Teoría de deriva–difusión: del transporte de Boltzmann al balance de energía

Esta página presenta una derivación desde primeros principios de las ecuaciones de deriva–difusión utilizadas en la simulación de dispositivos semiconductores, a partir de la ecuación de transporte de Boltzmann en la aproximación de tiempo de relajación. Tomando momentos sucesivos de la ecuación de Boltzmann, mostramos cómo surgen las ecuaciones de continuidad para electrones y huecos, las relaciones de corriente de deriva–difusión, y las ecuaciones de transporte de energía (portadores calientes) en un marco único y autoconsistente. Se pone especial énfasis en las heterouniones, el arrastre por borde de banda, los efectos de la densidad de estados y el transporte térmico, conduciendo a las ecuaciones listas para solver implementadas en OghmaNano.

1. Introducción

El motor eléctrico de OghmaNano es un marco de deriva–difusión 1D/2D/3D cuya característica definitoria es su soporte para estados trampa dinámicos (fuera del equilibrio). En lugar de asumir que las trampas se equilibran instantáneamente con los portadores libres, OghmaNano puede evolucionar las ocupaciones de trampa explícitamente tanto en energía como en espacio, lo cual es esencial para modelar correctamente semiconductores desordenados y mediciones transitorias (p. ej. ToF, CELIV), así como el funcionamiento en estado estacionario.

Existen muchas rutas legítimas hacia la deriva–difusión. Por ejemplo, puede derivarse a partir de la ecuación de transporte de Boltzmann mediante expansiones en momentos y cierres controlados, a partir de la termodinámica irreversible (argumentos de Onsager / producción de entropía), o desde un punto de vista de camino aleatorio / Fokker–Planck que conecta el salto microscópico con la deriva y difusión macroscópicas. Estos enfoques a menudo producen ecuaciones que a primera vista parecen similares, pero no son igual de fiables cuando se va más allá del caso más simple de “semiconductor homogéneo”.

En particular, una vez que se introducen heterouniones, densidad efectiva de estados espacialmente variable, masa efectiva dependiente de la posición, gradientes del borde de banda o estadísticas no triviales, ya no es seguro añadir términos extra a una corriente de deriva–difusión y esperar que el resultado siga siendo autoconsistente. Lo mismo ocurre cuando se empieza a incluir arrastre térmico o a acoplar el transporte eléctrico a la generación de calor. Lo que se desea es un marco de derivación que genere naturalmente los términos extra correctos y proporcione una ruta clara hacia extensiones, en lugar de una colección de modificaciones ad hoc.

Por esa razón, la derivación presentada aquí parte de la ecuación de transporte de Boltzmann. Tomar momentos de la BTE produce, de forma sistemática, las ecuaciones de continuidad y las relaciones constitutivas de deriva–difusión en el límite de baja inercia, y también muestra cómo el mismo marco “se eleva” al siguiente nivel: las ecuaciones de balance de energía (transporte de energía). Incluso si no se resuelve el modelo hidrodinámico completo, el marco energético es valioso porque identifica términos consistentes de fuente de calor eléctrica y aclara cuándo debe tenerse en cuenta el calentamiento de portadores. La derivación siguiente constituye la base del modelo eléctrico de OghmaNano.

2. Ecuación de transporte de Boltzmann (RTA)

En el nivel más fundamental utilizado en el modelado de dispositivos, el transporte de carga se describe en términos de una función de distribución \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). Esta función representa la probabilidad de encontrar un portador de carga en la posición \(\mathbf{r}\), con momento cristalino \(\hbar\mathbf{k}\), en el tiempo \(t\). Todas las magnitudes eléctricas macroscópicas —densidad de portadores, densidad de corriente, densidad de energía— pueden obtenerse tomando momentos adecuados de esta distribución.

La ecuación de transporte de Boltzmann (BTE) es la ecuación de movimiento de esta función de distribución. Es una ley de conservación en el espacio de fases: tiene en cuenta cómo se mueven los portadores a través del espacio real, cómo cambia su momento bajo fuerzas aplicadas y cómo los procesos de dispersión redistribuyen a los portadores en el espacio de momentos. Partir de la BTE proporciona por tanto un marco único y unificado a partir del cual la deriva–difusión, el transporte de energía y modelos relacionados pueden derivarse de manera consistente.

