Die Einstein-Beziehung in der Drift-Diffusions-Theorie von Halbleitern

1. Was sind die Einstein-Relationen?

Innerhalb eines Halbleiters werden Ladungsträger durch zwei Mechanismen transportiert: Drift, die durch Gradienten in den Energiebändern verursacht wird, und Diffusion, die durch Gradienten in der Trägerdichte verursacht wird. Die Einstein-Beziehungen verknüpfen die entsprechenden Beweglichkeiten und Diffusionskoeffizienten, sodass die beiden Mechanismen im thermischen Gleichgewicht korrekt ausbalanciert sind. Die Drift-Diffusions-Gleichungen für Elektronen und Löcher lauten:

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{J}_n &= \underbrace{\color{red}{\mu_n n\nabla E_c}}_{\text{drift}} + \underbrace{\color{blue}{qD_n\nabla n}}_{\text{diffusion}},\\[5pt] \boldsymbol{J}_p &= \underbrace{\color{red}{\mu_p p\nabla E_v}}_{\text{drift}} - \underbrace{\color{blue}{qD_p\nabla p}}_{\text{diffusion}}. \end{aligned} \]

Hierbei sind \(\boldsymbol{J}_n\) und \(\boldsymbol{J}_p\) die üblichen Stromdichten für Elektronen bzw. Löcher, \(q\) ist die positive Elementarladung, \(n\) und \(p\) sind die Dichten der freien Ladungsträger, \(\mu_n\) und \(\mu_p\) sind die Beweglichkeiten und \(D_n\) und \(D_p\) sind die Diffusionskoeffizienten. \(E_c\) und \(E_v\) sind die Energieniveaus am Rand des Leitungs- bzw. Valenzbandes in Joule, sodass ihre Gradienten den expliziten Term für das elektrische Feld ersetzen. Wenn die Energieniveaus am Bandrand in Volt angegeben werden (Energie geteilt durch \(q\)), ist der entsprechende Driftterm \(q\mu_n n\nabla (E_c/q)\), und analoges gilt für Löcher. Die hier verwendeten Ausdrücke gehen von einem isothermen Transport und einer lokal konstanten Bandstruktur aus; Temperaturgradienten und räumlich veränderliche Materialeigenschaften erfordern eine zusätzliche Berücksichtigung. Weitere Informationen finden Sie in Elektrostatik, Beweglichkeit von Ladungsträgern und der vollständigen Ableitung der Drift-Diffusions-Gleichung.

In jeder Gleichung gibt es zwei Terme. Der rote Drift-Term beschreibt den durch die Steilheit des Bandrands verursachten Transport, während der blaue Diffusions-Term den durch Dichteunterschiede verursachten Transport beschreibt. In Abbildung ?? bewegen sich Elektronen entlang der Steilheit des Leitungsbandes und sammeln sich auf der rechten Seite an. Die Diffusion drängt sie zurück in den Bereich mit geringerer Dichte. Obwohl sich die Elektronen entgegen der konventionellen Elektronenstromrichtung bewegen, sind die Strombeiträge entgegengesetzt und heben sich im Gleichgewicht auf.

In einem nicht beleuchteten Bauelement im thermischen Gleichgewicht, einschließlich eines p-n-Übergangs mit einem eingebauten elektrischen Feld, müssen die resultierenden Elektronen- und Lochströme lokal jeweils Null sein:

\[ \boldsymbol{J}_{n,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{n,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}, \qquad \boldsymbol{J}_{p,\mathrm{drift}}+\boldsymbol{J}_{p,\mathrm{diff}}=\boldsymbol{0}. \]

Wenn die Einstein-Beziehungen nicht mit der Trägerstatistik übereinstimmen, müssen Drift und Diffusion nicht unbedingt einander aufheben: Eine Simulation kann dann einen falschen Dunkelstrom bei angelegter Nullspannung vorhersagen oder eine Verschiebung in der Dunkelstrom-Spannungskurve, wie in Abbildung ?? dargestellt. Dies ist besonders problematisch, wenn sehr kleine Ströme simuliert werden. Eine angelegte Nullspannung allein impliziert nicht das Gleichgewicht, wenn das Bauelement beleuchtet oder anderweitig angesteuert wird; die Aussage über den Nullstrom bezieht sich hier auf das dunkle, thermisch im Gleichgewicht befindliche Bauelement.

