Thermische Modelle

OghmaNano unterstützt die elektro-thermische Simulation auf verschiedenen Detailebenen, von einer einfachen, auf einer festen Temperatur basierenden Annäherung bis hin zu einer vollständig gekoppelten Selbstwärmung und (in bestimmten Fällen) einer hydrodynamischen Energiebilanzberechnung. Der Zweck dieser Optionen ist pragmatisch: Viele Geräteverhalten unter Spannung lassen sich nicht mehr allein mit einem rein elektrischen Modell mit fester Temperatur erklären, sobald die Verlustleistung signifikant wird.

In OghmaNano gibt es drei Optionen für die thermische Simulation: (1) eine konstante Temperatur im gesamten Bauelement (standardmäßig 300 K); (2) ein Gitter-Wärmelöser, der die Wärmeleitungsgleichung im gesamten Bauelement löst, einschließlich der Selbstwärmung; und (3) ein hydrodynamischer (Energiebilanz-)Löser, der nicht davon ausgeht, dass die Elektron-, Loch- und Gittertemperaturen gleich sind. Die Option mit der konstanten Temperatur wird für die meisten Simulationen mit geringer Leistungsaufnahme empfohlen. Das Gitter-Wärmemodell wird verwendet, wenn erwartet wird, dass die Selbstwärmung die Kennlinien (JV-Kurven), die Rekombinationsprofile oder die Bauelementstabilität beeinflusst. Das hydrodynamische Modell ist für spezielle Fälle gedacht, wie z. B. eine starke Energieübertragung an einer Heterostruktur oder extreme Felder, bei denen sich die Ladungsträger möglicherweise nicht lokal an die Gittertemperatur anpassen.

Die thermische Konfiguration wird über das Thermik-Menüband gesteuert, das Zugriff auf folgende Funktionen bietet: Aktivieren/Deaktivieren des thermischen Modells, Auswählen von Wärmeerzeugungstermen (Transport/Joule/Peltier, Rekombination, optische Absorption, parasitäre Verluste), Festlegen thermischer Randbedingungen, Auswählen thermischer Netzparameter und Bearbeiten thermischer Materialparameter. Diese Steuerelemente werden in ?? angezeigt.

Wie der elektro-thermische Solver gekoppelt wird.

Die elektrothermische Simulation ist von Natur aus ein gekoppeltes, multiphysikalisches Problem. Die elektrische Lösung bestimmt die räumliche Verteilung von Strom, Rekombination und Verlustleistung; diese Größen werden zu Wärmequellen in der Gleichung für die Wärmediffusion; und das resultierende Temperaturfeld beeinflusst wiederum den Transport, die Rekombination und die Materialeigenschaften. In OghmaNano wird diese Kopplung durch eine äußere Iterationsschleife gesteuert: An einem bestimmten Arbeitspunkt wird der elektrische Solver mit der aktuellen Schätzung der Temperatur ausgeführt, die Terme für die Wärmeerzeugung werden berechnet, der thermische Solver aktualisiert das Temperaturfeld, und der Prozess wird wiederholt, bis sowohl die elektrischen als auch die thermischen Residuen die Konvergenzkriterien erfüllen.

Dies ist der praktische Grund, warum elektrothermische Berechnungen langsamer sind als Berechnungen mit konstanter Temperatur: Bei jedem Spannungsschritt kann die elektrische Newton-Iteration mehrmals ausgeführt werden, wobei sie mit thermischen Iterationen kombiniert wird, bis die gemeinsame Lösung stabil ist. Ziel ist nicht „ein Temperaturdiagramm“, sondern eine selbstkonsistente JV- und interne Zustandsberechnung, bei der die Verlustleistung und die Wärmeabfuhr im Gleichgewicht sind.

Warum treten thermische und elektrische Probleme auf unterschiedlichen Längenskalen auf?

