Drift–Diffusion 이론: Boltzmann 수송에서 에너지 균형까지

이 페이지는 반도체 장치 시뮬레이션에 사용되는 drift–diffusion 방정식을 Boltzmann Transport Equation으로부터, relaxation-time approximation을 사용하여 제1원리로 유도합니다. Boltzmann 방정식의 연속적인 모멘트를 취함으로써, 전자 및 정공 연속 방정식, drift–diffusion 전류 관계, 그리고 energy-transport (hot-carrier) 방정식이 하나의 자기 일관적인 프레임워크 안에서 어떻게 나타나는지를 보입니다. 특히 헤테로접합, 밴드엣지 구동, 상태 밀도 효과, 열 수송에 중점을 두며, 최종적으로 OghmaNano에 구현된 솔버용 방정식으로 이어집니다.

1. 소개

OghmaNano의 전기 엔진은 1D/2D/3D drift–diffusion 프레임워크이며, 그 핵심 특징은 동적(비평형) 트랩 상태를 지원한다는 점입니다. 트랩이 자유 캐리어와 순간적으로 평형에 도달한다고 가정하는 대신, OghmaNano는 에너지와 공간 모두에서 트랩 점유를 명시적으로 진화시킬 수 있으며, 이는 무질서 반도체와 과도 측정(예: ToF, CELIV)은 물론 정상 상태 동작을 올바르게 모델링하는 데 필수적입니다.

drift–diffusion에 도달하는 경로는 여러 가지 정당한 방법이 있습니다. 예를 들어, 제어된 closure를 포함하는 모멘트 전개를 통해 Boltzmann Transport Equation에서 유도할 수도 있고, 비가역 열역학(Onsager / 엔트로피 생성 논의)으로부터, 또는 미시적 hopping과 거시적 drift 및 diffusion을 연결하는 random-walk / Fokker–Planck 관점에서 유도할 수도 있습니다. 이러한 접근법들은 처음에는 비슷해 보이는 방정식을 내놓는 경우가 많지만, 가장 단순한 “균질 반도체” 경우를 넘어서면 신뢰성은 동일하지 않습니다.

특히 헤테로접합, 공간적으로 변하는 유효 상태 밀도, 위치 의존 유효 질량, 밴드엣지 기울기, 또는 비자명한 통계를 도입하면, drift–diffusion 전류에 추가 항을 붙여넣는 방식으로 결과가 계속 자기 일관적일 것이라 기대하는 것은 더 이상 안전하지 않습니다. 이는 열 구동을 포함하거나 전기 수송을 열 발생과 결합하기 시작할 때도 마찬가지입니다. 이런 경우에는 올바른 추가 항을 자연스럽게 생성하고 임시방편적 수정들의 집합이 아니라, 확장에 대한 명확한 경로를 제공하는 유도 프레임워크가 필요합니다.

이러한 이유로 여기 제시된 유도는 Boltzmann Transport Equation에서 시작합니다. BTE의 모멘트를 취하면, 연속 방정식과 drift–diffusion 구성 관계를 저관성 한계에서 체계적으로 얻을 수 있으며, 같은 프레임워크가 한 단계 위의 에너지 균형 (energy-transport) 방정식으로 어떻게 “확장”되는지도 보여줍니다. 완전한 hydrodynamic 모델을 풀지 않더라도, 에너지 프레임워크는 일관된 전기적 열원 항을 식별하고 언제 캐리어 가열을 고려해야 하는지 명확히 해 준다는 점에서 유용합니다. 아래의 유도는 OghmaNano 전기 모델의 기초를 이룹니다.

2. Boltzmann Transport Equation (RTA)

장치 모델링에서 사용되는 가장 근본적인 수준에서 전하 수송은 분포 함수 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\)로 기술됩니다. 이 함수는 시간 \(t\)에서 위치 \(\mathbf{r}\), 결정 운동량 \(\hbar\mathbf{k}\)를 가진 전하 캐리어를 발견할 확률을 나타냅니다. 모든 거시적 전기량 — 캐리어 밀도, 전류 밀도, 에너지 밀도 — 는 이 분포의 적절한 모멘트를 취함으로써 얻을 수 있습니다.