En su forma completa, el término de colisión (dispersión) de la BTE es complicado y específico del material. Para el modelado práctico de dispositivos es común utilizar la aproximación de tiempo de relajación (RTA), en la que se asume que la dispersión impulsa la distribución hacia una forma de cuasi-equilibrio local \(f^0\) en un tiempo característico \(\tau\). Esta aproximación conserva la física esencial de la relajación de momento y energía al tiempo que mantiene las ecuaciones tratables.

Con esta aproximación, la ecuación semiclasica de transporte de Boltzmann puede escribirse como

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Los tres términos del lado izquierdo tienen un significado físico claro: el primero describe la evolución temporal explícita de la distribución, el segundo describe el transporte a través del espacio real con velocidad de portador \(\mathbf{v}\), y el tercero describe la aceleración en el espacio de momentos debida a una fuerza aplicada \(\mathbf{F}\) (por ejemplo \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) en un campo eléctrico). El lado derecho representa la dispersión, que relaja el sistema hacia \(f^0\).

La teoría de deriva–difusión no intenta resolver esta ecuación directamente. En su lugar, procede tomando momentos de la BTE —integrales sobre el espacio de momentos— para obtener ecuaciones de evolución para cantidades físicamente significativas como densidad de portadores, densidad de corriente y densidad de energía. Las siguientes secciones muestran cómo este procedimiento conduce naturalmente a las ecuaciones familiares de deriva–difusión y, en el siguiente nivel, a los modelos de balance de energía (portadores calientes).

3. Toma de momentos de la ecuación de transporte de Boltzmann

La ecuación de transporte de Boltzmann describe la dinámica de portadores en términos de una función de distribución \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\), que da la ocupación de los estados electrónicos en función de la posición, el momento y el tiempo. En equilibrio esta distribución se reduce a la familiar función de Fermi–Dirac, mientras que bajo polarización evoluciona en respuesta a campos eléctricos, variaciones del borde de banda y procesos de dispersión. Para obtener ecuaciones útiles a escala de dispositivo, no intentamos resolver directamente \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\). En cambio, derivamos ecuaciones de evolución para cantidades macroscópicas tomando momentos de la ecuación de Boltzmann completa, conectando sistemáticamente la estadística microscópica de portadores con la deriva–difusión, el transporte de energía y modelos relacionados.

Formalmente, una ecuación de momento se obtiene multiplicando la BTE completa por un peso \(A(\mathbf{k})\) e integrando sobre todo el espacio de momentos:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

Cada elección de la función de ponderación \(A(\mathbf{k})\) genera una ecuación de balance: una ecuación de evolución que expresa cómo una cantidad macroscópica es impulsada y relajada. Establecer \(A=1\) produce la ecuación de balance de partículas, de la cual se obtienen las familiares ecuaciones de continuidad para electrones y huecos. Tomar el primer momento, con \(A=\hbar\mathbf{k}\) (o equivalentemente \(m^\ast\mathbf{v}\)), produce una ecuación de balance de momento que describe cómo responde el momento del portador a fuerzas y dispersión; la corriente estándar de deriva–difusión se recupera tomando el límite sobreamortiguado de esta ecuación, en el que el momento se relaja rápidamente y se descuidan los términos inerciales. Tomar el siguiente momento, con \(A=W(\mathbf{k})\), da una ecuación de balance de energía, que describe el transporte y la relajación de la energía de los portadores y proporciona la extensión mínima necesaria para modelar portadores calientes, arrastre térmico y generación de calor eléctrico. De este modo, continuidad, deriva–difusión y modelos de transporte de energía emergen como niveles sucesivos de aproximación dentro de un único marco autoconsistente.

La deriva–difusión estándar conserva solo la ecuación de balance de partículas y una relación constitutiva simplificada para la corriente obtenida a partir del balance de momento. Al hacerlo, no conserva la energía de los portadores.

4. Momento de orden cero: balance de partículas (ecuación de continuidad)

El primer y más importante momento de la ecuación de transporte de Boltzmann se obtiene estableciendo la función de ponderación igual a la unidad, \(A(\mathbf{k}) = 1\). Esto corresponde a contar portadores: integrar la ecuación de Boltzmann completa sobre todos los momentos da una ley de balance para la densidad total de portadores en cada punto del espacio. Por esta razón, el momento de orden cero se denomina ecuación de balance de partículas (o continuidad de partículas).

