Las ecuaciones de deriva-difusión

2. Transporte de portadores de carga

El transporte de carga en semiconductores se describe mediante las ecuaciones acopladas de deriva–difusión para electrones y huecos. Estas ecuaciones tienen en cuenta el movimiento de portadores impulsado por campos eléctricos, gradientes de concentración y gradientes de temperatura (efectos termoeléctricos). Una derivación detallada desde primeros principios de estas ecuaciones a partir de la Ecuación de Transporte de Boltzmann se presenta en Teoría de deriva–difusión: del transporte de Boltzmann al balance de energía .

Para electrones, la densidad de corriente viene dada por:

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

y para huecos:

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

Aquí, \(q\) es la carga elemental, \(n_f\) y \(p_f\) son las densidades de electrones libres y huecos libres, \(\mu_e\) y \(\mu_h\) son las movilidades de los portadores, y \(D_n\) y \(D_p\) son los coeficientes de difusión. Las cantidades \(E_c\) y \(E_v\) denotan las energías locales de los bordes de banda de conducción y valencia. Escribir la corriente en términos de gradientes del borde de banda en lugar del campo eléctrico garantiza que las heterouniones y los desplazamientos de material se traten correctamente; véase la Sección 5 de la derivación de deriva–difusión para más detalles.

El término final en cada expresión representa el impulso térmico (termodifusión), que surge de forma natural cuando el balance de momento se reduce de manera autoconsistente. Este término a menudo se omite en modelos simplificados, pero se vuelve importante en dispositivos con fuertes gradientes de temperatura o calentamiento de portadores. Su origen se discute en la extensión de transporte de energía .

La conservación de carga se impone mediante las ecuaciones de continuidad de portadores. Para electrones:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

y para huecos:

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

Estas ecuaciones de continuidad se obtienen tomando el momento de orden cero de la Ecuación de Transporte de Boltzmann, como se muestra explícitamente en la Sección 4 de la derivación . Los términos \(R\) y \(G\) representan recombinación y generación, mientras que las derivadas temporales describen almacenamiento y liberación transitorios de carga.

En conjunto, las relaciones de corriente de deriva–difusión y las ecuaciones de continuidad forman el núcleo del modelado de dispositivos semiconductores. Dentro de OghmaNano, estas ecuaciones pueden resolverse de manera autoconsistente con la ecuación de Poisson en 1D, 2D o 3D completo, y pueden ampliarse para incluir transporte de energía (efectos de portadores calientes) y dinámica de trampas fuera del equilibrio cuando sea necesario.