Boltzmann Transport Equation (BTE)은 이 분포 함수의 운동 방정식입니다. 이는 위상 공간에서의 보존 법칙입니다. 즉, 캐리어가 실공간에서 어떻게 이동하는지, 인가된 힘 아래에서 운동량이 어떻게 변하는지, 그리고 산란 과정이 운동량 공간에서 캐리어를 어떻게 재분배하는지를 설명합니다. 따라서 BTE에서 출발하는 것은 하나의 통합된 프레임워크를 제공하며, 그로부터 drift–diffusion, 에너지 수송 및 관련 모델들을 모두 일관된 방식으로 유도할 수 있습니다.

완전한 형태에서 BTE의 충돌(산란) 항은 복잡하고 재료에 특이적입니다. 실제 장치 모델링에서는 흔히 relaxation-time approximation (RTA)을 사용하는데, 여기서는 산란이 분포를 특성 시간 \(\tau\) 내에 국소 준평형 형태 \(f^0\)로 이끈다고 가정합니다. 이 근사는 운동량 및 에너지 이완의 핵심 물리를 유지하면서도 방정식을 다루기 쉽게 만듭니다.

이 근사를 사용하면, semiclassical Boltzmann transport equation은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

좌변의 세 항은 명확한 물리적 의미를 가집니다. 첫 번째 항은 분포의 명시적인 시간 진화를 설명하고, 두 번째 항은 캐리어 속도 \(\mathbf{v}\)를 갖는 실공간 수송을 설명하며, 세 번째 항은 인가된 힘 \(\mathbf{F}\) (예를 들어 전기장에서 \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\))에 의한 운동량 공간에서의 가속을 설명합니다. 우변은 시스템을 \(f^0\) 쪽으로 이완시키는 산란을 나타냅니다.

drift–diffusion 이론은 이 방정식을 직접 풀려고 하지 않습니다. 대신, 운동량 공간에 대한 적분인 BTE의 모멘트를 취하여 캐리어 밀도, 전류 밀도, 에너지 밀도와 같은 물리적으로 의미 있는 양에 대한 진화 방정식을 얻습니다. 다음 섹션들에서는 이 절차가 어떻게 자연스럽게 익숙한 drift–diffusion 방정식과, 한 단계 더 나아가 에너지 균형 (hot-carrier) 모델로 이어지는지를 보여줍니다.

3. Boltzmann Transport Equation의 모멘트 취하기

Boltzmann Transport Equation은 위치, 운동량, 그리고 시간의 함수인 분포 함수 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\)를 통해 캐리어 동역학을 기술합니다. 평형에서는 이 분포가 익숙한 Fermi–Dirac 함수로 환원되며, 바이어스 하에서는 전기장, 밴드엣지 변화, 그리고 산란 과정에 반응하여 진화합니다. 장치 규모에서 유용한 방정식을 얻기 위해, 우리는 \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) 자체를 직접 풀지 않습니다. 대신, Boltzmann 방정식 전체의 모멘트를 취함으로써, 미시적 캐리어 통계를 drift–diffusion, 에너지 수송 및 관련 모델과 체계적으로 연결하는 거시적 양에 대한 진화 방정식을 유도합니다.

형식적으로, 모멘트 방정식은 전체 BTE에 가중 함수 \(A(\mathbf{k})\)를 곱한 뒤 전체 운동량 공간에 대해 적분하여 얻습니다.