Ein wesentliches strukturelles Merkmal der elektro-thermischen Modellierung ist die Diskrepanz zwischen den physikalischen Längenskalen. Der elektrische Transport in Dünnschichtbauelementen wird typischerweise von Strukturen im Nanometer- bis Mikrometerbereich bestimmt: aktive Schichten, Übergangsbereiche, Injektionszonen und schmale Rekombinationsprofile. Die thermische Diffusion hängt hingegen von dem gesamten Wärmeleitungspfad ab: Kontakte, Substrate, Einkapselungsmaterialien, Montagematerialien und Kühlkörper, die oft eine Größe von Millimetern bis Zentimetern haben. Der Versuch, einen Kühlkörper im Zentimeterbereich mit der Auflösung einer Dünnschicht für elektrische Berechnungen zu modellieren, ist rechentechnisch sinnlos.

Aus diesem Grund behandelt OghmaNano die thermische Konfiguration als vollwertiges Modellierungsobjekt und nicht als nachträgliche Ergänzung: Das thermische Problem ist nicht nur „eine weitere physikalische Aufgabe“, sondern oft ein völlig anderes Gebiet. Das thermische Netz kann sich über den elektrisch aktiven Bereich hinaus erstrecken, und Randbedingungen werden verwendet, um eine effektive Wärmeableitung darzustellen, ohne makroskopische Kühlkörper explizit zu vernetzen.

Die Randbedingungen bestimmen maßgeblich, wie heiß das Gerät wird.

Die thermischen Randbedingungen dienen nicht nur dazu, die mathematischen Modelle zu vereinfachen, sondern sie legen auch den Weg für die Wärmeabfuhr fest. Ein Gerät mit schlechter Wärmeableitung kann bei steigender Verlustleistung schnell hohe Temperaturen erreichen, während ein Gerät, das an einen effektiven Kühlkörper montiert ist, auch bei hoher Strombelastung in der Nähe der Umgebungstemperatur bleibt. Im stationären Zustand wird der Temperaturanstieg durch das Gleichgewicht zwischen „erzeugter Wärme“ und „abgeführter Wärme“ bestimmt, und die Randbedingungen legen weitgehend letzteres fest.

Eine nützliche physikalische Analogie ist ein Badebecken. Der Wasserhahn entspricht der Wärmeerzeugung, der Abfluss der Wärmeabfuhr. Wenn der Abfluss offen ist, bleibt der Wasserstand niedrig. Wenn er teilweise verstopft ist, steigt der Wasserstand. Wenn er vollständig verstopft ist und der Wasserhahn geöffnet ist, läuft das Wasser über. In dem thermischen Problem entspricht der „Wasserstand“ dem Temperaturfeld: Wenn die Wärme nicht effektiv abgeführt werden kann, steigt die Temperatur, bis die Temperaturgradienten und der Wärmefluss in der Lage sind, die erzeugte Wärme abzuführen.

Im Editor für Randbedingungen entspricht „Neumann (==0)“ einer Randbedingung mit einem Wärmefluss von Null in Normalrichtung:

\[ -k \nabla T \cdot \hat{n} = 0 \]

Physikalisch betrachtet handelt es sich hierbei um eine isolierende Oberfläche: Dem Algorithmus wird mitgeteilt, dass keine Wärme durch diese Oberfläche fließt. Dies bedeutet nicht, dass das Gerät insgesamt thermisch isoliert ist, sondern lediglich, dass diese spezielle Oberfläche nicht Teil des vorgesehenen Wärmeableitungspfads ist. Die Wärmeableitung erfolgt dann über die als Kühlkörper oder unter anderen Wärmeübertragungsbedingungen konfigurierte Begrenzungsfläche (oder Begrenzungsflächen).

Thermische Parameter: Wärmeleitfähigkeit und Relaxationszeiten der Ladungsträgerenergie

Neben den Randbedingungen ist die Menge der thermischen Materialparameter, insbesondere die Wärmeleitfähigkeit, ein weiterer wichtiger Faktor für jede thermische Berechnung. Diese Parameter werden für jede Schicht über die Steuerung „Thermische Parameter“ bearbeitet (oft dargestellt als \(k\) oder \(\kappa\)) im thermischen Menü (??), wodurch der Editor für thermische Parameter geöffnet wird, der in ?? dargestellt ist.

