Teoria de Deriva–Difusão: Do Transporte de Boltzmann ao Balanço de Energia

Esta página apresenta uma derivação a partir de primeiros princípios das equações de deriva–difusão usadas na simulação de dispositivos semicondutores, partindo da Equação de Transporte de Boltzmann na aproximação de tempo de relaxação. Ao tomar momentos sucessivos da equação de Boltzmann, mostramos como surgem as equações de continuidade de elétrons e lacunas, as relações de corrente de deriva–difusão, e as equações de transporte de energia (portadores quentes) em uma estrutura única, autoconsistente. Ênfase particular é dada a heterojunções, condução por borda de banda, efeitos de densidade de estados e transporte térmico, levando às equações prontas para solver implementadas no OghmaNano.

1. Introdução

O motor elétrico do OghmaNano é uma estrutura de deriva–difusão 1D/2D/3D cuja característica definidora é o suporte a estados de armadilha dinâmicos (fora do equilíbrio). Em vez de assumir que as armadilhas se equilibram instantaneamente com os portadores livres, o OghmaNano pode evoluir explicitamente as ocupações das armadilhas tanto em energia quanto em espaço, o que é essencial para modelar corretamente semicondutores desordenados e medições transientes (por exemplo, ToF, CELIV), bem como a operação em regime estacionário.

Existem muitas rotas legítimas para a deriva–difusão. Por exemplo, pode-se derivá-la a partir da Equação de Transporte de Boltzmann via expansões em momentos e fechamentos controlados, a partir da termodinâmica irreversível (argumentos de Onsager / produção de entropia), ou de um ponto de vista de caminhada aleatória / Fokker–Planck que conecta o hopping microscópico à deriva e difusão macroscópicas. Essas abordagens muitas vezes produzem equações que parecem semelhantes à primeira vista, mas elas não são igualmente confiáveis quando se vai além do caso mais simples de “semicondutor homogêneo”.

Em particular, uma vez que você introduz heterojunções, densidade efetiva de estados espacialmente variável, massa efetiva dependente da posição, gradientes de borda de banda ou estatísticas não triviais, já não é seguro simplesmente acoplar termos extras a uma corrente de deriva–difusão e esperar que o resultado permaneça autoconsistente. O mesmo vale quando se começa a incluir condução térmica ou a acoplar o transporte elétrico à geração de calor. O que se deseja é uma estrutura de derivação que gere naturalmente os termos extras corretos e forneça um caminho claro para extensões, em vez de uma coleção de modificações ad hoc.

Por essa razão, a derivação apresentada aqui parte da Equação de Transporte de Boltzmann. Ao tomar momentos da BTE obtêm-se, de maneira sistemática, as equações de continuidade e as relações constitutivas de deriva–difusão como um limite de baixa inércia, e também mostra como a mesma estrutura “se eleva” para o próximo nível: as equações de balanço de energia (transporte de energia). Mesmo que você não resolva o modelo hidrodinâmico completo, a estrutura de energia é valiosa porque identifica termos consistentes de fonte de calor elétrica e esclarece quando o aquecimento dos portadores deve ser considerado. A derivação abaixo constitui a base do modelo elétrico do OghmaNano.

2. Equação de Transporte de Boltzmann (RTA)

No nível mais fundamental usado na modelagem de dispositivos, o transporte de carga é descrito em termos de uma função distribuição \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Essa função representa a probabilidade de encontrar um portador de carga na posição \(\mathbf{r}\), com momento cristalino \(\hbar\mathbf{k}\), no instante \(t\). Todas as grandezas elétricas macroscópicas — densidade de portadores, densidade de corrente, densidade de energia — podem ser obtidas tomando momentos apropriados dessa distribuição.

A Equação de Transporte de Boltzmann (BTE) é a equação de movimento para essa função distribuição. Ela é uma lei de conservação no espaço de fases: contabiliza como os portadores se movem no espaço real, como seu momento muda sob forças aplicadas e como os processos de espalhamento redistribuem os portadores no espaço de momentos. Partir da BTE, portanto, fornece uma estrutura única e unificada a partir da qual deriva–difusão, transporte de energia e modelos relacionados podem todos ser derivados de forma consistente.