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

가중 함수 \(A(\mathbf{k})\)를 어떻게 선택하느냐에 따라 균형 방정식, 즉 거시적 양이 어떻게 구동되고 이완되는지를 나타내는 진화 방정식이 생성됩니다. \(A=1\)로 두면 입자 균형 방정식이 얻어지며, 이로부터 익숙한 전자 및 정공 연속 방정식을 얻습니다. 첫 번째 모멘트인 \(A=\hbar\mathbf{k}\) (또는 동등하게 \(m^\ast\mathbf{v}\))를 취하면, 캐리어 운동량이 힘과 산란에 어떻게 반응하는지를 기술하는 운동량 균형 방정식이 생성됩니다. 표준 drift–diffusion 전류는 이 방정식의 과감쇠 한계, 즉 운동량이 빠르게 이완되고 관성 항이 무시되는 한계에서 회복됩니다. 다음 모멘트인 \(A=W(\mathbf{k})\)를 취하면 에너지 균형 방정식이 얻어지며, 이는 캐리어 에너지의 수송과 이완을 기술하고 hot carrier, 열 구동, 전기적 열 발생을 모델링하는 데 필요한 최소한의 확장을 제공합니다. 이와 같이, 연속, drift–diffusion, 그리고 energy-transport 모델은 하나의 자기 일관적 프레임워크 안에서 연속적인 근사 수준으로 나타납니다.

표준 drift–diffusion은 입자 균형 방정식과 운동량 균형 방정식으로부터 얻은 단순화된 전류 구성 관계만을 유지합니다. 그렇게 함으로써, 캐리어 에너지는 보존하지 않습니다.

4. 영차 모멘트: 입자 균형 (연속 방정식)

Boltzmann Transport Equation의 첫 번째이자 가장 중요한 모멘트는 가중 함수를 \(A(\mathbf{k}) = 1\)로 두어 얻습니다. 이는 캐리어를 세는 것에 해당합니다. 전체 Boltzmann 방정식을 모든 운동량에 대해 적분하면 공간의 각 점에서 전체 캐리어 밀도에 대한 균형 법칙이 얻어집니다. 이런 이유로 영차 모멘트는 입자 균형 (또는 입자 연속) 방정식이라고 불립니다.

4.1 유도 (영차 모멘트 / 입자 균형)

relaxation-time 형태의 Boltzmann 방정식에서 시작합니다.

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

\(A(\mathbf{k})=1\)을 곱하고 모든 \(\mathbf{k}\)에 대해 적분합니다.

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

첫 번째 항은 캐리어 밀도를 정의합니다. \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] 따라서 \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]

두 번째 항은 실공간에서의 발산으로 바뀝니다.

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

여기서 평균 캐리어 속도는 \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k \] 입니다.

세 번째 항(힘 항)은 분포가 \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\)에서 빠르게 감쇠한다는 표준 가정 하에서 0이 됩니다. 따라서 대응하는 \(\mathbf{k}\)-공간 표면 적분은 0입니다.

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

항들을 모으면, 영차 모멘트 방정식은 다음과 같습니다.

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

우변은 drift–diffusion 수준에서 보았을 때 자유 캐리어를 생성하거나 제거하는 과정을 나타냅니다. 즉 생성, 재결합, 그리고 (트랩이 있는 물질에서는) 트랩 상태와의 교환입니다. 따라서 이를 \(G - R\)로 간단히 쓰며 (트랩 포획/방출은 유효 \(R\) 항에 포함되거나 트래핑 모델에서 명시적으로 씁니다).

4.2 drift–diffusion 형식의 연속 방정식

전자 전류 밀도를 \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] 로 도입하면, 입자 균형 방정식은 익숙한 전자 연속 방정식이 됩니다.

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

대응하는 정공 연속 방정식은 다음과 같습니다.

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. 1차 모멘트: 운동량 균형 → drift–diffusion 전류

drift–diffusion 전류 방정식은 Boltzmann Transport Equation의 1차 모멘트로부터 얻어집니다. 이 모멘트는 운동량 균형에 해당하며, 캐리어 운동량이 전기장과 밴드엣지 기울기와 같은 힘에 의해 어떻게 구동되고, 산란에 의해 어떻게 감소하는지를 설명합니다. 완전한 운동량 균형 방정식을 푸는 대신, 표준 drift–diffusion은 캐리어 속도를 국소 구동력의 함수로 직접 표현함으로써 얻어지며, 운동량이나 에너지에 대한 명시적 진화 방정식은 유지하지 않습니다. 이러한 근사는 고차 운동량 및 에너지 수송 효과가 필요하지 않을 때 적절합니다.

