Atrapamiento y recombinación de portadores fuera del equilibrio usando estados trampa Shockley-Read-Hall

1. Introducción

Muchos lectores encontrarán por primera vez la recombinación Shockley–Read–Hall (SRH) en sus clases de física de grado. A menudo se introduce como un mecanismo de recombinación entre un portador libre y un portador atrapado, y se resume mediante la siguiente expresión bien conocida y simplificada:

\[R_{\mathrm{SRH}} = \frac{np - n_{i}^{2}} {\tau_{p}(n + n_{1}) + \tau_{n}(p + p_{1})} \]

donde:

• \(\tau_{n}\), \(\tau_{p}\) son los tiempos de vida de electrones y huecos asociados con la trampa,
• \(n_{1} = N_{C} \exp\!\big(-(E_{C} - E_{t})/k_{B}T\big)\) es la densidad electrónica efectiva cuando la trampa se encuentra en equilibrio,
• \(p_{1} = N_{V} \exp\!\big(-(E_{t} - E_{V})/k_{B}T\big)\) es la densidad de huecos correspondiente,
• \(E_{t}\) es el nivel de energía de la trampa, y \(n_{i}\) es la concentración intrínseca de portadores.

Esta ecuación se derivó por primera vez en Shockley & Read, Physical Review 87, 835 (1952), y se describe con más detalle en la sección de teoría SRH del manual.

Sin embargo, es importante señalar que la ecuación anterior no cuenta toda la historia. Esta forma compacta resulta del análisis original de Shockley–Read–Hall bajo un conjunto de supuestos simplificadores:

• Condiciones estacionarias: se asume que la ocupación de la trampa no varía en el tiempo, de modo que las tasas de captura y emisión se equilibran.
• Nivel de trampa único: la recombinación ocurre a través de un único nivel de defecto energéticamente agudo a la energía \(E_t\) dentro de la banda prohibida.

Estos supuestos son perfectamente adecuados en materiales con solo unas pocas impurezas, donde la recombinación asistida por trampas desempeña solo un papel menor y un único nivel de trampa discreto proporciona una descripción razonable. Sin embargo, una vez que la recombinación Shockley–Read–Hall se convierte en el proceso dominante, como ocurre a menudo en semiconductores desordenados, la imagen cambia. En tales sistemas, las trampas rara vez ocurren a una sola energía, sino que forman una distribución amplia de estados dentro de la banda prohibida, lo que significa que una descripción en términos de densidad de estados es más apropiada. Además, el gran número de trampas ocupadas introduce una carga atrapada sustancial, que actúa no solo como un canal de recombinación sino también como un reservorio de portadores que remodela el potencial electrostático a través del dispositivo. Esto significa que la ocupación de trampas debe tratarse de manera autoconsistente con la ecuación de Poisson en lugar de como un proceso de fondo pasivo. Además, el supuesto de estado estacionario impide la descripción de procesos dinámicos: en experimentos resueltos en el tiempo o simulaciones transitorias la ocupación de trampas evoluciona en el tiempo, y esta evolución es en sí misma esencial para la dinámica de recombinación. Por estas razones, aunque la fórmula compacta de SRH es un valioso punto de partida, debe generalizarse en materiales con altas densidades de trampas o en situaciones donde la dinámica fuera del equilibrio es importante.

Para comprender y tener en cuenta adecuadamente estas diferencias entre el formalismo Shockley–Read–Hall estacionario y el tratamiento más amplio dado en el trabajo original, necesitamos profundizar un poco más en la teoría subyacente.

2. Comprender la ecuación dinámica de tasa SRH

Para entender realmente lo que significa el formalismo Shockley–Read–Hall (SRH), necesitamos examinar cuidadosamente la forma en que los autores originales lo plantearon. Lo que hicieron fue escribir una ecuación de tasa para la ocupación de un estado trampa dentro de la banda prohibida del semiconductor. Esta ecuación de tasa se da a continuación y se ilustra esquemáticamente en ??. Describe cómo cambia el número de portadores en una trampa debido a procesos de captura y escape.

\[ \frac{dn_t}{dt} = r_{ec} - r_{ee} - r_{hc} + r_{he} \]

En esta expresión, los cuatro términos corresponden a los cuatro flujos de portadores posibles asociados con una trampa de electrones. El término \(r_{ec}\) representa la captura de electrones desde la población de electrones libres hacia la trampa, mientras que \(r_{ee}\) representa la emisión de electrones de vuelta a la banda libre. De forma similar, \(r_{hc}\) es la tasa de captura de huecos en la trampa, y \(r_{he}\) es la tasa de emisión de huecos de vuelta a la población de huecos libres. En conjunto, estos procesos describen el balance detallado del flujo de portadores dentro y fuera de un único nivel de trampa.

Es útil separar estas contribuciones conceptualmente. Los términos de captura y emisión de electrones (\(r_{ec}\), \(r_{ee}\)) describen un puro atrapamiento de carga, como se imaginaría típicamente para trampas que almacenan electrones. Los términos de captura y emisión de huecos (\(r_{hc}\), \(r_{he}\)) describen recombinación, ya que representan la aniquilación o recreación de carga atrapada por interacción con la población de huecos libres. El punto clave aquí es que la propia trampa contiene realmente carga — no es simplemente un sumidero matemático para la recombinación, sino un verdadero reservorio de portadores que debe tenerse en cuenta al modelar tanto la recombinación como la electrostática del dispositivo.