Em sua forma completa, o termo de colisão (espalhamento) da BTE é complicado e específico do material. Para a modelagem prática de dispositivos é comum usar a aproximação de tempo de relaxação (RTA), na qual se assume que o espalhamento conduz a distribuição em direção a uma forma local de quase-equilíbrio \(f^0\) ao longo de um tempo característico \(\tau\). Essa aproximação preserva a física essencial da relaxação de momento e energia, mantendo as equações tratáveis.

Com essa aproximação, a equação semiclassica de transporte de Boltzmann pode ser escrita como

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Os três termos no lado esquerdo têm um significado físico claro: o primeiro descreve a evolução temporal explícita da distribuição, o segundo descreve o transporte através do espaço real com velocidade do portador \(\mathbf{v}\), e o terceiro descreve a aceleração no espaço de momentos devido a uma força aplicada \(\mathbf{F}\) (por exemplo \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) em um campo elétrico). O lado direito representa o espalhamento, que relaxa o sistema em direção a \(f^0\).

A teoria de deriva–difusão não tenta resolver essa equação diretamente. Em vez disso, ela procede tomando momentos da BTE — integrais sobre o espaço de momentos — para obter equações de evolução para grandezas fisicamente significativas, como densidade de portadores, densidade de corrente e densidade de energia. As seções seguintes mostram como esse procedimento conduz naturalmente às equações familiares de deriva–difusão e, no próximo nível, aos modelos de balanço de energia (portadores quentes).

3. Tomando momentos da Equação de Transporte de Boltzmann

A Equação de Transporte de Boltzmann descreve a dinâmica dos portadores em termos de uma função distribuição \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), que fornece a ocupação dos estados eletrônicos em função da posição, momento e tempo. Em equilíbrio, essa distribuição se reduz à conhecida função de Fermi–Dirac, enquanto sob polarização ela evolui em resposta a campos elétricos, variações de borda de banda e processos de espalhamento. Para obter equações úteis na escala do dispositivo, não tentamos resolver diretamente \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Em vez disso, derivamos equações de evolução para grandezas macroscópicas tomando momentos de toda a equação de Boltzmann, conectando sistematicamente a estatística microscópica dos portadores à deriva–difusão, ao transporte de energia e a modelos relacionados.

Formalmente, uma equação de momento é obtida multiplicando a BTE completa por um peso \(A(\mathbf{k})\) e integrando sobre todo o espaço de momentos:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Cada escolha da função peso \(A(\mathbf{k})\) gera uma equação de balanço: uma equação de evolução que expressa como uma grandeza macroscópica é conduzida e relaxada. Definir \(A=1\) fornece a equação de balanço de partículas, da qual se obtêm as familiares equações de continuidade para elétrons e lacunas. Tomar o primeiro momento, com \(A=\hbar\mathbf{k}\) (ou equivalentemente \(m^\ast\mathbf{v}\)), produz uma equação de balanço de momento que descreve como o momento dos portadores responde a forças e espalhamento; a corrente padrão de deriva–difusão é recuperada tomando o limite superamortecido dessa equação, no qual o momento relaxa rapidamente e os termos inerciais são negligenciados. Tomar o próximo momento, com \(A=W(\mathbf{k})\), fornece uma equação de balanço de energia, que descreve o transporte e a relaxação da energia dos portadores e fornece a extensão mínima necessária para modelar portadores quentes, condução térmica e geração de calor elétrica. Dessa forma, os modelos de continuidade, deriva–difusão e transporte de energia surgem como níveis sucessivos de aproximação dentro de uma única estrutura autoconsistente.

A deriva–difusão padrão retém apenas a equação de balanço de partículas e uma relação constitutiva simplificada para a corrente obtida a partir da equação de balanço de momento. Ao fazer isso, ela não conserva a energia dos portadores.