Der wichtigste Parameter ist die Wärmeleitfähigkeit, die bestimmt, wie leicht Wärme durch jede Schicht diffundiert und somit, wie stark sich Temperaturgradienten unter Spannung aufbauen. Der Editor stellt außerdem die Elektronenrelaxationszeit und die Lochrelaxationszeit bereit. Diese Relaxationszeitparameter werden nur dann benötigt, wenn das hydrodynamische (Energiebilanz-)Modell verwendet wird, bei dem die Ladungsträger eine von der Gittertemperatur abweichende Temperatur haben können. Im Standard-Gitterwärmemodell werden sie nicht verwendet.

Temperaturdiskretisierung und vorab berechnete Tabellen

Die thermische Netzstruktur umfasst auch einen Temperaturbereich und eine Reihe von Temperaturpunkten. Dies sind keine räumlichen Netzpunkte, sondern sie bilden ein diskretes Temperaturraster, das für vorab berechnete, temperaturabhängige Tabellen verwendet wird. Viele interne Modellgrößen sind aufwendig zu berechnen, da sie wiederholt als Funktionen der Temperatur (und oft auch des quasi-Fermi-Niveaus) ausgewertet werden müssen. Daher berechnet OghmaNano diese auf einem endlichen Temperaturraster vor und interpoliert sie während der gekoppelten Berechnung. Dies verbessert die Stabilität und reduziert die Rechenkosten für die wiederholte Auswertung temperaturabhängiger Statistiken innerhalb der elektro-thermischen Kopplungsschleife.

In der Praxis bedeutet dies, dass der Temperaturbereich die während der Simulation erwarteten Temperaturen komfortabel umfassen sollte. Wenn sich ein Gerät über den konfigurierten Bereich hinaus selbstständig aufheizt, kann es zu einer Interpolation kommen, die sich in eine Extrapolation oder eine Begrenzung verwandelt (je nach Konfiguration), was für eine quantitative Analyse der Selbstaufheizung nicht wünschenswert ist.

Verschiedene Temperaturen: Gitter, Elektronen und Löcher

Es ist auch wichtig zu erkennen, dass die elektro-thermische Modellierung von Natur aus mehrere Temperaturen beinhaltet. OghmaNano unterscheidet zwischen der Gittertemperatur \(T_L\), einer Elektronentemperatur \(T_e\) und einer Lochtemperatur \(T_h\). Im Standardmodell der Gitterthermik wird davon ausgegangen, dass \(T_e\) und \(T_h\) gleich \(T_L\) sind (die Ladungsträger sind lokal thermisch im Gleichgewicht). Im hydrodynamischen Energiebilanzmodell können \(T_e\) und \(T_h\) von \(T_L\) abweichen, was den nicht-gleichgewichtigen Energietransport der Ladungsträger widerspiegelt.

Die hydrodynamische Option ist daher nicht „ein präziseres Standardmodell“; sie ist ein Modell für außergewöhnliche Bedingungen, bei denen eine lokale thermische Ausgleichung des Trägermaterials keine gute Annäherung darstellt. Für die meisten Simulationen von Dünnschicht- und organischen Bauelementen erfasst das Gitterwärmemodell die dominierende thermische Rückkopplung bei einem angemessenen Rechenaufwand.

Gitter-Wärmemodell

Bei der Lösung der Gitterwärmeleitungsgleichung werden Wärmeübertragung und Wärmeerzeugung wie folgt definiert:

\[0 = \nabla \kappa_{l} \nabla T_{L} +H_j +H_r +H_{optical}+H_{shunt}\]

wobei die Joulesche Wärmeentwicklung (\(H_j\)) wie folgt berechnet wird:

\[H_j= J_{n} \frac{\nabla E_{c}}{q} + J_{h} \frac{\nabla E_{h}}{q} ,\]

In der Praxis kann dieser mit dem Transportprozess verbundene Heizterm sowohl konventionelle Widerstandsheizung (Joule-Heizung) als auch die Peltier-Heizung/Kühlung an den Grenzflächen umfassen, wenn sich die Bandkanten räumlich stark verändern. Das Vorzeichen und die Lokalisation dieses Terms können daher physikalische Informationen darüber liefern, wo Energie durch den Ladungsträgertransport in das Gitter eingebracht (oder aus ihm entnommen) wird.

die Rekombinationserwärmung (\(H_r\)) wird wie folgt berechnet:

\[H_r=R(E_{c}-E_{v})\]

