As equações de drift diffusion

3. Estatísticas de portadores de carga livres

No OghmaNano você pode escolher como os portadores livres são descritos estatisticamente: pela aproximação clássica de Maxwell–Boltzmann (MB) ou pelas estatísticas completas de Fermi–Dirac (FD). A escolha apropriada depende do material, das densidades de portadores e de se a degenerescência ou uma densidade de estados (DOS) não parabólica / desordenada precisa ser considerada.

Sob a aproximação MB (válida quando os níveis quasi-Fermi estão vários \(kT\) afastados das bordas de banda), as densidades de portadores são

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

onde \(N_c\) e \(N_v\) são as densidades efetivas de estados nas bandas de condução e valência, \(F_n\) e \(F_p\) são os níveis quasi-Fermi de elétrons e lacunas, e \(E_c\), \(E_v\) são as bordas de banda locais.

Quando a degenerescência ou a forma da DOS é importante, utilize estatísticas FD completas. As densidades de elétrons e lacunas são então calculadas a partir de

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

com a distribuição de Fermi–Dirac

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

e (para uma banda parabólica 3D) a DOS

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

onde \(m^*\) é a massa efetiva e \(\hbar\) é a constante de Planck reduzida. Em sistemas desordenados ou não parabólicos você pode fornecer uma DOS personalizada \(\rho(E)\).

A energia média dos portadores (útil para modelos de espalhamento/recombinação) é

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

No limite MB com uma DOS parabólica isso se reduz ao valor familiar \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\). Para DOS irregulares ou desordenadas (por exemplo orgânicos, a-Si, perovskitas híbridas), a integral deve ser avaliada e a energia média geralmente se desvia de \(\tfrac{3}{2}kT\).