Shockley-Read-Hallトラップ状態を用いた非平衡キャリア捕獲と再結合

1. 導入

多くの読者は、Shockley–Read–Hall（SRH）再結合に最初に学部の物理学の授業で触れるでしょう。 これはしばしば自由キャリアとトラップされたキャリアの間の再結合機構として導入され、 以下のよく知られた簡略化された式で要約されます：

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

ここで：

• \(\tau_{n}\), \(\tau_{p}\) はトラップに関連する電子および正孔の寿命、
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) はトラップが平衡にあるときの有効電子密度、
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) は対応する正孔密度、
• \(E_{t}\) はトラップエネルギー準位、\(n_{i}\) は真性キャリア濃度です。

この式は最初に Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952) で導出され、マニュアルの SRH理論セクション でより詳しく説明されています。

しかし、上の式が全てではないことに注意することが重要です。 この簡潔な形は、元のShockley–Read–Hall解析がいくつかの単純化仮定のもとで得られた結果です：

• 定常状態条件： トラップ占有は時間変化しないと仮定され、捕獲率と放出率が釣り合っています。
• 単一トラップ準位： 再結合はバンドギャップ内のエネルギー \(E_t\) にある単一の、エネルギー的に鋭い欠陥準位を介して起こります。

これらの仮定は、少数の不純物しか含まれない材料では完全に妥当であり、その場合トラップ支援再結合はわずかな役割しか果たさず、単一の離散トラップ準位で合理的に記述できます。しかし、Shockley–Read–Hall再結合が無秩序半導体でよく見られるように支配的な過程になると、状況は変わります。そのような系では、トラップは単一エネルギーに存在することは稀であり、代わりにバンドギャップ内に広い状態分布を形成するため、状態密度による記述の方が適切です。さらに、多数の占有トラップは相当量のトラップ電荷を導入し、これは再結合チャネルとして働くだけでなく、デバイス全体の静電ポテンシャルを再形成するキャリアの貯蔵庫としても機能します。これは、トラップ占有を受動的な背景過程としてではなく、Poisson方程式と自己無撞着に扱わなければならないことを意味します。加えて、定常状態仮定では動的過程を記述できません。時間分解実験や過渡シミュレーションでは、トラップ占有は時間とともに変化し、この変化自体が再結合ダイナミクスに本質的です。これらの理由から、簡潔なSRH式は有用な出発点ではありますが、トラップ密度の高い材料や非平衡ダイナミクスが重要な状況では一般化が必要です。

定常状態Shockley–Read–Hall形式と元の研究で与えられたより広い取り扱いとの違いを正しく理解して考慮するためには、基礎理論をもう少し深く掘り下げる必要があります。

2. 動的SRH速度方程式の理解

Shockley–Read–Hall（SRH）形式が本当に何を意味しているかを理解するには、元の著者たちが どのようにそれを構築したかを注意深く見る必要があります。彼らが行ったのは、半導体バンドギャップ内の トラップ状態の占有に対する速度方程式を書くことでした。この速度方程式を以下に示し、 模式的に ?? に図示しています。これは、捕獲と 脱出過程によってトラップ内のキャリア数がどのように変化するかを記述します。

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

この式では、4つの項は電子トラップに関連する4つの可能なキャリア流に対応します。 項 \(r_{ec}\) は自由電子集団からトラップへの電子捕獲を表し、 \(r_{ee}\) は自由帯への電子放出を表します。同様に、\(r_{hc}\) は トラップへの正孔捕獲の速度、\(r_{he}\) は自由正孔集団への 正孔放出の速度です。これらの過程を合わせると、単一トラップ準位への出入りする キャリア流の詳細釣り合いが記述されます。

これらの寄与は概念的に分けて考えると有用です。電子捕獲および放出項 （\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)）は純粋な電荷捕獲を記述しており、 これは通常トラップが電子を蓄えると考える場合に相当します。正孔捕獲および放出項 （\(r_{hc}\), \(r_{he}\)）は再結合を記述しており、自由正孔集団との相互作用による トラップ電荷の消滅または再生成を表します。ここで重要なのは、 トラップ自体が実際に電荷を含んでいるということです。これは再結合のための単なる数学的シンクではなく、 デバイスの再結合と静電気学の両方をモデル化する際に考慮しなければならない 実際のキャリアの貯蔵庫です。