4.1 Derivación (momento de orden cero / balance de partículas)

Comenzamos a partir de la forma de tiempo de relajación de la ecuación de Boltzmann:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

Multiplique por \(A(\mathbf{k})=1\) e integre sobre todos los \(\mathbf{k}\):

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

El primer término define la densidad de portadores \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] de modo que \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]

El segundo término se convierte en una divergencia en el espacio real:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

donde la velocidad media del portador es \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]

El tercer término (término de fuerza) desaparece bajo las suposiciones estándar de que la distribución decae rápidamente cuando \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\), de modo que la correspondiente integral de superficie en el espacio \(\mathbf{k}\) es cero:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

Reuniendo términos, la ecuación del momento de orden cero se convierte en

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

El lado derecho representa procesos que crean o eliminan portadores libres cuando se observan al nivel de deriva–difusión: generación, recombinación y (en materiales con trampas) intercambio con estados trampa. Por tanto, lo escribimos compactamente como \(G - R\) (con la captura/emisión en trampas incluida en el término efectivo \(R\) o escrita explícitamente en el modelo de atrapamiento).

4.2 Ecuación de continuidad en forma de deriva–difusión

Introduciendo la densidad de corriente de electrones \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] la ecuación de balance de partículas se convierte en la familiar ecuación de continuidad de electrones:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

La ecuación de continuidad correspondiente para huecos es

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. Primer momento: balance de momento → corriente de deriva–difusión

Las ecuaciones de corriente de deriva–difusión se obtienen a partir del primer momento de la ecuación de transporte de Boltzmann. Este momento corresponde a un balance de momento, describiendo cómo el momento del portador es impulsado por fuerzas como campos eléctricos y gradientes del borde de banda, y reducido por la dispersión. En lugar de resolver la ecuación completa de balance de momento, la deriva–difusión estándar se obtiene expresando la velocidad del portador directamente en términos de fuerzas impulsoras locales, sin conservar una ecuación de evolución explícita para el momento o la energía. Esta aproximación es apropiada siempre que no se requieran efectos de transporte de orden superior en momento y energía.

5.1 Del primer momento de la BTE a la corriente de deriva–difusión

Comenzamos a partir de la ecuación de transporte de Boltzmann en la aproximación de tiempo de relajación, escrita con un tiempo de relajación del momento \(\tau_p\):

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

Para obtener el balance de momento, multiplique la ecuación completa por el peso tipo momento \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) (equivalentemente \(\hbar\mathbf{k}\) para una banda parabólica), e integre sobre el espacio de momentos:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 Identificación del momento de velocidad, la corriente y la presión

Las integrales del primer momento introducen las cantidades que aparecen en las ecuaciones de transporte a escala de dispositivo. Comenzamos definiendo la densidad de portadores y la velocidad media de los portadores como

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

La velocidad \(\mathbf{u}\) definida arriba es la velocidad media (o promedio) del portador. Representa la deriva neta de la población de portadores en un punto dado del espacio. Los portadores individuales normalmente se mueven mucho más rápido que \(\mathbf{u}\), ejecutando un movimiento térmico aleatorio superpuesto a esta lenta deriva colectiva. Por tanto, la velocidad media no es la velocidad típica de un portador, sino la pequeña velocidad residual que permanece tras promediar todo el movimiento microscópico.

Esta distinción es crucial. El movimiento térmico aleatorio no contribuye a la corriente eléctrica porque promedia a cero, mientras que la velocidad media de deriva \(\mathbf{u}\) capta el desequilibrio en el movimiento de portadores causado por campos eléctricos, gradientes de concentración y gradientes de temperatura. Es esta velocidad media la que determina la densidad de corriente macroscópica.

