Las ecuaciones drift–diffusion

3. Estadística de portadores de carga libres

En OghmaNano puede elegir cómo se describen estadísticamente los portadores libres: ya sea mediante la aproximación clásica Maxwell–Boltzmann (MB) o mediante estadísticas completas Fermi–Dirac (FD). La elección apropiada depende del material, de las densidades de portadores y de si deben capturarse la degeneración o una densidad de estados (DOS) no parabólica / desordenada.

Bajo la aproximación MB (válida cuando los cuasi-niveles de Fermi se encuentran a varios \(kT\) de los bordes de banda), las densidades de portadores son

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

donde \(N_c\) y \(N_v\) son las densidades efectivas de estados en las bandas de conducción y valencia, \(F_n\) y \(F_p\) son los cuasi-niveles de Fermi de electrones y huecos, y \(E_c\), \(E_v\) son los bordes de banda locales.

Cuando la degeneración o la forma de la DOS es importante, utilice estadísticas FD completas. Las densidades de electrones y huecos se calculan entonces a partir de

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

con la distribución de Fermi–Dirac

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

y (para una banda parabólica 3D) la DOS

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

donde \(m^*\) es la masa efectiva y \(\hbar\) es la constante de Planck reducida. En sistemas desordenados o no parabólicos puede suministrar en su lugar una DOS personalizada \(\rho(E)\).

La energía media de los portadores (útil para modelos de dispersión/recombinación) es

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

En el límite MB con una DOS parabólica esto se reduce al conocido \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\). Para DOS irregulares o desordenadas (p. ej. orgánicos, a-Si, perovskitas híbridas), la integral debe evaluarse y la energía media generalmente se desvía de \(\tfrac{3}{2}kT\).