Freie Ladungsträgerstatistik in Drift-Diffusions-Modellen

3. Kostenlose Ladungsträgerstatistik

Die freien Ladungsträgerstatistiken definieren die Beziehung zwischen den quasi-Fermi-Niveaus und den Ladungsträgerdichten. Für ein gegebenes elektrostatische Potenzial und ein gegebenes quasi-Fermi-Niveau bestimmen sie die lokalen Elektronen- und Lochkonzentrationen \(n\) und \(p\). In OghmaNano kann diese Beziehung entweder mithilfe der klassischen Maxwell-Boltzmann-Näherung (MB) oder mithilfe der vollständigen Fermi-Dirac-Formalismus (FD) beschrieben werden, je nach dem Grad der Entartung und der Form der Zustandsdichte (DOS).

Die MB-Näherung ist gültig, wenn die quasi-Fermi-Niveaus einige \(kT\)-Einheiten von den Bandrändern entfernt liegen, sodass die Besetzungswahrscheinlichkeiten gering sind und die Pauli-Ausschlussprinzipien vernachlässigt werden können. Unter dieser Annahme stehen die Trägerdichten in einer exponentiellen Beziehung zu den quasi-Fermi-Niveaus:

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

wobei \(N_c\) und \(N_v\) die effektiven Zustandsdichten in den Leitungs- bzw. Valenzbändern sind, \(F_n\) und \(F_p\) die quasi-Fermi-Niveaus für Elektronen bzw. Löcher darstellen und \(E_c\) und \(E_v\) die lokalen Bandkanten definieren. Diese Formulierung setzt implizit eine parabolische Bandstruktur und eine thermalisierte Ladträgerverteilung voraus.

Wenn die Trägerdichte einen ausreichend hohen Wert erreicht, sodass sich das Quasi-Fermi-Niveau der Bandkante nähert oder diese überschreitet, oder wenn sich die Zustandsdichte von einer einfachen parabolischen Form entfernt, versagt die MB-Näherung, und es muss das vollständige FD-Formalismus verwendet werden. In diesem Fall werden die Trägerdichten durch Integration der Zustandsdichte ermittelt, wobei diese mit der Fermi-Dirac-Belegungsfunktion gewichtet wird:

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

wobei die Fermi-Dirac-Verteilung wie folgt definiert ist:

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

wobei \(\rho(E)\) die Zustandsdichte ist. Für ein dreidimensionales parabolisches Band nimmt die Zustandsdichte die folgende Form an:

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

wobei \(m^*\) die effektive Masse der Ladungsträger und \(\hbar\) die reduzierte Planck-Konstante ist. In praktischen Geräte-Simulationen kann stattdessen \(\rho(E)\) explizit angegeben werden, um exponentielle Abfallenden, Gaußsche Verteilungen oder andere nicht-parabolische Eigenschaften zu berücksichtigen, die für amorphe oder organische Systeme charakteristisch sind.

Die statistische Beschreibung bestimmt auch die durchschnittliche Trägerenergie, die in Streu- und Rekombinationsmodelle einfließt. Diese Größe wird wie folgt ermittelt:

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

Im nicht-entarteten MB-Grenzwert mit einer parabolischen Zustandsdichte vereinfacht sich dieser Ausdruck zu \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\), was eine gleichmäßige Energieverteilung widerspiegelt. In Systemen mit energetischer Unordnung oder starker Entartung ist die Ladungsträgerverteilung jedoch verzerrt, und die mittlere Energie weicht von diesem klassischen Wert ab, was sich direkt auf die Rekombinationskinetik und die Transportkoeffizienten auswirkt.