4. Momento de ordem zero: balanço de partículas (equação de continuidade)

O primeiro e mais importante momento da Equação de Transporte de Boltzmann é obtido definindo a função peso como unidade, \(A(\mathbf{k}) = 1\). Isso corresponde a contar portadores: integrar a equação de Boltzmann completa sobre todos os momentos fornece uma lei de balanço para a densidade total de portadores em cada ponto do espaço. Por essa razão, o momento de ordem zero é chamado de equação de balanço de partículas (ou continuidade de partículas).

4.1 Derivação (momento de ordem zero / balanço de partículas)

Comece pela forma com tempo de relaxação da equação de Boltzmann:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Multiplique por \(A(\mathbf{k})=1\) e integre sobre todos os \(\mathbf{k}\):

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

O primeiro termo define a densidade de portadores \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] de modo que \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]

O segundo termo torna-se uma divergência no espaço real:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

onde a velocidade média dos portadores é \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]

O terceiro termo (termo de força) desaparece sob as hipóteses padrão de que a distribuição decai rapidamente quando \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\), de modo que a integral de superfície correspondente no espaço-\(\mathbf{k}\) é nula:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Reunindo os termos, a equação do momento de ordem zero torna-se

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

O lado direito representa processos que criam ou removem portadores livres quando vistos no nível de deriva–difusão: geração, recombinação e (em materiais com armadilhas) troca com estados de armadilha. Portanto, escrevemos isso de forma compacta como \(G - R\) (com captura/emissão por armadilhas incluída no termo efetivo \(R\) ou escrita explicitamente no modelo de aprisionamento).

4.2 Equação de continuidade na forma de deriva–difusão

Introduzindo a densidade de corrente de elétrons \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] a equação de balanço de partículas torna-se a familiar equação de continuidade para elétrons:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

A equação de continuidade correspondente para lacunas é

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Primeiro momento: balanço de momento → corrente de deriva–difusão

As equações de corrente de deriva–difusão são obtidas a partir do primeiro momento da Equação de Transporte de Boltzmann. Esse momento corresponde a um balanço de momento, descrevendo como o momento dos portadores é conduzido por forças como campos elétricos e gradientes de borda de banda, e reduzido pelo espalhamento. Em vez de resolver a equação completa de balanço de momento, a deriva–difusão padrão é obtida expressando a velocidade dos portadores diretamente em termos das forças de condução locais, sem reter uma equação explícita de evolução para momento ou energia. Essa aproximação é apropriada sempre que efeitos de transporte de ordem superior de momento e energia não são necessários.

5.1 Do primeiro momento da BTE à corrente de deriva–difusão

Começamos pela Equação de Transporte de Boltzmann na aproximação de tempo de relaxação, escrita com um tempo de relaxação de momento \(\tau_p\):

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Para obter o balanço de momento, multiplique a equação inteira pelo peso semelhante a momento \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (equivalentemente \(\hbar\mathbf{k}\) para uma banda parabólica), e integre sobre o espaço de momentos:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Identificando o momento de velocidade, a corrente e a pressão

As integrais do primeiro momento introduzem as quantidades que aparecem nas equações de transporte na escala do dispositivo. Começamos definindo a densidade de portadores e a velocidade média dos portadores como

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

A velocidade \(\mathbf{u}\) definida acima é a velocidade média dos portadores. Ela representa a deriva líquida da população de portadores em um dado ponto do espaço. Portadores individuais normalmente se movem muito mais rápido do que \(\mathbf{u}\), executando movimento térmico aleatório superposto a essa lenta deriva coletiva. Portanto, a velocidade média não é a velocidade típica de um portador, mas a pequena velocidade residual que permanece após a média sobre todo o movimento microscópico.

Essa distinção é crucial. O movimento térmico aleatório não contribui para a corrente elétrica porque sua média é zero, enquanto a velocidade média de deriva \(\mathbf{u}\) captura o desbalanceamento no movimento dos portadores causado por campos elétricos, gradientes de concentração e gradientes de temperatura. É essa velocidade média que determina a densidade de corrente macroscópica.

