamte Streurate durch die Summation über alle zulässigen Endzustände, Phononenzweige und Phononenwellenvektoren ermittelt:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

Der erste Term beschreibt die Absorption und der zweite die Emission. Die Dirac-Delta-Funktionen gewährleisten die Energieerhaltung; der Kristallimpuls wird durch die Beziehung zwischen den elektronischen und phononischen Wellenvektoren erhalten. In entarteten Systemen spielt auch die Besetzung der endgültigen elektronischen Zustände eine Rolle, was zur Einführung von Pauli-Sperrfaktoren führt.

In der elastischen Hochtemperatur-Näherung nähern sich die beiden Beiträge einem einzigen, gleichwertigen Streuprozess an, wobei das oben diskutierte thermische Matrixelement berücksichtigt wird. Für eine allgemeine elektronische Dispersionsrelation \(E_b(\mathbf k)\) liegen die verfügbaren Endzustände auf derselben Energiekontur oder -fläche:

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

Dies unterstreicht einen wichtigen Unterschied: Die akustische Streuung wird durch die Dichte und Geometrie der zugänglichen elektronischen Zustände sowie durch die Phononenkopplung beeinflusst. Nichtparabolische oder anisotrope Bandstrukturen können daher energieabhängige Streuraten aufweisen, die sich deutlich von dem bekannten, isotropen Ergebnis für die effektive Masse unterscheiden.

9. Streuzeit, Transportzeit und Beweglichkeit

Nicht jede Kollision ist gleichermaßen wirksam bei der Reduzierung des elektrischen Stroms. Eine Kollision, die die Bewegungsrichtung kaum verändert, kann zwar zum Gesamstreuungsgrad beitragen, beeinflusst den Impuls jedoch nur geringfügig. Bei einem isotropen Band wird diese Unterscheidung oft durch eine Transportgewichtung dargestellt:

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

wobei \(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\) die Übergangsrate und \(\theta\) der Streuwinkel ist. Die Vorwärtsstreuung hat nur einen geringen Einfluss auf die Impulsrelaxation, während die Rückwärtsstreuung einen größeren Einfluss hat. Bei anisotropen oder mehrbandigen Materialien kann eine umfassende Betrachtung der Impuls- oder Geschwindigkeitsrelaxation komplizierter sein als bei diesem einfachen Winkelparameter.

In der elementaren parabolischen Bandnäherung für die Relaxationszeit ist die Beweglichkeit

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

Reale Bauelemente enthalten in der Regel Ladungsträger mit unterschiedlichen Energieniveaus und können mehrere besetzte Energiebänder oder Teilbänder aufweisen. Die Leitfähigkeit hängt dann von der Verteilung der Ladungsträger, den Gruppengeschwindigkeiten und der energieabhängigen Transportlebensdauer ab. Die Streuung durch akustische Phononen ist nur einer von vielen Faktoren, wie beispielsweise Verunreinigungen, Oberflächenrauheit und optische Phononen, die die endgültige Beweglichkeit begrenzen können. Weitere Informationen zum umfassenderen Kontext der Modellierung des Ladungstransports in Halbleitern finden Sie in der Dokumentation zur Bandstruktur und Beweglichkeit.

10. Wann ist ein einfaches akustisches Modell nicht mehr ausreichend?

Die Annäherungen des Deformationspotenzials und der Energieäquipartition bieten eine wertvolle Beschreibung der akustischen Streuung, aber ihre zugrunde liegenden Annahmen sollten berücksichtigt werden. Bei niedrigen Temperaturen müssen die Phononenpopulation und die Energie der Phononen, die Elektronen streuen können, sorgfältig behandelt werden; der Bloch-Grüneisen-Bereich kann sich deutlich vom Bild bei hohen Temperaturen unterscheiden. Eine starke Anisotropie, die Kopplung mehrerer Bänder und die Quanteneinschränkung können die Regeln für die Streuungsauswahl verändern. Andere akustische Wechselwirkungen, insbesondere die piezoelektrische Streuung in nicht-zentrosymmetrischen Kristallen, basieren auf einer anderen physikalischen Kopplung und sollten nicht mit der Streuung durch das Deformationspotenzial verwechselt werden.

Das zentrale Ergebnis ist, dass akustische Phononen Ladungsträger streuen, indem sie zeitabhängige Gitterverzerrungen erzeugen. Die Stärke der Wechselwirkung hängt davon ab, wie elektronische Zustände auf die Verzerrung reagieren, wie das Kristall Schallwellen unterstützt, welche abschließenden Ladungsträgerzustände verfügbar sind und wie effektiv jeder Übergang den Impuls reduziert. Diese Prinzipien gelten sowohl für Volumenhalbleiter als auch für Quantenpotentialtöpfe und Mehrband-Elektronensysteme.