Con estas definiciones, el flujo de partículas es \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), y la densidad de corriente de electrones es

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

Sustituir estas definiciones de nuevo en la ecuación del primer momento permite que las integrales en el espacio de momentos se reescriban completamente en términos de \(n\), \(\mathbf{u}\) y momentos de velocidad de orden superior. En particular, el término de colisión se simplifica porque la distribución de referencia \(f^0\) representa un estado de equilibrio local con velocidad media de deriva nula, de modo que

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

Como resultado, el término de colisión contribuye solo con un término de relajación del momento proporcional a la velocidad media \(\mathbf{u}\).

El término restante de transporte espacial en la ecuación del primer momento contiene integrales de la forma \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\), que representan el flujo de momento a través del espacio. Para hacer explícito el contenido físico de este término, descomponemos la velocidad del portador en una parte media y una fluctuación:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

Sustituir esta descomposición en el segundo momento de velocidad y usar \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\) separa el flujo de momento en una contribución convectiva y un término de fluctuación. La contribución de fluctuación se identifica como el tensor de presión (o tensión) del portador,

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

Físicamente, \(\mathbf{P}\) representa el transporte de momento asociado a fluctuaciones de velocidad alrededor de la velocidad media de deriva. Su divergencia da lugar a términos de difusión y arrastre térmico en las ecuaciones de transporte reducidas.

Reuniendo todas las contribuciones, la ecuación del primer momento puede escribirse ahora como

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Esta ecuación es el balance general de momento obtenido directamente a partir del primer momento de la ecuación de transporte de Boltzmann. Aún no se ha realizado ninguna suposición de deriva–difusión; estas entran en el siguiente paso, donde el balance de momento se reduce a un balance local de fuerzas.

5.3 Reducción del balance de momento a un balance de fuerzas

En el modelado por deriva–difusión, no nos interesa resolver explícitamente la evolución temporal o el transporte espacial del momento en sí. En cambio, asumimos que el momento del portador se ajusta localmente a las fuerzas aplicadas, de modo que cualquier efecto transitorio o no local de transporte de momento puede despreciarse. Bajo esta suposición, el balance de momento se simplifica eliminando los términos explícitos de transporte de momento e inercia, manteniendo en su lugar los términos de fuerza y relajación.

Con esta aproximación, el balance de momento se reduce a

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

Escrita de esta manera, la ecuación debe leerse como un balance local de fuerzas: las fuerzas que impulsan el movimiento de portadores se equilibran con la pérdida de momento por dispersión.

El término restante \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) representa cómo se redistribuye el momento por el movimiento aleatorio de los portadores. El propio tensor \(\mathbf{P}\) codifica correlaciones entre componentes de velocidad, y en general permite transporte anisótropo de momento. En muchos dispositivos semiconductores, la distribución de portadores es casi isotrópica en el espacio de velocidades. En este caso, no hay una dirección preferente para las fluctuaciones de velocidad, y el tensor de presión se reduce a una presión escalar multiplicando el tensor identidad:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

Físicamente, esto significa que el movimiento térmico aleatorio contribuye por igual en todas las direcciones. Cuando esta forma se sustituye en el balance de momento, la divergencia del tensor de presión se simplifica al gradiente de una presión escalar:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

Este término es el origen de la difusión y del arrastre térmico en las ecuaciones de deriva–difusión. En la siguiente sección, esta ecuación de balance de fuerzas se resuelve para la velocidad media del portador \(\mathbf{u}\), conduciendo directamente a la corriente de deriva–difusión.

5.4 Del balance de fuerzas a la corriente de deriva–difusión

Volvemos ahora al balance local reducido de momento derivado en la sección anterior. Para electrones, es conveniente expresar la fuerza impulsora en términos del borde de banda de conducción \(E_c(\mathbf{r})\), que incorpora tanto el potencial electrostático como los desplazamientos del material. Por tanto, escribimos la fuerza sobre los electrones como

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

donde \(E_c(\mathbf{r})\) puede escribirse (salvo una referencia) como \(E_c = \chi - q\phi\), de modo que las variaciones espaciales tanto en la afinidad electrónica como en el potencial electrostático contribuyen naturalmente al arrastre de portadores. Sustituyendo esto en el balance de momento reducido se obtiene

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

Esta ecuación expresa un equilibrio local entre el arrastre por borde de banda, el transporte impulsado por presión y la pérdida de momento por dispersión. Resolver para la velocidad media del portador produce

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

Utilizando la definición de la densidad de corriente de electrones, \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\), obtenemos

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

Introduciendo la movilidad \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\), esto se convierte en

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

En este punto, la corriente se expresa en términos del gradiente de presión \(\nabla p\), y aún no se ha hecho ninguna suposición sobre la estadística de portadores. Para continuar, expresamos la presión y la densidad como momentos de la función de distribución subyacente.