Com essas definições, o fluxo de partículas é \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), e a densidade de corrente de elétrons é

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Substituir essas definições de volta na equação do primeiro momento permite que as integrais no espaço de momentos sejam reescritas inteiramente em termos de \(n\), \(\mathbf{u}\) e momentos de velocidade de ordem superior. Em particular, o termo de colisão se simplifica porque a distribuição de referência \(f^0\) representa um estado de equilíbrio local com velocidade média de deriva nula, de modo que

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

Como resultado, o termo de colisão contribui apenas com um termo de relaxação de momento proporcional à velocidade média \(\mathbf{u}\).

O termo restante de transporte espacial na equação do primeiro momento contém integrais da forma \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), que representam o fluxo de momento através do espaço. Para explicitar o conteúdo físico desse termo, decompomos a velocidade do portador em uma parte média e uma flutuação:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Substituir essa decomposição no segundo momento de velocidade e usar \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\) divide o fluxo de momento em uma contribuição convectiva e um termo de flutuação. A contribuição de flutuação é identificada como o tensor de pressão (ou tensão) dos portadores,

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Fisicamente, \(\mathbf{P}\) representa o transporte de momento associado às flutuações de velocidade em torno da velocidade média de deriva. Sua divergência dá origem a termos de difusão e condução térmica nas equações de transporte reduzidas.

Reunindo todas as contribuições, a equação do primeiro momento agora pode ser escrita como

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Esta equação é o balanço geral de momento obtido diretamente a partir do primeiro momento da Equação de Transporte de Boltzmann. Ainda não foram feitas hipóteses de deriva–difusão; elas entram na próxima etapa, quando o balanço de momento é reduzido a um balanço de forças local.

5.3 Reduzindo o balanço de momento a um balanço de forças

Na modelagem por deriva–difusão, não estamos interessados em resolver explicitamente a evolução temporal ou o transporte espacial do próprio momento. Em vez disso, assumimos que o momento dos portadores se ajusta localmente às forças aplicadas, de modo que quaisquer efeitos transientes ou não locais de transporte de momento possam ser negligenciados. Sob essa hipótese, o balanço de momento se simplifica descartando os termos explícitos de transporte de momento e inércia, enquanto se mantêm os termos de força e relaxação no lugar.

Com essa aproximação, o balanço de momento se reduz a

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Escrita dessa forma, a equação deve ser lida como um balanço de forças local: as forças que conduzem o movimento dos portadores são balanceadas pela perda de momento para o espalhamento.

O termo remanescente \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) representa como o momento é redistribuído pelo movimento aleatório dos portadores. O próprio tensor \(\mathbf{P}\) codifica correlações entre componentes de velocidade e, em geral, permite transporte anisotrópico de momento. Em muitos dispositivos semicondutores, a distribuição de portadores é próxima da isotropia no espaço de velocidades. Nesse caso, não há direção preferencial para as flutuações de velocidade, e o tensor de pressão se reduz a uma pressão escalar multiplicando o tensor identidade:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Fisicamente, isso significa que o movimento térmico aleatório contribui igualmente em todas as direções. Quando essa forma é substituída no balanço de momento, a divergência do tensor de pressão se simplifica para o gradiente de uma pressão escalar:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Esse termo é a origem da difusão e da condução térmica nas equações de deriva–difusão. Na próxima seção, essa equação de balanço de forças é resolvida para a velocidade média dos portadores \(\mathbf{u}\), levando diretamente à corrente de deriva–difusão.

5.4 Do balanço de forças à corrente de deriva–difusão

Agora retornamos ao balanço local reduzido de momento derivado na seção anterior. Para elétrons, é conveniente expressar a força motriz em termos da borda da banda de condução \(E_c(\mathbf{r})\), que incorpora tanto o potencial eletrostático quanto os offsets de material. Portanto, escrevemos a força sobre os elétrons como

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

onde \(E_c(\mathbf{r})\) pode ser escrito (até uma referência) como \(E_c = \chi - q\phi\), de modo que variações espaciais tanto da afinidade eletrônica quanto do potencial eletrostático contribuam naturalmente para a condução dos portadores. Substituindo isso no balanço reduzido de momento, obtém-se

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Esta equação expressa um balanço local entre condução por borda de banda, transporte conduzido por pressão e perda de momento por espalhamento. Resolvendo para a velocidade média dos portadores obtém-se

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Usando a definição da densidade de corrente de elétrons, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), obtemos

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Introduzindo a mobilidade \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), isso se torna

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

Neste ponto, a corrente é expressa em termos do gradiente de pressão \(\nabla p\), e ainda não foi feita nenhuma hipótese sobre a estatística dos portadores. Para prosseguir, expressamos a pressão e a densidade como momentos da função distribuição subjacente.