Für den üblichen, nicht-degenerierten (Boltzmann-)Fall lauten die Einstein-Beziehungen einfach:

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q},\qquad D_p=\mu_p\frac{k_BT}{q}.} \]

Hierbei ist \(k_B\) die Boltzmann-Konstante und \(T\) die absolute Temperatur. Das Verhältnis \(k_BT/q\) ist die thermische Spannung (ungefähr 25,9 mV bei 300 K). Eine höhere Beweglichkeit erfordert daher einen entsprechend höheren Diffusionskoeffizienten; die beiden sind keine unabhängigen Parameter in einem konsistenten Bauelementmodell. In den folgenden Abschnitten wird diese Gleichung hergeleitet und erläutert, welche Änderungen bei degenerierten oder nichtparabolischen Bandstrukturen auftreten.

2. Eine einfache Ableitung: Die klassische Einstein-Beziehung

Betrachten wir Elektronen in einem homogenen, isothermen, nicht-entarteten Halbleiter. Im thermischen Gleichgewicht ist die Fermi-Energie der Elektronen \(E_F\) räumlich konstant, und die Trägerdichte folgt der Boltzmann-Verteilung. Die Unterscheidung zwischen der Boltzmann- und der Fermi-Dirac-Verteilung wird in Fermi-Dirac im Vergleich zur Maxwell-Boltzmann-Statistik erläutert.

\[ n=N_c\exp\!\left(\frac{E_F-E_c}{k_BT}\right). \]

Hierbei ist \(E_c\) der Rand des Leitungsbandes und \(N_c\) die effektive Zustandsdichte des Leitungsbandes. Bei konstanten Werten für \(N_c\) und \(T\) ergibt sich durch die Berechnung des räumlichen Gradienten:

\[ \nabla n=-\frac{n}{k_BT}\nabla E_c. \]

Wenn man diesen Dichtegradienten direkt in den Elektronenstrom einsetzt und dabei die Notation für den Gradienten des Leitungsbandes verwendet, erhält man:

\[ \boldsymbol{J}_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n =\mu_n n\nabla E_c-qD_n\frac{n}{k_BT}\nabla E_c =n\nabla E_c\left(\mu_n-\frac{qD_n}{k_BT}\right). \]

Da der Gleichstrom auch dort verschwinden muss, wo ein eingebautes elektrisches Feld vorhanden ist, muss der Ausdruck in den Klammern gleich Null sein. Daher

\[ \boxed{D_n=\mu_n\frac{k_BT}{q}.} \]

Die wiederholte Argumentation für Löcher führt zu \(D_p=\mu_p k_BT/q\). Dies ist die bekannte klassische Einstein-Beziehung. Sie wird oft unter Verwendung parabolischer Bänder hergeleitet, aber die entscheidende Näherung hierbei ist die Boltzmann-Statistik (für nicht-entartete Träger): Die Trägerkonzentration ist so gering, dass die Besetzung der verfügbaren Zustände gering ist.

3. Die verallgemeinerte Einstein-Beziehung

Das einfache Ergebnis ist nicht immer anwendbar. Bei stark dotierten Materialien oder wenn sich das Fermi-Niveau einem Band nähert oder in dieses eintritt, folgen die Ladungsträger eher der Fermi-Dirac-Statistik als der Boltzmann-Näherung. Die Ladungsträgerdichte ist dann nicht einfach eine Exponentialfunktion des Fermi-Niveaus. Die Zustandsdichte kann ebenfalls nicht-parabolisch, ungeordnet sein oder durch numerische Berechnungen aus einer Bandstruktur berechnet werden. Die Berechnung der Ladungsträgerdichte selbst wird in Ladungsträgerdichte beschrieben.