5.1 BTE의 1차 모멘트로부터 drift–diffusion 전류까지

운동량 relaxation time \(\tau_p\)를 사용하여 쓴 relaxation-time approximation 형태의 Boltzmann Transport Equation에서 시작합니다.

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

운동량 균형을 얻기 위해, 전체 방정식에 운동량 유사 가중치 \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (포물선 밴드에 대해 동등하게 \(\hbar\mathbf{k}\))를 곱하고, 운동량 공간에 대해 적분합니다.

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 속도 모멘트, 전류, 압력의 식별

1차 모멘트 적분은 장치 규모 수송 방정식에 나타나는 양들을 도입합니다. 먼저 캐리어 밀도와 평균 캐리어 속도를 다음과 같이 정의합니다.

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

위에서 정의된 \(\mathbf{u}\)는 평균 캐리어 속도입니다. 이는 공간의 주어진 점에서 캐리어 집단의 순 drift를 나타냅니다. 개별 캐리어는 일반적으로 \(\mathbf{u}\)보다 훨씬 빠르게 움직이며, 이 느린 집단적 drift 위에 무작위적인 열 운동을 수행합니다. 따라서 평균 속도는 캐리어의 전형적인 속도가 아니라, 모든 미시적 운동을 평균한 후 남는 작은 잔여 속도입니다.

이 구분은 매우 중요합니다. 무작위 열 운동은 평균적으로 0이 되므로 전기 전류에 기여하지 않지만, 평균 drift 속도 \(\mathbf{u}\)는 전기장, 농도 기울기, 온도 기울기에 의해 발생한 캐리어 운동의 불균형을 포착합니다. 거시적 전류 밀도를 결정하는 것은 바로 이 평균 속도입니다.

이러한 정의를 사용하면, 입자 플럭스는 \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\)이고, 전자 전류 밀도는 다음과 같습니다.

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

이러한 정의를 1차 모멘트 방정식에 다시 대입하면, 운동량 공간 적분을 전적으로 \(n\), \(\mathbf{u}\), 그리고 더 높은 차수의 속도 모멘트로 다시 쓸 수 있습니다. 특히 충돌 항은 기준 분포 \(f^0\)가 평균 drift 속도가 0인 국소 평형 상태를 나타내므로 단순화됩니다.

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

따라서 충돌 항은 평균 속도 \(\mathbf{u}\)에 비례하는 운동량 이완 항만을 제공합니다.

1차 모멘트 방정식에 남아 있는 공간 수송 항은 \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\) 형태의 적분을 포함하며, 이는 공간을 통한 운동량 플럭스를 나타냅니다. 이 항의 물리적 내용을 명확히 하기 위해, 캐리어 속도를 평균 부분과 변동 부분으로 분해합니다.

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

이 분해를 두 번째 속도 모멘트에 대입하고 \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\)를 사용하면, 운동량 플럭스는 convective 기여와 fluctuation 항으로 분리됩니다. fluctuation 기여는 캐리어의 압력(또는 응력) 텐서로 식별됩니다.

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

물리적으로 \(\mathbf{P}\)는 평균 drift 속도 주변의 속도 변동과 연관된 운동량 수송을 나타냅니다. 이의 발산은 축약된 수송 방정식에서 diffusion 및 열 구동 항을 유도합니다.

모든 기여를 모으면, 1차 모멘트 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

이 방정식은 Boltzmann Transport Equation의 1차 모멘트로부터 직접 얻은 일반적인 운동량 균형 방정식입니다. 아직 drift–diffusion 가정은 전혀 사용되지 않았으며, 그것은 다음 단계에서 운동량 균형을 국소 힘 균형으로 축약할 때 도입됩니다.

5.3 운동량 균형을 힘 균형으로 축약하기

drift–diffusion 모델링에서는 운동량 자체의 시간 진화나 공간 수송을 명시적으로 해석하는 데 관심이 없습니다. 대신, 캐리어 운동량이 인가된 힘에 국소적으로 맞추어 조정된다고 가정하여, 일시적 또는 비국소적 운동량 수송 효과를 무시합니다. 이 가정 아래에서 운동량 균형은, 힘 항과 이완 항은 유지한 채, 명시적 운동량 수송 및 관성 항을 버림으로써 단순화됩니다.