A densidade de portadores e a pressão podem ser escritas como

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

onde \(g(E)\) é a densidade de estados e \(f(E)\) é a distribuição de Fermi–Dirac. Para uma banda parabólica, essas integrais se reduzem a integrais padrão de Fermi–Dirac,

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

com potencial químico reduzido \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\), e \(F_j(\eta)\) a integral completa de Fermi–Dirac de ordem \(j\).

Tomando o gradiente da pressão, obtém-se

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Substituir essa expressão na corrente mostra que a difusão e a condução térmica são governadas por uma relação de Einstein generalizada,

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Essa expressão é exata para uma banda parabólica e permanece válida do regime não degenerado ao fortemente degenerado. No limite não degenerado (\(\eta \ll -1\)), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\), e a relação de Einstein generalizada se reduz à forma familiar

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

O primeiro termo representa a deriva conduzida por variações espaciais da borda da banda de condução, incluindo tanto campos eletrostáticos quanto offsets de banda em heterojunções. O segundo termo, envolvendo o gradiente de pressão, é a origem da difusão e da condução térmica.

No caso não degenerado, a pressão dos portadores é \(p = n k_B T\), de modo que

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Substituir essa expressão na corrente fornece

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Usando a relação de Einstein para portadores não degenerados, \(D_n = \mu_n k_B T / q\), a corrente pode ser escrita na forma familiar de deriva–difusão com condução térmica explícita:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{deriva por borda de banda}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{difusão}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{condução térmica}}. \]

Em heteroestruturas, a densidade efetiva de estados \(N_c(\mathbf{r},T)\) pode variar espacialmente devido a mudanças em parâmetros da estrutura de bandas, como massa efetiva. Uma redução autoconsistente então produz um termo adicional de condução por material proporcional a \(\nabla\ln N_c\).

Incluindo essa contribuição, a corrente de deriva–difusão usada em simuladores de dispositivos pode ser escrita como

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{deriva por borda de banda}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{difusão}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{condução térmica}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{condução por DOS / massa efetiva}}. \]

Escritos dessa forma, todos os mecanismos de condução surgem naturalmente da mesma estrutura de balanço de momento. Campos eletrostáticos, offsets de banda em heterojunções, gradientes de temperatura e variações espaciais dos parâmetros de material entram todos exatamente no mesmo nível.

Uma derivação inteiramente análoga se aplica às lacunas. Repetindo os mesmos passos usando a borda da banda de valência \(E_v(\mathbf{r})\) e a estatística de lacunas obtém-se a densidade de corrente de lacunas

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{deriva por borda de banda}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{difusão}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{condução térmica}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{condução por DOS / massa efetiva}}, \]

onde \(N_v(\mathbf{r},T)\) é a densidade efetiva de estados da banda de valência. Os sinais opostos dos termos de difusão e condução térmica refletem a carga positiva das lacunas.

• Condução térmica (termodifusão / termo tipo Seebeck): variações espaciais na temperatura dos portadores modificam a distribuição local de quase-equilíbrio e geram um fluxo líquido de portadores proporcional a \(\nabla T\), mesmo na ausência de um campo elétrico.
• Condução por densidade de estados / massa efetiva: em heteroestruturas ou materiais espacialmente variáveis, gradientes em parâmetros da estrutura de bandas (como massa efetiva) levam a gradientes em \(N_c\) e \(N_v\). Esses termos são essenciais nas interfaces de materiais e garantem que o transporte de portadores permaneça consistente com a estatística subjacente e a estrutura de bandas.

7. Transporte de energia / extensão de portadores quentes

No modelo de deriva–difusão derivado anteriormente, o transporte de portadores é descrito por continuidade de partículas e um balanço de momento reduzido a uma lei algébrica de corrente. Assume-se que a energia dos portadores relaxa rapidamente para a rede, de modo que nenhuma equação explícita é resolvida para ela.