Lassen Sie die Elektronendichte von der Energiedifferenz \(\xi_n=E_{Fn}-E_c\) abhängen, wobei die Temperatur konstant gehalten und die lokale Zustandsdichte unverändert bleibt: \(n=n(\xi_n,T)\). Das Elektron-Quasi-Fermi-Niveau \(E_{Fn}\) ist im Gleichgewichtszustand konstant. Die Bildung eines räumlichen Gradienten führt daher zu:

\[ \nabla n =\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T (\nabla E_{Fn}-\nabla E_c) =-\left.\frac{\partial n}{\partial\xi_n}\right|_T\nabla E_c. \]

Wenn man dieses Ergebnis in die aktuelle Gleichung einsetzt und fordert, dass der Gleichgewichtsstrom Null ist, erhält man die verallgemeinerte Einstein-Beziehung:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{n}{q\left(\partial n/\partial\xi_n\right)_T} =\frac{1}{q}\left(\frac{\partial\xi_n}{\partial\ln n}\right)_T. } \]

Für Löcher definieren Sie \(\xi_p=E_v-E_{Fp}\), wobei dieser Wert mit der Anzahl der Löcher zunimmt. Die entsprechende Beziehung lautet dann:

\[ \boxed{ \frac{D_p}{\mu_p} =\frac{p}{q\left(\partial p/\partial\xi_p\right)_T}. } \]

Diese Gleichungen lassen sich physikalisch sinnvoll interpretieren: Die Ableitung gibt an, wie leicht sich die Trägerkonzentration ändert, wenn sich das chemische Potential ändert. Eine große Änderung der Konzentration bei einer kleinen Änderung der quasi-Fermi-Energie bedeutet eine große Ableitung und ein kleineres \(D/\mu\). Wenn sich die Zustände füllen und die Konzentration weniger stark reagiert, steigt das Verhältnis an. Daher ist die Einstein-Beziehung eine Eigenschaft der Trägerstatistik und der Zustandsdichte und nicht nur ein numerischer Faktor, der die Beweglichkeit multipliziert.

Für eine beliebige Zustandsdichte des Leitungsbandes \(g_c(E)\) kann die Elektronendichte wie folgt berechnet werden:

\[ n=\int_{E_c}^{\infty}g_c(E) \frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}\,dE. \]

Bei einer festen Bandstruktur und einer konstanten Temperatur kann die Ableitung aus denselben Zuständen berechnet werden:

\[ \left.\frac{\partial n}{\partial E_{Fn}}\right|_T =\frac{1}{k_BT}\int_{E_c}^{\infty}g_c(E)f(E)[1-f(E)]\,dE, \qquad f(E)=\frac{1}{1+\exp[(E-E_{Fn})/(k_BT)]}. \]

Da \(\partial\xi_n/\partial E_{Fn}=1\) bei einem festen \(E_c\) vorliegt, kann diese Ableitung direkt in der verallgemeinerten Einstein-Beziehung verwendet werden. Dieser Ansatz funktioniert auch mit einer nicht-parabolischen, numerischen Zustandsdichte. Für Löcher wird die entsprechende Valenzband-Zustandsdichte und die Lochbesetzung \(1-f\) verwendet, wobei die Ableitung in Bezug auf \(E_v-E_{Fp}\) gebildet wird.

4. Parabolische Bänder: Die klassische Lösung wiederherstellen

Für ein dreidimensionales parabolisches Band kann die Elektronendichte mithilfe eines Fermi-Dirac-Integrals ausgedrückt werden:

\[ n=N_c F_{1/2}(\eta_n), \qquad \eta_n=\frac{E_{Fn}-E_c}{k_BT}. \]

Wir verwenden die normalisierte Definition \(F_j(\eta)=\Gamma(j+1)^{-1} \int_0^\infty x^j/[1+\exp(x-\eta)]\,dx\). Mithilfe von \(dF_{1/2}/d\eta=F_{-1/2}\) ergibt sich die verallgemeinerte Einstein-Beziehung als:

\[ \boxed{ \frac{D_n}{\mu_n} =\frac{k_BT}{q} \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. } \]

Eine ähnliche Gleichung gilt für Löcher mit \(\eta_p=(E_v-E_{Fp})/(k_BT)\). Dieses Ergebnis ist auch dann gültig, wenn es sich um ein dreidimensionales parabolisches Band handelt, selbst wenn dieses entartet ist. Das Verhältnis der Fermi-Dirac-Integrale berücksichtigt den Effekt der Zustandsfüllung.