이 근사를 사용하면, 운동량 균형은 다음과 같이 축약됩니다.

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

이렇게 쓰면, 이 방정식은 국소 힘 균형으로 해석해야 합니다. 즉, 캐리어 운동을 구동하는 힘은 산란에 의한 운동량 손실과 균형을 이룹니다.

남아 있는 \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) 항은 무작위 캐리어 운동에 의해 운동량이 어떻게 재분배되는지를 나타냅니다. 텐서 \(\mathbf{P}\) 자체는 속도 성분 간 상관을 담고 있으며, 일반적으로 비등방적 운동량 수송을 허용합니다. 많은 반도체 장치에서 캐리어 분포는 속도 공간에서 거의 등방적입니다. 이 경우 속도 변동에 대해 선호되는 방향이 없으므로, 압력 텐서는 항등 텐서에 스칼라 압력을 곱한 형태로 줄어듭니다.

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

물리적으로 이는 무작위 열 운동이 모든 방향에 동일하게 기여함을 의미합니다. 이 형태를 운동량 균형에 대입하면, 압력 텐서의 발산은 스칼라 압력의 기울기로 단순화됩니다.

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

이 항이 drift–diffusion 방정식에서 diffusion과 열 구동의 기원이 됩니다. 다음 섹션에서는 이 힘 균형 방정식을 평균 캐리어 속도 \(\mathbf{u}\)에 대해 풀어, drift–diffusion 전류로 직접 이어지게 합니다.

5.4 힘 균형으로부터 drift–diffusion 전류까지

이제 이전 섹션에서 유도한 축약된 국소 운동량 균형으로 돌아갑니다. 전자의 경우, 전기 퍼텐셜과 재료 오프셋을 모두 포함하는 전도대 밴드엣지 \(E_c(\mathbf{r})\)를 사용하여 구동력을 표현하는 것이 편리합니다. 따라서 전자에 작용하는 힘을 다음과 같이 씁니다.

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

여기서 \(E_c(\mathbf{r})\)는 (기준점까지 포함하여) \(E_c = \chi - q\phi\)로 쓸 수 있으므로, 전자 친화도 또는 전기 퍼텐셜의 공간 변화가 모두 캐리어 구동에 자연스럽게 기여합니다. 이를 축약된 운동량 균형에 대입하면 다음을 얻습니다.

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

이 방정식은 밴드엣지 구동, 압력 구동 수송, 그리고 산란에 의한 운동량 손실 간의 국소 균형을 표현합니다. 평균 캐리어 속도에 대해 풀면 다음과 같습니다.

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

전자 전류 밀도의 정의 \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\)를 사용하면 다음을 얻습니다.

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

이동도 \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\)를 도입하면 이는 다음과 같습니다.

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

이 시점에서 전류는 압력 기울기 \(\nabla p\)로 표현되어 있으며, 캐리어 통계에 대한 가정은 아직 하지 않았습니다. 계속 진행하기 위해, 압력과 밀도를 기본 분포 함수의 모멘트로 표현합니다.

캐리어 밀도와 압력은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

여기서 \(g(E)\)는 상태 밀도이고 \(f(E)\)는 Fermi–Dirac 분포입니다. 포물선 밴드의 경우, 이 적분들은 표준 Fermi–Dirac 적분으로 환원됩니다.

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

여기서 축약 화학 퍼텐셜은 \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\)이고, \(F_j(\eta)\)는 차수 \(j\)의 완전 Fermi–Dirac 적분입니다.

압력의 기울기를 취하면 다음을 얻습니다.

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

이 표현을 전류에 대입하면, diffusion과 열 구동이 일반화된 Einstein 관계에 의해 지배됨을 알 수 있습니다.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

이 식은 포물선 밴드에 대해 정확하며, 비축퇴에서 강한 축퇴 영역까지 유효합니다. 비축퇴 한계 (\(\eta \ll -1\))에서는 \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\) 이므로, 일반화된 Einstein 관계는 익숙한 형태로 환원됩니다.

