بهدامافتادن و بازترکیب حاملها در غیرتعادل با استفاده از حالتهای تله Shockley-Read-Hall
1. مقدمه
بسیاری از خوانندگان نخستین بار با بازترکیب Shockley–Read–Hall (SRH) در کلاسهای فیزیک دوره کارشناسی خود آشنا میشوند. این سازوکار اغلب بهعنوان یک مکانیزم بازترکیب بین یک حامل آزاد و یک حامل بهدامافتاده معرفی میشود، و با عبارت شناختهشده و سادهشده زیر خلاصه میشود:
\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]
که در آن:
- \(\tau_{n}\)، \(\tau_{p}\) طولعمرهای الکترون و حفره مرتبط با تله هستند،
- \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) چگالی مؤثر الکترون است هنگامی که تله در تعادل قرار دارد،
- \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) چگالی متناظر حفره است،
- \(E_{t}\) تراز انرژی تله است و \(n_{i}\) غلظت ذاتی حامل است.
این معادله نخستین بار در Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952) استخراج شد، و با جزئیات بیشتر در بخش نظریه SRH از راهنما توصیف شده است.
با این حال، مهم است که توجه داشته باشیم معادله بالا تمام داستان نیست. این فرم فشرده از تحلیل اصلی Shockley–Read–Hall تحت مجموعهای از فرضهای سادهکننده حاصل میشود:
- شرایط حالت پایا: فرض میشود اشغال تله با زمان تغییر نمیکند، بنابراین نرخهای گیراندازی و گسیل با هم موازنه میشوند.
- یک تراز تله منفرد: بازترکیب از طریق یک تراز عیب منفرد و از نظر انرژی تیز در انرژی \(E_t\) درون گاف نواری رخ میدهد.
این فرضها در موادی با تنها چند ناخالصی کاملاً کافی هستند، جایی که بازترکیب با کمک تله تنها نقش کوچکی دارد و یک تراز تله گسسته منفرد توصیف معقولی فراهم میکند. با این حال، زمانی که بازترکیب Shockley–Read–Hall به فرایند غالب تبدیل میشود، همانگونه که اغلب در نیمهرساناهای بینظم رخ میدهد، تصویر تغییر میکند. در چنین سامانههایی، تلهها بهندرت در یک انرژی منفرد رخ میدهند بلکه بهجای آن یک توزیع پهن از حالتها را درون گاف نواری تشکیل میدهند، به این معنا که توصیف بر مبنای چگالی حالتها مناسبتر است. افزون بر این، تعداد زیاد تلههای اشغالشده بار بهدامافتاده قابلتوجهی وارد میکند که نه تنها بهعنوان یک کانال بازترکیب عمل میکند بلکه بهعنوان یک مخزن حامل نیز عمل میکند که پتانسیل الکترواستاتیکی سراسر دستگاه را بازشکل میدهد. این بدان معناست که اشغال تله باید بهصورت خودسازگار با معادله پواسون در نظر گرفته شود نه بهعنوان یک فرایند زمینهای منفعل. علاوه بر آن، فرض حالت پایا از توصیف فرایندهای دینامیکی جلوگیری میکند: در آزمایشهای تفکیکیافته زمانی یا شبیهسازیهای گذرا، اشغال تله با زمان تکامل مییابد و همین تکامل خود برای دینامیک بازترکیب ضروری است. به این دلایل، در حالی که فرمول فشرده SRH یک نقطه شروع ارزشمند است، باید در موادی با چگالی بالای تله یا در موقعیتهایی که دینامیک غیرتعادلی اهمیت دارد تعمیم داده شود.
برای درک و لحاظکردن درست این تفاوتها میان صورتبندی Shockley–Read–Hall در حالت پایا و بررسی گستردهتر ارائهشده در کار اصلی، لازم است کمی عمیقتر به نظریه زیربنایی بپردازیم.
2. درک معادله نرخ SRH دینامیکی
برای آنکه واقعاً بفهمیم فرمالیسم Shockley–Read–Hall (SRH) چه معنایی دارد، باید با دقت به نحوهای که نویسندگان اصلی آن را تنظیم کردند نگاه کنیم. کاری که آنها انجام دادند نوشتن یک معادله نرخ برای اشغال یک حالت تله درون گاف نواری نیمهرسانا بود. این معادله نرخ در زیر داده شده و بهصورت شماتیک در ?? نشان داده شده است. این معادله توصیف میکند که چگونه تعداد حاملها در یک تله به دلیل فرایندهای گیراندازی و رهایی تغییر میکند.