Die optische Absorptionserwärmung wird wie folgt berechnet:

\[H_{optical}\]

und die durch den Nebenschlusswiderstand verursachte Erwärmung wird wie folgt berechnet:

\[H_{shunt}=\frac{J_{shunt} V_{applied}}{d}.\]

Die Dicke des Bauelements wird mit d angegeben. Beachten Sie, dass die Nebenschlussheizung lediglich dazu dient, Energie zu sparen. In der Praxis ist die parasitäre Serien-/Nebenschlussverlustleistung oft nicht auf eine bekannte, mikroskopisch definierte Weise räumlich lokalisiert, weshalb sie als eine effektive Wärmeleistung behandelt wird, die erforderlich ist, um die Energiebilanz des simulierten Bauelements auszugleichen.

Energiebilanz – hydrodynamisches Transportmodell

Wenn Sie das elektrische und das thermische Modell für Hohlräume aktivieren, wird der Term für die Wärmequelle durch Folgendes ersetzt:

\[H=\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg ( n (\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) + p (\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{h}})\Bigg) +R(E_{c}-E_{v})\]

und die Energieübertragungsgleichung für Elektronen

\[S_n=-\kappa_n \frac{dT_{n}}{dx}-\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{n}}{q} J_{n}\]

und Löcher.

\[S_p=-\kappa_p \frac{dT_{p}}{dx}+\frac{5}{2} \frac{k_{b}T_{p}}{q} J_{p}\]

wird gelöst werden.

Die Energiebilanzgleichungen werden auch für Elektronen gelöst.

\[\frac{dS_{n}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx} J_{n}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{n}+ n(\frac{T_{n}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

und für Löcher

\[\frac{dS_{p}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx} J_{p}-\frac{3 k_{b}}{2} \Bigg( R T_{p}+ n(\frac{T_{p}-T_{l}}{\tau_{e}}) \Bigg)\]

Die Wärmeleitfähigkeit des Elektronengases wird wie folgt angegeben:

\[\kappa_{n}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_n\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{n} \mu_n n\]

und für Löcher wie zum Beispiel:

\[\kappa_{p}=\Bigg ( \frac{5}{2} +c_p\Bigg) \frac{{k_{b}}^2}{q} T_{p} \mu_p p\]

Dieses hydrodynamische Modell führt explizite Energieflüsse von Ladungsträgern und die Relaxation zwischen Ladungsträgern und dem Gitter über \(\tau_e\) und \(\tau_h\) ein. Es ist daher deutlich aufwendiger als das Modell der Gitterwärmeleitung und sollte nur dann verwendet werden, wenn dies physikalisch erforderlich ist. Für die meisten elektrothermischen Geräteuntersuchungen erfasst die Gitterwärmeleitungsgleichung mit sorgfältig ausgewählten Randbedingungen und Schichtleitfähigkeiten die dominierende Rückkopplungsschleife der Selbstwärmung.

Vollständige Stromdichtemessungen unter nicht-isothermen Bedingungen

Die vollständigen, thermisch abhängigen Drift-Diffusions-Transportgleichungen, die aus der Boltzmann-Transportgleichung abgeleitet wurden, lauten:

\[\label{eq:Jnfull} \textbf{J}_n = \mu_e n \nabla E_c +\frac{2}{3} \mu_e n \nabla \bar{W} + \frac{2}{3} \bar{W} \mu_e \nabla n - \mu_e n \bar{W} \frac{\nabla m^*_e}{m^*_e}\]

\[\label{eq:Jpfull} \textbf{J}_p = \mu_h p \nabla E_v -\frac{2}{3} \mu_h p \nabla \bar{W} - \frac{2}{3} \bar{W} \mu_h \nabla p + \mu_p p \bar{W} \frac{\nabla m^*_h}{m^*_h}\]

wobei \(\bar{W}\) die durchschnittliche kinetische Energie der freien Ladungsträger ist. Wenn von einer durchschnittlichen Energie von \(3/2kT\) ausgegangen wird, ergeben sich aus diesen Gleichungen die üblichen Drift-Diffusions-Gleichungen. Beachten Sie, dass die vollständige Form dieser Gleichungen erforderlich ist, wenn keine MB-Statistik verwendet wird.