Quando essa hipótese é relaxada, a próxima equação na hierarquia de momentos de Boltzmann deve ser retida: a equação de balanço de energia. Essa equação governa como os portadores ganham energia de campos elétricos e gradientes de borda de banda, transportam essa energia através do dispositivo e a perdem para a rede.

7.1 Segundo momento da equação de Boltzmann

O balanço de energia é obtido multiplicando a Equação de Transporte de Boltzmann pela energia de partícula única \(W(\mathbf{k})\) e integrando sobre o espaço de momentos. Para elétrons, a energia de um estado é escrita como

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

onde \(E_c(\mathbf{r})\) é a borda da banda de condução e \(\varepsilon(\mathbf{k})\) é a energia cinética relativa à borda da banda (para uma banda parabólica, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Definindo a energia média dos portadores por partícula como

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

a densidade de energia correspondente é \(n\bar W\). Essa quantidade desempenha para a energia o mesmo papel que \(n\) desempenha para o número de partículas.

7.2 Fluxo de energia e relação com correntes de deriva–difusão

O termo de transporte espacial no segundo momento contém integrais da forma \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), o que motiva a definição do fluxo de energia

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Essa quantidade é diretamente análoga ao fluxo de partículas \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), e portanto à densidade de corrente \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). O transporte de energia está, assim, naturalmente acoplado ao transporte de portadores.

7.3 Trabalho realizado pelo campo elétrico e por gradientes de borda de banda

O termo de força na equação de Boltzmann produz uma contribuição distinta no segundo momento. Usando integração por partes no espaço de momentos e a identidade \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), obtém-se

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Escrevendo a força sobre os elétrons como \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), esse termo se torna

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Este é o trabalho elétrico realizado sobre a população de portadores. No caso especial em que \(E_c=-q\phi\), ele se reduz ao termo familiar de aquecimento Joule \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Equação de balanço de energia e conexão com deriva–difusão

Reunindo todas as contribuições, a equação do segundo momento pode ser escrita como

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Esta equação está diretamente acoplada ao modelo de deriva–difusão por meio da densidade de corrente \(\mathbf{J}_n\). Não são necessários termos adicionais ad hoc de aquecimento: a dissipação de potência elétrica surge naturalmente a partir da mesma condução por borda de banda que aparece na lei de corrente.

7.5 Relação com o limite padrão de deriva–difusão

Para ver como isso se conecta aos modelos familiares de deriva–difusão, considere o caso não degenerado, próximo do equilíbrio. A contribuição cinética para a energia média é

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

de modo que

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

Em deriva–difusão estacionária com relaxação rápida de energia, \(T_e \approx T_L\) e \(\bar W \approx \bar W_0\), a derivada temporal \(\partial_t(n\bar W)\) desaparece e a equação de energia colapsa para um balanço entre aquecimento elétrico e perda de energia para a rede.

Reter a equação de balanço de energia remove essa restrição. A temperatura dos portadores \(T_e\) torna-se uma variável dinâmica, permitindo ao modelo capturar aquecimento de campo, overshoot de velocidade e transporte fora do equilíbrio, permanecendo totalmente compatível com a estrutura de deriva–difusão derivada anteriormente.

Reunindo tudo, a equação de balanço de energia implementada em um solver baseado em deriva–difusão pode ser escrita na seguinte forma:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

Aqui \(T_e\) é a temperatura dos portadores (elétrons), \(T_L\) é a temperatura da rede, \(\kappa\) é a condutividade térmica dos portadores, e \(\tau_W\) é o tempo de relaxação de energia. Essa equação é resolvida autoconsistentemente com a equação de Poisson, as equações de continuidade dos portadores e as relações de corrente de deriva–difusão.

8. Modelo acoplado final resolvido no OghmaNano

O OghmaNano resolve um sistema acoplado de equações diferenciais parciais. O conjunto exato de equações depende do modelo físico selecionado (apenas deriva–difusão, ou deriva–difusão com transporte de energia). A tabela abaixo resume as equações e quando elas são usadas.