\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]
در این عبارت، چهار جمله متناظر با چهار شار ممکن حامل مرتبط با یک تله الکترونی هستند. جمله \(r_{ec}\) نمایانگر گیراندازی الکترون از جمعیت الکترون آزاد به درون تله است، در حالی که \(r_{ee}\) نمایانگر گسیل الکترون بهسوی نوار آزاد است. بهطور مشابه، \(r_{hc}\) نرخ گیراندازی حفره به درون تله است و \(r_{he}\) نرخ گسیل حفره بهسوی جمعیت حفره آزاد است. این فرایندها در کنار هم موازنه دقیق شار حامل به درون و بیرون یک تراز تله منفرد را توصیف میکنند.
مفید است که این سهمها را از نظر مفهومی از هم جدا کنیم. جملههای گیراندازی و گسیل الکترون (\(r_{ec}\)، \(r_{ee}\)) بهدامافتادن بار خالص را توصیف میکنند، همانطور که معمولاً برای تلههایی که الکترون ذخیره میکنند تصور میشود. جملههای گیراندازی و گسیل حفره (\(r_{hc}\)، \(r_{he}\)) بازترکیب را توصیف میکنند، زیرا آنها نمایانگر نابودی یا بازآفرینی بار بهدامافتاده از طریق برهمکنش با جمعیت حفره آزاد هستند. نکته کلیدی در اینجا این است که خودِ تله واقعاً حامل بار است — این تنها یک چاهک ریاضی برای بازترکیب نیست، بلکه یک مخزن واقعی حاملهاست که باید هنگام مدلسازی هم بازترکیب و هم الکترواستاتیک دستگاه در نظر گرفته شود.
2. احتمال رهایی در برابر گیراندازی
نرخهای گیراندازی و رهایی برای حاملهایی که با یک تله برهمکنش میکنند در جدول زیر خلاصه شدهاند، در حالی که احتمالهای متناظر رهایی در معادلات زیر آن داده شدهاند. ویژگی کلیدی نظریه Shockley–Read–Hall وابستگی شدید احتمال رهایی به عمق انرژی تله است. حاملهایی که در نزدیکی لبه یک نوار بهدام افتادهاند میتوانند نسبتاً آسان رها شوند، در حالی که حاملهای موجود در تلههای عمیقتر احتمال گسیل بسیار کمتری دارند. این رفتار مستقیماً در جملههای نماییِ عبارتهای احتمال رهایی بازتاب یافته است. در مقابل، احتمال اینکه یک حامل در یک تله گیر بیفتد به عمق تله وابسته نیست؛ این احتمال تنها به این بستگی دارد که تله خالی است یا اشغالشده. یک تله خالی بهشدت محتمل است که یک حامل نزدیکشونده را گیر بیندازد، در حالی که یک تله کاملاً اشغالشده نمیتواند حامل دیگری را بگیرد. با نگاه به جدول 9.1 میتوان دید که این اصول بهصورت ریاضی در نرخهای گیراندازی و رهایی بیان شدهاند. این نرخها در کنار هم سامانهای را توصیف میکنند که در آن حاملها بهراحتی در تلهها سقوط میکنند، اگر تلهها از نظر انرژی عمیقتر باشند رهایی از آنها بهطور فزایندهای دشوارتر میشود، و هر دو گونه الکترون و حفره میتوانند گیر بیفتند. هنگامی که هر دو گونه یک تله را اشغال کنند، بازترکیب بهصورت طبیعی رخ میدهد.
| سازوکار | نماد | عبارت |
|---|---|---|
| نرخ گیراندازی الکترون | \(r_{ec}\) | \(n v_{th} \sigma_{n} N_{t} (1-f)\) |
| نرخ رهایی الکترون | \(r_{ee}\) | \(e_{n} N_{t} f\) |
| نرخ گیراندازی حفره | \(r_{hc}\) | \(p v_{th} \sigma_{p} N_{t} f\) |
| نرخ رهایی حفره | \(r_{he}\) | \(e_{p} N_{t} (1-f)\) |
احتمالهای رهایی بهصورت زیر داده میشوند:
\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]
و
\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]
تابع اشغال توسط معادله \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] داده میشود، که در آن \(E_{t}\) تراز تله است، و \(F_{t}\) تراز فرمی تله است.