2. Probabilidad de escape frente a captura

Las tasas de captura y escape para portadores que interactúan con una trampa se resumen en la tabla inferior, mientras que las probabilidades de escape correspondientes se dan en las ecuaciones de abajo. Una característica clave de la teoría Shockley–Read–Hall es la fuerte dependencia de la probabilidad de escape con la profundidad energética de la trampa. Los portadores atrapados cerca de un borde de banda pueden escapar con relativa facilidad, mientras que los portadores en trampas más profundas tienen una probabilidad de emisión mucho menor. Este comportamiento se refleja directamente en los términos exponenciales de las expresiones de probabilidad de escape. En contraste, la probabilidad de que un portador sea capturado en una trampa no depende de la profundidad de la trampa; depende solo de si la trampa está vacía u ocupada. Una trampa vacía tiene una alta probabilidad de capturar un portador que se aproxima, mientras que una trampa completamente ocupada no puede capturar portadores adicionales. Observando la Tabla 9.1, pueden verse estos principios expresados matemáticamente en las tasas de captura y escape. Tomados en conjunto, describen un sistema en el que los portadores caen fácilmente en trampas, encuentran cada vez más difícil escapar si las trampas están más profundas en energía, y donde tanto electrones como huecos pueden ser capturados. Una vez que ambas especies ocupan la misma trampa, la recombinación ocurre de forma natural.

Las probabilidades de escape vienen dadas por:

\[\label{eq:taile} e_n=v_{th}\sigma_{n} N_{c} exp \left ( \frac{E_t-E_c}{kT}\right )\]

y

\[ e_p = v_{th} \sigma_{p} N_{v} \exp\!\left( \frac{E_{v} - E_{t}}{kT} \right) \]

La función de ocupación viene dada por la ecuación, \[f(E_{t},F_{t})=\frac{1}{e^{\frac{E_{t}-F_{t}}{kT}}+1}\] Donde, \(E_{t}\) es el nivel de trampa, y \(F_{t}\) es el nivel de Fermi de la trampa.

3. De una trampa a una DoS

Hasta este punto, y como se ilustra en la Fig. 9.1, hemos considerado el comportamiento de un único nivel de trampa (la “trampa púrpura”). En semiconductores desordenados reales, sin embargo, la recombinación rara vez está dominada por un solo estado discreto. En su lugar, existe una distribución de niveles trampa que se extiende dentro de la banda prohibida desde los bordes de las bandas de conducción y valencia. Esto significa que debemos describir no solo trampas de electrones sino también trampas de huecos, y sus respectivas densidades en función de la energía.

Para ello, la densidad de trampas se describe mediante una función de densidad de estados \(\rho(E)\), que puede establecerse en cualquier forma analítica apropiada al material bajo estudio. En este ejemplo, usamos una distribución exponencial de estados trampa:

\[ \rho^{e/h}(E) = N^{e/h} \exp\!\left( \frac{E}{E_{u}^{e/h}} \right), \]

donde \(N^{e/h}\) es la densidad de estados en el borde de banda (LUMO o HOMO) en unidades de estados por eV, y \(E_{u}^{e/h}\) es la energía de pendiente característica que define la cola exponencial. La densidad efectiva de trampas asociada a un nivel de energía específico se obtiene entonces promediando sobre el intervalo de energía \(\Delta E\) que representa la trampa:

\[ N_{t}(E) = \frac{ \int_{E - \Delta E / 2}^{E + \Delta E / 2} \rho^{e}(E)\, dE }{ \Delta E }. \]

En la práctica, el modelo discretiza la distribución en un número finito de niveles de trampa. Para cada nivel de trampa escribimos una ecuación de tasa separada, como se describió antes, y le asignamos una densidad correspondiente \(N_t\). Típicamente, entre tres y veinte niveles de trampa se usan bajo las bandas de conducción y valencia, cada uno de los cuales puede almacenar carga. La carga atrapada total se acopla entonces de manera autoconsistente a la ecuación de Poisson, asegurando que el perfil electrostático del dispositivo tenga en cuenta la ocupación de las trampas.

Finalmente, los términos de recombinación asistida por trampas aparecen explícitamente en las ecuaciones de continuidad de portadores. Por ejemplo, la tasa de recombinación Shockley–Read–Hall se escribe como

\[ R_{\mathrm{SRH}} = r_{hc} - r_{he} \;=\; r_{ec} - r_{ee}, \]

vinculando las tasas de captura y escape de electrones y huecos directamente con el balance de portadores en las bandas de conducción y valencia. De este modo, tanto los procesos de atrapamiento como los de recombinación se describen en pie de igualdad, y sus contribuciones se integran naturalmente en las ecuaciones de continuidad y Poisson que gobiernan la operación del dispositivo.

El resultado final

El resultado de resolver el conjunto completo de ecuaciones Shockley–Read–Hall tanto en el espacio de energías como en el espacio de posiciones a través de todo el dispositivo es que podemos describir dónde reside la carga, no solo en términos de posición sino también en términos de energía. Esto nos permite capturar la dinámica de carga que domina en materiales altamente desordenados. Se muestra un ejemplo en ??, donde simulamos una curva J–V bajo condiciones de oscuridad a medida que el sesgo aplicado aumenta desde 0 V. A medida que el sesgo crece, los portadores se inyectan desde los contactos y llenan progresivamente los estados trampa. Estas cargas atrapadas actúan simultáneamente como centros de recombinación y como fuentes de carga espacial que remodelan el potencial electrostático a través del dispositivo. Sin incluir estos efectos, cualquier simulación de dispositivo estará incompleta y probablemente será incorrecta. Para una discusión detallada de por qué los estados trampa deben incluirse en tales modelos, véase esta sección.