Im nicht-entarteten Fall, in dem \(\eta_n\ll-1\) gilt, nähern sich beide Fermi-Dirac-Integrale \(\exp(\eta_n)\) an. Folglich:

\[ \frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}\longrightarrow 1, \qquad \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}\longrightarrow\frac{k_BT}{q}.} \]

Dies zeigt genau, woher der bekannte Ausdruck stammt. Eine einzelne parabolische Bandstruktur ist nicht ausreichend: Um \(D/\mu=k_BT/q\) zu erhalten, müssen die Träger auch nicht-entartet sein. In einer entarteten parabolischen Bandstruktur ist eine Fermi-Dirac-Korrektur erforderlich; für eine allgemeine nicht-parabolische Bandstruktur ist der Ausdruck, der die Ableitung der Dichte beinhaltet, in der Regel ein nützlicherer Ausgangspunkt.

5. Trägerdruck: Eine weitere Möglichkeit, die Diffusion zu verstehen.

Es gibt eine weitere nützliche Methode, um zu verstehen, woher der Diffusionsbegriff stammt. In der Impulserhaltungsgleichung, die aus der Boltzmann-Transportgleichung abgeleitet wird, üben die Ladungsträger einen Druck aus, da sie eine Verteilung von Geschwindigkeiten und Impulsen aufweisen. Ein Gradient in diesem Ladungsträgerdruck erzeugt eine Kraft, die die Ladungsträger aus Bereichen mit höherem Druck in Bereiche mit niedrigerem Druck treibt. Dies ist der mikroskopische Ursprung der Diffusion. Die Verbindung zur Impulserhaltung finden Sie in Ableitung der Boltzmann-Transportgleichung.

Für ein isotropes, dreidimensionales parabolisches Leitungsband definieren wir den Elektronendruck \(P_n\) wie folgt:

\[ P_n=\frac{2}{3}\int_{E_c}^{\infty}(E-E_c)g_c(E)f(E)\,dE. \]

Hierbei ist \(g_c(E)\) die Zustandsdichte des Leitungsbandes und \(f(E)\) die Besetzungswahrscheinlichkeit. Der Faktor \(2/3\) ergibt sich aus der parabolischen Dispersionsrelation in drei Dimensionen. Im klassischen, nicht-entarteten Fall ergibt sich daraus der bekannte Ausdruck für ein ideales Gas.

\[ P_n=nk_BT. \]

Für ein homogenes, isothermales Material kann der Elektronenstrom daher mithilfe eines Druckgradienten anstelle eines Dichtegradienten ausgedrückt werden:

\[ \boldsymbol{J}_n=\mu_n n\nabla E_c+\mu_n\nabla P_n =\mu_n n\nabla E_c+qD_n\nabla n. \]

Ein Vergleich der beiden Diffusionsbegriffe zeigt, dass die entscheidende Größe darin besteht, wie schnell sich der Druck in Abhängigkeit von der Trägerdichte ändert, und nicht einfach nur das Verhältnis von Druck zu Dichte:

\[ \boxed{\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{1}{q}\left(\frac{\partial P_n}{\partial n}\right)_T.} \]

Da \(P_n=nk_BT\) im Boltzmann-Grenzwert gilt und \(\partial P_n/\partial n=k_BT\) die klassische Einstein-Beziehung ist, ergibt sich diese unmittelbar. Wenn das Elektronengas entartet, steigt der Druck nicht mehr linear mit der Dichte an. Für ein dreidimensionales parabolisches Band liefert die Verwendung der gleichen normierten Fermi-Dirac-Integrale wie oben:

\[ P_n=N_c k_BT F_{3/2}(\eta_n),\qquad \frac{\partial P_n}{\partial n} =k_BT\frac{F_{1/2}(\eta_n)}{F_{-1/2}(\eta_n)}. \]

Dadurch wird genau die in Abschnitt 4 hergeleitete verallgemeinerte Einstein-Beziehung wiedergegeben. Es ist wichtig, \(P_n/n=k_BT F_{3/2}(\eta_n)/F_{1/2}(\eta_n)\) nicht mit \(\partial P_n/\partial n\) zu verwechseln: Sie sind nur im klassischen Grenzfall gleich. Für nicht-parabolische Bandstrukturen erfordert der Druck eine allgemeinere Behandlung, die von der Geschwindigkeit und der Bandstruktur abhängt; die Ableitung der Trägerdichte in Abschnitt 3 ist in der Regel eine bequemere Methode, um die Einstein-Beziehung innerhalb eines konsistenten Drift-Diffusions-Modells zu berechnen.