3. از یک تله تا یک DoS
تا اینجا، و همانگونه که در شکل 9.1 نشان داده شده است، رفتار یک تراز تله منفرد (یعنی «تله بنفش») را در نظر گرفتهایم. اما در نیمهرساناهای بینظم واقعی، بازترکیب بهندرت تحت سلطه یک حالت گسسته منفرد است. در عوض، یک توزیع از ترازهای تله وجود دارد که از لبههای نوار رسانش و ظرفیت به درون گاف نواری امتداد مییابد. این بدان معناست که باید نه تنها تلههای الکترونی بلکه تلههای حفرهای و چگالیهای متناظر آنها را بهعنوان تابعی از انرژی توصیف کنیم.
برای این کار، چگالی تله توسط یک تابع چگالی حالت \(\rho(E)\) توصیف میشود، که میتواند روی هر فرم تحلیلی مناسب برای ماده مورد مطالعه تنظیم شود. در این مثال، ما از یک توزیع نماییِ حالتهای تله استفاده میکنیم:
\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]
که در آن \(N^{e/h}\) چگالی حالتها در لبه نوار (LUMO یا HOMO) برحسب واحد حالت بر eV است، و \(E_{u}^{e/h}\) انرژی شیب مشخصهای است که دنباله نمایی را تعریف میکند. چگالی مؤثر تله متناظر با یک تراز انرژی مشخص سپس با میانگینگیری روی بازه انرژی \(\Delta E\) که نمایانگر آن تله است بهدست میآید:
\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]
در عمل، مدل این توزیع را به تعداد متناهی از ترازهای تله گسسته میکند. برای هر تراز تله، یک معادله نرخ جداگانه مینویسیم، همانگونه که پیشتر توصیف شد، و چگالی متناظر \(N_t\) را به آن اختصاص میدهیم. بهطور معمول، بین سه تا بیست تراز تله در زیر هر یک از نوارهای رسانش و ظرفیت استفاده میشوند، که هر کدام میتوانند بار ذخیره کنند. سپس بار کل بهدامافتاده بهصورت خودسازگار به معادله پواسون کوپل میشود، تا اطمینان حاصل شود که پروفایل الکترواستاتیکی دستگاه اشغال تلهها را در نظر میگیرد.
در نهایت، جملههای بازترکیب با کمک تله بهصورت صریح در معادلات پیوستگی حامل ظاهر میشوند. برای مثال، نرخ بازترکیب Shockley–Read–Hall بهصورت زیر نوشته میشود:
\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]
که نرخهای گیراندازی و رهایی الکترونها و حفرهها را مستقیماً به موازنه حاملها در نوارهای رسانش و ظرفیت پیوند میدهد. به این ترتیب، هم فرایندهای بهدامافتادن و هم بازترکیب بر مبنایی برابر توصیف میشوند، و سهمهای آنها بهطور طبیعی در معادلات پیوستگی و پواسون که عملکرد دستگاه را کنترل میکنند ادغام میشود.
نتیجه نهایی
پیامد حل مجموعه کامل معادلات Shockley–Read–Hall در هر دو فضای انرژی و فضای مکان در سراسر دستگاه این است که میتوانیم توصیف کنیم بار در کجا قرار دارد، نه تنها از نظر موقعیت بلکه از نظر انرژی نیز. این امر به ما امکان میدهد دینامیک باری را که در مواد بهشدت بینظم غالب است ثبت کنیم. نمونهای در ?? نشان داده شده است، که در آن یک منحنی J–V را در شرایط تاریک شبیهسازی میکنیم در حالی که بایاس اعمالشده از 0 V افزایش مییابد. با افزایش بایاس، حاملها از کنتاکتها تزریق شده و بهتدریج حالتهای تله را پر میکنند. این بارهای بهدامافتاده همزمان بهعنوان مراکز بازترکیب و بهعنوان منابع بار فضایی عمل میکنند که پتانسیل الکترواستاتیکی سراسر دستگاه را بازشکل میدهند. بدون در نظر گرفتن این اثرات، هر شبیهسازی دستگاهی ناکامل و احتمالاً نادرست خواهد بود. برای یک بحث تفصیلی درباره اینکه چرا حالتهای تله باید در چنین مدلهایی گنجانده شوند، به این بخش مراجعه کنید.
👉 گام بعدی: اکنون به بازترکیب SRH تحلیلی در حالت پایا ادامه دهید