La densidad de portadores y la presión pueden escribirse como

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

donde \(g(E)\) es la densidad de estados y \(f(E)\) es la distribución de Fermi–Dirac. Para una banda parabólica, estas integrales se reducen a las integrales estándar de Fermi–Dirac,

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

con potencial químico reducido \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\), y \(F_j(\eta)\) la integral completa de Fermi–Dirac de orden \(j\).

Tomando el gradiente de la presión se obtiene

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

Sustituir esta expresión en la corriente muestra que la difusión y el arrastre térmico están gobernados por una relación de Einstein generalizada,

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

Esta expresión es exacta para una banda parabólica y sigue siendo válida desde el régimen no degenerado hasta el fuertemente degenerado. En el límite no degenerado (\(\eta \ll -1\)), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\), y la relación de Einstein generalizada se reduce a la forma familiar

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

El primer término representa la deriva impulsada por variaciones espaciales del borde de banda de conducción, incluyendo tanto campos electrostáticos como desplazamientos de banda en heterouniones. El segundo término, que involucra el gradiente de presión, es el origen de la difusión y del arrastre térmico.

En el caso no degenerado, la presión del portador es \(p = n k_B T\), de modo que

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

Sustituyendo esta expresión en la corriente se obtiene

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

Usando la relación de Einstein para portadores no degenerados, \(D_n = \mu_n k_B T / q\), la corriente puede escribirse en la forma familiar de deriva–difusión con arrastre térmico explícito:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{deriva por borde de banda}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{difusión}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{arrastre térmico}}. \]

En heteroestructuras, la densidad efectiva de estados \(N_c(\mathbf{r},T)\) puede variar espacialmente debido a cambios en parámetros de estructura de banda como la masa efectiva. Una reducción autoconsistente produce entonces un término adicional de arrastre por material proporcional a \(\nabla\ln N_c\).

Incluyendo esta contribución, la corriente de deriva–difusión utilizada en simuladores de dispositivos puede escribirse como

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{deriva por borde de banda}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{difusión}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{arrastre térmico}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{arrastre por DOS / masa efectiva}}. \]

Escritos en esta forma, todos los mecanismos de arrastre surgen naturalmente del mismo marco de balance de momento. Campos electrostáticos, desplazamientos de banda en heterouniones, gradientes de temperatura y variaciones espaciales en parámetros del material entran todos exactamente en el mismo nivel.

Una derivación completamente análoga se aplica a los huecos. Repitiendo los mismos pasos usando el borde de banda de valencia \(E_v(\mathbf{r})\) y la estadística de huecos se obtiene la densidad de corriente de huecos

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{deriva por borde de banda}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{difusión}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{arrastre térmico}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{arrastre por DOS / masa efectiva}}, \]

donde \(N_v(\mathbf{r},T)\) es la densidad efectiva de estados de la banda de valencia. Los signos opuestos de los términos de difusión y arrastre térmico reflejan la carga positiva de los huecos.

• Arrastre térmico (termodifusión / término tipo Seebeck): las variaciones espaciales en la temperatura del portador modifican la distribución local de cuasi-equilibrio y generan un flujo neto de portadores proporcional a \(\nabla T\), incluso en ausencia de campo eléctrico.
• Arrastre por densidad de estados / masa efectiva: en heteroestructuras o materiales espacialmente variables, los gradientes en parámetros de estructura de banda (como la masa efectiva) conducen a gradientes en \(N_c\) y \(N_v\). Estos términos son esenciales en interfaces de materiales y garantizan que el transporte de portadores permanezca consistente con la estadística subyacente y la estructura de banda.

7. Transporte de energía / extensión de portadores calientes

En el modelo de deriva–difusión derivado anteriormente, el transporte de portadores se describe mediante continuidad de partículas y un balance de momento reducido a una ley algebraica de corriente. Se supone que la energía de los portadores se relaja rápidamente hacia la red, de modo que no se resuelve ninguna ecuación explícita para ella.