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

첫 번째 항은 전도대 밴드엣지의 공간 변화에 의해 구동되는 drift를 나타내며, 여기에는 전기장과 헤테로접합 밴드 오프셋이 모두 포함됩니다. 두 번째 항인 압력 기울기는 diffusion과 열 구동의 기원입니다.

비축퇴 경우 캐리어 압력은 \(p = n k_B T\) 이므로,

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

이 표현을 전류에 대입하면 다음을 얻습니다.

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

비축퇴 캐리어에 대한 Einstein 관계 \(D_n = \mu_n k_B T / q\)를 사용하면, 전류는 명시적인 열 구동을 포함하는 익숙한 drift–diffusion 형태로 쓸 수 있습니다.

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{밴드엣지 drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{열 구동}}. \]

헤테로구조에서는 유효 상태 밀도 \(N_c(\mathbf{r},T)\)가 유효 질량과 같은 밴드구조 매개변수의 변화로 인해 공간적으로 달라질 수 있습니다. 자기 일관적인 축약은 그러면 \(\nabla\ln N_c\)에 비례하는 추가적인 재료 구동 항을 생성합니다.

이 기여를 포함하면, 장치 시뮬레이터에서 사용되는 drift–diffusion 전류는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{밴드엣지 drift}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{diffusion}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{열 구동}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{DOS / 유효질량 구동}}. \]

이 형식으로 쓰면, 모든 구동 메커니즘은 동일한 운동량 균형 프레임워크에서 자연스럽게 발생합니다. 전기장, 헤테로접합 밴드 오프셋, 온도 기울기, 그리고 재료 매개변수의 공간적 변화가 모두 정확히 같은 수준에서 들어갑니다.

정공에 대해서도 완전히 유사한 유도가 적용됩니다. 같은 절차를 밸런스 밴드엣지 \(E_v(\mathbf{r})\)와 정공 통계를 사용하여 반복하면, 정공 전류 밀도는 다음과 같습니다.

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{밴드엣지 drift}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{diffusion}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{열 구동}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{DOS / 유효질량 구동}}, \]

여기서 \(N_v(\mathbf{r},T)\)는 가전자대의 유효 상태 밀도입니다. diffusion 및 열 구동 항의 부호가 반대인 것은 정공의 양전하를 반영합니다.

• 열 구동 (thermodiffusion / Seebeck 유사 항): 캐리어 온도의 공간 변화는 국소 준평형 분포를 바꾸며, 전기장이 없어도 \(\nabla T\)에 비례하는 순 캐리어 플럭스를 생성합니다.
• 상태 밀도 / 유효 질량 구동: 헤테로구조 또는 공간적으로 변하는 재료에서는 유효 질량과 같은 밴드구조 매개변수의 기울기가 \(N_c\)와 \(N_v\)의 기울기로 이어집니다. 이 항들은 재료 계면에서 필수적이며, 캐리어 수송이 기본 통계와 밴드구조와 일관되게 유지되도록 합니다.

7. 에너지 수송 / hot-carrier 확장

앞서 유도한 drift–diffusion 모델에서는 입자 연속과 운동량 균형을 대수적 전류 법칙으로 축약한 형태로 캐리어 수송이 기술됩니다. 캐리어 에너지는 격자와 빠르게 이완된다고 가정하므로, 이에 대한 명시적 방정식은 풀지 않습니다.

이 가정을 완화하면, Boltzmann 모멘트 계층에서 다음 방정식을 유지해야 합니다. 바로 에너지 균형 방정식입니다. 이 방정식은 캐리어가 전기장과 밴드엣지 기울기로부터 에너지를 어떻게 얻고, 그 에너지를 장치 전체로 어떻게 수송하며, 그리고 격자에 어떻게 잃는지를 지배합니다.

7.1 Boltzmann 방정식의 2차 모멘트

에너지 균형은 Boltzmann Transport Equation에 단일 입자 에너지 \(W(\mathbf{k})\)를 곱하고 운동량 공간에 대해 적분하여 얻습니다. 전자의 경우, 상태의 에너지는 다음과 같이 씁니다.