6. Numerische Genauigkeit: Vermeidung von fehlerhaften Gleichgewichtsstromwerten

In einem Drift-Diffusions-Simulator lässt sich die verallgemeinerte Einstein-Beziehung zwar leicht aufschreiben, ihre genaue Berechnung kann jedoch schwierig sein. Die größte Herausforderung besteht in der Ableitung der Trägerdichte in Bezug auf die quasi-Fermi-Energie. Eine gängige Näherung ist die Verwendung eines finiten Differenzenverfahrens:

\[ \frac{\partial n}{\partial E_{Fn}} \approx\frac{n(E_{Fn}+\Delta E)-n(E_{Fn}-\Delta E)}{2\Delta E}. \]

Wenn \(\Delta E\) zu groß ist, ist die Ableitung aufgrund von Rundungsfehlern ungenau. Wenn es zu klein ist, werden zwei nahezu gleiche Trägerdichten voneinander subtrahiert, was zu einer Verstärkung von Rundungsfehlern bei Gleitkommazahlen oder zu numerischem Rauschen in den Berechnungen der Bandstruktur und der Zustandsdichte führen kann. Der resultierende Fehler wird dann bei der Bildung von \(D/\mu=n/[q(\partial n/\partial E_{Fn})]\) verstärkt, insbesondere dort, wo die Ableitung klein ist.

Selbst eine geringe relative Abweichung kann von Bedeutung sein, da im Gleichgewicht sowohl der Drift- als auch der Diffusionsstrom beträchtlich sein können, während ihre Summe exakt Null sein sollte. Eine kleine Abweichung kann zu einem falschen Reststrom führen. Dies kann insbesondere bei Simulationen auffallen, die nicht-parabolische Bandstrukturen, numerische Zustandsdichten, geringe Trägerdichten oder stark variierende Heterostrukturen beinhalten.

Wo immer möglich, ist es vorzuziehen, die Belegungsfunktion analytisch im Rahmen des Zustandsdichteintegrals zu bestimmen, wie in Abschnitt 3 beschrieben, anstatt zwei separat berechnete Zustandsdichten durch finite Differenzen zu vergleichen. Für sehr geringe Trägerkonzentrationen sollte bei Bedarf ein stabiler Ausdruck im Boltzmann-Grenzwert verwendet werden. Es ist auch wichtig, eine konsistente numerische Integration, Trägerstatistik, Konventionen für die Bandkanten und eine Diskretisierung von Drift und Diffusion zu verwenden.

Abschließend ist festzustellen, dass eine korrekte Einstein-Beziehung zwar notwendig ist, aber allein nicht ausreicht, um unerwünschte Ströme zu eliminieren: Die räumliche Diskretisierung muss auch das Gleichgewicht erhalten. Insbesondere sollten Fluss-Diskretisierungen konstante Gleichgewicht-Fermi-Niveaus berücksichtigen; ein Gleichgewicht erhaltendes Verfahren wie Scharfetter-Gummel wird üblicherweise für die klassische Drift-Diffusions-Simulation verwendet. Eine praktische Möglichkeit, dies zu überprüfen, besteht darin, eine Gleichgewichtsberechnung ohne äußere Spannung durchzuführen und zu bestätigen, dass die Elektronen- und Lochströme im gesamten Bauelement innerhalb der erforderlichen numerischen Toleranz verschwinden, einschließlich über Materialgrenzflächen hinweg. Informationen zur Behandlung von Übergängen und Bandversatz finden Sie in Interfaces und The built-in potential.

Die zentrale Erkenntnis ist einfach: Die Einstein-Beziehung ist das, was die Beschreibung von Drift- und Diffusionsprozessen thermodynamisch konsistent macht. Ihre bekannte klassische Form ist einfach anzuwenden, aber für allgemeinere Trägerstatistiken ist eine entsprechend allgemeinere und numerisch präzisere Beziehung erforderlich. Das umfassendere Transportmodell wird in Ableitung von der Boltzmann-Gleichung zur Drift-Diffusions-Beschreibung entwickelt.