Shockley-Read-Hall 트랩 상태를 사용한 비평형 캐리어 트래핑 및 재결합

1. 소개

많은 독자들은 Shockley–Read–Hall (SRH) 재결합을 학부 물리 수업에서 처음 접하게 됩니다. 이는 종종 자유 캐리어와 트랩된 캐리어 사이의 재결합 메커니즘으로 소개되며, 다음과 같은 잘 알려진 단순화된 식으로 요약됩니다:

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

여기서:

• \(\tau_{n}\), \(\tau_{p}\)는 트랩과 관련된 전자 및 정공 수명이며,
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\)는 트랩이 평형에 놓일 때의 유효 전자 밀도이고,
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\)는 이에 대응하는 정공 밀도이며,
• \(E_{t}\)는 트랩 에너지 준위이고, \(n_{i}\)는 고유 캐리어 농도입니다.

이 방정식은 Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952)에서 처음 유도되었으며, 매뉴얼의 SRH 이론 섹션에서 더 자세히 설명됩니다.

그러나 위의 방정식이 전체 이야기가 아니라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 이 간결한 형태는 원래 Shockley–Read–Hall 해석에서 몇 가지 단순화 가정 아래에서 얻어진 결과입니다:

• 정상 상태 조건: 트랩 점유율이 시간에 따라 변하지 않는다고 가정하므로 포획과 방출 속도가 균형을 이룹니다.
• 단일 트랩 준위: 재결합은 밴드갭 내부 에너지 \(E_t\)에 있는 하나의 에너지적으로 날카로운 결함 준위를 통해 일어납니다.

이러한 가정은 불순물이 소수만 존재하는 재료에서는 완전히 적절합니다. 이러한 경우 트랩 보조 재결합은 비교적 작은 역할만 하며, 하나의 이산 트랩 준위가 합리적인 설명을 제공합니다. 그러나 Shockley–Read–Hall 재결합이 지배적인 과정이 되면, 이는 무질서 반도체에서 흔히 나타나는 상황처럼, 그림이 달라집니다. 이러한 시스템에서는 트랩이 하나의 에너지에 존재하는 경우가 드물고 대신 밴드갭 내부에 걸쳐 넓은 상태 분포를 형성하므로, density-of-states 기술이 더 적절합니다. 또한 많은 수의 점유된 트랩은 상당한 트랩 전하를 도입하며, 이는 재결합 채널일 뿐 아니라 장치 전체의 정전기 퍼텐셜을 재형성하는 캐리어 저장소로도 작용합니다. 이는 트랩 점유율이 수동적인 배경 과정이 아니라 Poisson 방정식과 자기 일관적으로 처리되어야 함을 의미합니다. 더 나아가 정상 상태 가정은 동적 과정의 기술을 불가능하게 만듭니다. 시간 분해 실험이나 과도 시뮬레이션에서는 트랩 점유율이 시간에 따라 진화하며, 이러한 진화 자체가 재결합 동역학에 본질적입니다. 이러한 이유로 간결한 SRH 공식은 유용한 출발점이지만, 높은 트랩 밀도를 가진 재료나 비평형 동역학이 중요한 상황에서는 반드시 일반화되어야 합니다.

정상 상태 Shockley–Read–Hall 형식과 원래 논문에서 제시된 더 넓은 처리 사이의 차이를 제대로 이해하고 설명하려면, 기저 이론을 조금 더 깊이 들여다볼 필요가 있습니다.

2. 동적 SRH 속도 방정식 이해

Shockley–Read–Hall (SRH) 형식이 실제로 무엇을 의미하는지 이해하려면, 원래 저자들이 이를 어떻게 설정했는지를 주의 깊게 볼 필요가 있습니다. 그들이 한 일은 반도체 밴드갭 내부 트랩 상태의 점유율에 대한 속도 방정식을 쓰는 것이었습니다. 이 속도 방정식은 아래에 주어져 있으며 ??에 개략적으로 나타나 있습니다. 이 식은 포획 및 탈출 과정에 의해 트랩 내 캐리어 수가 어떻게 변하는지를 설명합니다.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

이 식에서 네 개의 항은 전자 트랩과 관련된 네 가지 가능한 캐리어 흐름에 대응합니다. \(r_{ec}\) 항은 자유 전자 집단에서 트랩으로의 전자 포획을 나타내고, \(r_{ee}\)는 자유 밴드로의 전자 방출을 나타냅니다. 마찬가지로 \(r_{hc}\)는 트랩으로의 정공 포획 속도이며, \(r_{he}\)는 자유 정공 집단으로의 정공 방출 속도입니다. 이들 과정은 함께 단일 트랩 준위 안팎으로의 캐리어 흐름의 상세 균형을 설명합니다.

이들 기여를 개념적으로 분리해 보는 것이 유용합니다. 전자 포획 및 방출 항 (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\))은 일반적으로 전자를 저장하는 트랩을 상상할 때 떠올리는 순수한 전하 트래핑을 설명합니다. 정공 포획 및 방출 항 (\(r_{hc}\), \(r_{he}\))은 자유 정공 집단과의 상호작용을 통해 트랩된 전하가 소멸되거나 재생성되는 과정을 나타내므로 재결합을 설명합니다. 여기서 핵심은 트랩 자체가 실제로 전하를 포함하고 있다는 점입니다. 트랩은 단순한 수학적 재결합 싱크가 아니라, 재결합과 장치 정전기학을 모두 모델링할 때 반드시 고려해야 하는 실제 캐리어 저장소입니다.