2. 脱出確率 v.s 捕獲確率

トラップと相互作用するキャリアの捕獲率および脱出率は 下の表にまとめられており、対応する脱出確率はその下の式で与えられています。 Shockley–Read–Hall理論の重要な特徴は、脱出確率がトラップのエネルギー深さに強く依存することです。 バンド端に近くでトラップされたキャリアは比較的容易に脱出できますが、より深いトラップ中のキャリアは 放出確率がはるかに低くなります。この挙動は脱出確率式の指数項に直接反映されています。 対照的に、キャリアがトラップに捕獲される確率はトラップ深さには依存せず、 トラップが空であるか占有されているかのみに依存します。空のトラップは近づくキャリアを 高い確率で捕獲しますが、完全に占有されたトラップは追加のキャリアを捕獲できません。 表 9.1 を見ると、これらの原理が捕獲率と脱出率の中に 数式として表現されていることが分かります。これらを合わせると、キャリアが容易にトラップへ落ち込み、 トラップがより深いエネルギーにあるほど脱出が難しくなり、さらに電子と正孔の両方が捕獲されうる 系を記述しています。両方の種が同じトラップを占有すると、再結合が自然に起こります。

脱出確率は次式で与えられます：

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

および

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

占有関数は次式で与えられます。 \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] ここで、 \(E_{t}\) はトラップ準位、\(F_{t}\) はトラップのFermi準位です。

3. 一つのトラップからDoSへ

ここまで、そして 図 9.1 に示したように、単一トラップ準位 （「紫のトラップ」）の挙動を考えてきました。しかし、実際の無秩序半導体では、再結合が一つの離散状態に よって支配されることはほとんどありません。代わりに、伝導帯端および価電子帯端の両方から バンドギャップ内へ広がるトラップ準位分布が存在します。これは、電子トラップだけでなく 正孔トラップも、それぞれのエネルギー依存密度とともに記述しなければならないことを意味します。

これを行うために、トラップ密度は状態密度関数 \(\rho(E)\) で記述され、 対象材料に適した任意の解析形に設定できます。この例では、トラップ状態の指数分布を使用します：

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

ここで \(N^{e/h}\) はバンド端（LUMOまたはHOMO）における状態密度で、単位は eVあたりの状態数、 \(E_{u}^{e/h}\) は指数テールを定義する特徴的な傾きエネルギーです。特定のエネルギー準位に関連する 有効トラップ密度は、そのトラップを表すエネルギー区間 \(\Delta E\) にわたる平均によって得られます：

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

実際には、モデルはこの分布を有限個のトラップ準位に離散化します。各トラップ準位について、 前述のように個別の速度方程式を書き、対応する密度 \(N_t\) を割り当てます。通常、 伝導帯と価電子帯の両方の下に3個から20個のトラップ準位が用いられ、それぞれが電荷を蓄えることができます。 総トラップ電荷はその後、Poisson方程式と自己無撞着に結合され、 デバイスの静電プロファイルがトラップ占有を考慮するようになります。

最後に、トラップ支援再結合項はキャリア連続方程式に明示的に現れます。例えば、 Shockley–Read–Hall再結合率は次のように書かれます：

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

これにより電子および正孔の捕獲率と脱出率が、伝導帯および価電子帯におけるキャリア収支に 直接結び付けられます。このようにして、捕獲過程と再結合過程の両方が同等に記述され、 それらの寄与はデバイス動作を支配する連続方程式およびPoisson方程式に自然に統合されます。

最終結果

デバイス全体にわたり、エネルギー空間と位置空間の両方でShockley–Read–Hall方程式の 完全な組を解くことで得られる結果は、電荷がどこに存在するかを位置だけでなくエネルギーの観点でも 記述できるようになることです。これにより、高度に無秩序な材料で支配的となる電荷ダイナミクスを 捉えることができます。例を ?? に示します。ここでは、印加バイアスを0 Vから増加させながら、 暗条件下でJ–V曲線をシミュレートしています。バイアスが上昇すると、キャリアは接触から注入され、 徐々にトラップ状態を埋めていきます。これらのトラップ電荷は、再結合中心として働くと同時に、 デバイス全体の静電ポテンシャルを再形成する空間電荷源としても作用します。これらの効果を含めなければ、 どのようなデバイスシミュレーションも不完全であり、おそらく誤ったものになります。 なぜそのようなモデルにトラップ状態を含める必要があるのかについての詳細な議論は、 このセクション を参照してください。