Cuando esta suposición se relaja, debe conservarse la siguiente ecuación en la jerarquía de momentos de Boltzmann: la ecuación de balance de energía. Esta ecuación gobierna cómo los portadores ganan energía a partir de campos eléctricos y gradientes del borde de banda, transportan esa energía a través del dispositivo y la pierden hacia la red.

7.1 Segundo momento de la ecuación de Boltzmann

El balance de energía se obtiene multiplicando la ecuación de transporte de Boltzmann por la energía de partícula individual \(W(\mathbf{k})\) e integrando sobre el espacio de momentos. Para electrones, la energía de un estado se escribe como

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

donde \(E_c(\mathbf{r})\) es el borde de banda de conducción y \(\varepsilon(\mathbf{k})\) es la energía cinética relativa al borde de banda (para una banda parabólica, \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

Definiendo la energía media por partícula del portador como

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

la densidad de energía correspondiente es \(n\bar W\). Esta cantidad desempeña para la energía el mismo papel que \(n\) para el número de partículas.

7.2 Flujo de energía y relación con las corrientes de deriva–difusión

El término de transporte espacial en el segundo momento contiene integrales de la forma \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), lo que motiva la definición del flujo de energía

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

Esta cantidad es directamente análoga al flujo de partículas \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\), y por tanto a la densidad de corriente \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\). El transporte de energía está así acoplado naturalmente al transporte de portadores.

7.3 Trabajo realizado por el campo eléctrico y los gradientes del borde de banda

El término de fuerza en la ecuación de Boltzmann produce una contribución distinta en el segundo momento. Usando integración por partes en el espacio de momentos y la identidad \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\), se encuentra

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

Escribiendo la fuerza sobre los electrones como \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\), este término se convierte en

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

Este es el trabajo eléctrico realizado sobre la población de portadores. En el caso especial donde \(E_c=-q\phi\), se reduce al familiar término de calentamiento Joule \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\).

7.4 Ecuación de balance de energía y conexión con la deriva–difusión

Reuniendo todas las contribuciones, la ecuación del segundo momento puede escribirse como

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

Esta ecuación está acoplada directamente al modelo de deriva–difusión mediante la densidad de corriente \(\mathbf{J}_n\). No se requieren términos de calentamiento adicional ad hoc: la disipación de potencia eléctrica emerge naturalmente del mismo arrastre por borde de banda que aparece en la ley de corriente.

7.5 Relación con el límite estándar de deriva–difusión

Para ver cómo esto se conecta con los modelos familiares de deriva–difusión, considere el caso no degenerado, cercano al equilibrio. La contribución cinética a la energía media es

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

de modo que

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

En deriva–difusión estacionaria con relajación rápida de energía, \(T_e \approx T_L\) y \(\bar W \approx \bar W_0\), la derivada temporal \(\partial_t(n\bar W)\) desaparece y la ecuación de energía colapsa a un balance entre calentamiento eléctrico y pérdida de energía hacia la red.

Conservar la ecuación de balance de energía elimina esta restricción. La temperatura del portador \(T_e\) se convierte en una variable dinámica, permitiendo al modelo captar calentamiento por campo, sobrepaso de velocidad y transporte fuera del equilibrio mientras sigue siendo plenamente compatible con el marco de deriva–difusión derivado anteriormente.

Reuniendo todo, la ecuación de balance de energía implementada en un solver basado en deriva–difusión puede escribirse en la forma siguiente:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

Aquí \(T_e\) es la temperatura del portador (electrón), \(T_L\) es la temperatura de la red, \(\kappa\) es la conductividad térmica del portador y \(\tau_W\) es el tiempo de relajación de energía. Esta ecuación se resuelve autoconsistentemente con la ecuación de Poisson, las ecuaciones de continuidad de portadores y las relaciones de corriente de deriva–difusión.

8. Modelo acoplado final resuelto en OghmaNano

OghmaNano resuelve un sistema acoplado de ecuaciones diferenciales parciales. El conjunto exacto de ecuaciones depende del modelo físico seleccionado (solo deriva–difusión, o deriva–difusión con transporte de energía). La tabla siguiente resume las ecuaciones y cuándo se utilizan.