2. 탈출 대 포획 확률

트랩과 상호작용하는 캐리어의 포획 및 탈출 속도는 아래 표에 요약되어 있으며, 대응하는 탈출 확률은 그 아래 방정식들에 주어져 있습니다. Shockley–Read–Hall 이론의 핵심 특징은 탈출 확률이 트랩의 에너지 깊이에 강하게 의존한다는 점입니다. 밴드 에지에 가까운 얕은 트랩에 포획된 캐리어는 비교적 쉽게 탈출할 수 있지만, 더 깊은 트랩에 있는 캐리어는 방출 확률이 훨씬 낮습니다. 이 거동은 탈출 확률 식의 지수 항에 직접 반영됩니다. 반대로 캐리어가 트랩에 포획될 확률은 트랩 깊이에 의존하지 않고, 트랩이 비어 있는지 혹은 점유되어 있는지에만 의존합니다. 비어 있는 트랩은 접근하는 캐리어를 포획할 가능성이 높지만, 완전히 점유된 트랩은 추가 캐리어를 포획할 수 없습니다. 표 9.1 전체를 보면 이러한 원리가 포획 및 탈출 속도에 수학적으로 어떻게 표현되어 있는지 확인할 수 있습니다. 이들을 종합하면, 캐리어는 쉽게 트랩에 빠지고, 트랩이 에너지적으로 더 깊을수록 탈출하기 어려우며, 전자와 정공 모두 포획될 수 있는 계가 기술됩니다. 두 종류의 캐리어가 동일한 트랩을 점유하면 재결합이 자연스럽게 발생합니다.

탈출 확률은 다음과 같이 주어집니다:

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

그리고

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

점유 함수는 다음 식으로 주어집니다, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] 여기서, \(E_{t}\)는 트랩 준위이고, \(F_{t}\)는 트랩의 Fermi-Level입니다.

3. 하나의 트랩에서 DoS로

지금까지, 그리고 그림 9.1에 나타난 것처럼, 우리는 단일 트랩 준위(“보라색 트랩”)의 거동을 고려했습니다. 그러나 실제 무질서 반도체에서는 재결합이 하나의 이산 상태에 의해 지배되는 경우는 드뭅니다. 대신 전도대 및 가전자대 가장자리로부터 밴드갭 내부로 뻗어 들어가는 트랩 준위 분포가 존재합니다. 이는 전자 트랩뿐 아니라 정공 트랩도, 그리고 각각의 에너지 의존 밀도도 함께 기술해야 함을 의미합니다.

이를 위해 트랩 밀도는 density-of-states 함수 \(\rho(E)\)로 기술되며, 이는 연구 대상 물질에 적합한 임의의 해석적 형태로 설정될 수 있습니다. 이 예에서는 지수형 트랩 상태 분포를 사용합니다:

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

여기서 \(N^{e/h}\)는 밴드 가장자리(LUMO 또는 HOMO)에서의 상태 밀도이며 단위는 eV당 상태 수이고, \(E_{u}^{e/h}\)는 지수 꼬리를 정의하는 특성 기울기 에너지입니다. 특정 에너지 준위와 관련된 유효 트랩 밀도는 해당 트랩을 나타내는 에너지 구간 \(\Delta E\)에 대해 평균을 취함으로써 얻어집니다:

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

실제로 모델은 이 분포를 유한한 수의 트랩 준위로 이산화합니다. 각 트랩 준위에 대해 앞서 설명한 것처럼 별도의 속도 방정식을 쓰고, 대응하는 밀도 \(N_t\)를 할당합니다. 일반적으로 전도대와 가전자대 아래 각각 세 개에서 스무 개 사이의 트랩 준위가 사용되며, 각각 전하를 저장할 수 있습니다. 그 후 전체 트랩 전하는 Poisson 방정식과 자기 일관적으로 결합되어, 장치의 정전기 프로파일이 트랩 점유율을 반영하도록 합니다.

마지막으로, 트랩 보조 재결합 항은 캐리어 연속 방정식에 명시적으로 나타납니다. 예를 들어, Shockley–Read–Hall 재결합 속도는 다음과 같이 쓰입니다

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

이는 전자와 정공의 포획 및 탈출 속도를 전도대와 가전자대 내 캐리어 균형과 직접 연결합니다. 이와 같이 트래핑과 재결합 과정은 동등한 수준에서 기술되며, 그 기여는 장치 동작을 지배하는 연속 방정식과 Poisson 방정식에 자연스럽게 통합됩니다.

최종 결과

장치 전체에 걸쳐 에너지 공간과 위치 공간 모두에서 Shockley–Read–Hall 방정식 전체 집합을 푼 결과, 우리는 전하가 어디에 존재하는지를 위치뿐 아니라 에너지 측면에서도 기술할 수 있게 됩니다. 이를 통해 높은 무질서성을 가진 재료에서 지배적인 전하 동역학을 포착할 수 있습니다. 한 예가 ??에 나타나 있으며, 여기서는 암조건에서 인가 바이어스를 0 V부터 증가시키면서 J–V 곡선을 시뮬레이션합니다. 바이어스가 증가함에 따라 캐리어는 접촉으로부터 주입되고 점진적으로 트랩 상태를 채웁니다. 이러한 트랩 전하는 동시에 재결합 중심이자 장치 전체의 정전기 퍼텐셜을 재형성하는 공간 전하의 원천으로 작용합니다. 이 효과들을 포함하지 않으면 어떤 장치 시뮬레이션도 불완전하며 잘못될 가능성이 큽니다. 이러한 모델에 왜 트랩 상태가 반드시 포함되어야 하는지에 대한 자세한 논의는 이 섹션을 참조하십시오.