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

여기서 \(E_c(\mathbf{r})\)는 전도대 밴드엣지이며, \(\varepsilon(\mathbf{k})\)는 밴드엣지에 대한 운동 에너지입니다 (포물선 밴드의 경우 \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

입자당 평균 캐리어 에너지를 다음과 같이 정의하면,

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

대응하는 에너지 밀도는 \(n\bar W\)입니다. 이 양은 입자 수에 대한 \(n\)이 하는 역할을 에너지에 대해 수행합니다.

7.2 에너지 플럭스와 drift–diffusion 전류와의 관계

2차 모멘트의 공간 수송 항에는 \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) 형태의 적분이 들어가며, 이는 에너지 플럭스의 정의를 동기부여합니다.

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

이 양은 입자 플럭스 \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), 따라서 전류 밀도 \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\)와 직접적으로 유사합니다. 따라서 에너지 수송은 캐리어 수송과 자연스럽게 결합됩니다.

7.3 전기장과 밴드엣지 기울기가 하는 일

Boltzmann 방정식의 힘 항은 2차 모멘트에서 뚜렷한 기여를 만듭니다. 운동량 공간에서의 부분 적분과 항등식 \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\)를 사용하면, 다음을 얻습니다.

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

전자에 작용하는 힘을 \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\)로 쓰면, 이 항은 다음이 됩니다.

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

이것이 캐리어 집단에 가해지는 전기적 일입니다. \(E_c=-q\phi\)인 특별한 경우에는, 이는 익숙한 Joule heating 항 \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\)로 환원됩니다.

7.4 에너지 균형 방정식과 drift–diffusion과의 연결

모든 기여를 모으면, 2차 모멘트 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

이 방정식은 전류 밀도 \(\mathbf{J}_n\)를 통해 drift–diffusion 모델과 직접 결합됩니다. 추가적인 임시방편적 가열 항은 필요하지 않습니다. 전기적 전력 소산은 전류 법칙에 나타나는 동일한 밴드엣지 구동으로부터 자연스럽게 발생합니다.

7.5 표준 drift–diffusion 한계와의 관계

이것이 익숙한 drift–diffusion 모델과 어떻게 연결되는지 보기 위해, 비축퇴, 근평형 경우를 생각해 봅시다. 평균 에너지의 운동학적 기여는 다음과 같습니다.

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

따라서

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

빠른 에너지 이완을 갖는 정상 상태 drift–diffusion에서는, \(T_e \approx T_L\)이고 \(\bar W \approx \bar W_0\)이므로, 시간 미분 \(\partial_t(n\bar W)\)는 사라지고 에너지 방정식은 전기적 가열과 격자에 대한 에너지 손실 간의 균형으로 축약됩니다.

에너지 균형 방정식을 유지하면 이 제한이 해제됩니다. 캐리어 온도 \(T_e\)는 동적 변수가 되어, 모델이 drift–diffusion 프레임워크와 완전히 호환된 상태로 전계 가열, 속도 overshoot, 비평형 수송을 포착할 수 있게 됩니다.

모든 것을 종합하면, drift–diffusion 기반 솔버에 구현되는 에너지 균형 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

여기서 \(T_e\)는 캐리어(전자) 온도, \(T_L\)는 격자 온도, \(\kappa\)는 캐리어 열전도도, \(\tau_W\)는 에너지 이완 시간입니다. 이 방정식은 Poisson 방정식, 캐리어 연속 방정식, 그리고 drift–diffusion 전류 관계와 자기 일관적으로 함께 풀립니다.

8. OghmaNano에서 풀리는 최종 결합 모델

OghmaNano는 결합된 편미분 방정식 시스템을 풉니다. 정확한 방정식 집합은 선택된 물리 모델 (drift–diffusion만, 또는 energy transport를 포함한 drift–diffusion)에 따라 달라집니다. 아래 표는 방정식과 그것이 언제 사용되는지를 요약합니다.